Zkvalitnění kompetencí pedagogů ISŠ Rakovník IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Integrovaná střední škola, Rakovník, Na Jirkově 2309, Rakovník Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název DUM : VY_42_INOVACE_MAT_01_24 PředmětMATEMATIKA Tematický okruhSLOVNÍ ÚLOHY Klíčová slova:slovní úlohy, kombinatorika, variace, kombinace, permutace Autor RNDr. Milena Knappová Rok vytvoření 2013Ročník učňovské obory, nástavbové studium Anotace: Materiál slouží k opakování učiva i při samostatné přípravě studentů na maturitní zkoušku. Metodický pokyn: Materiál slouží k opakování dané problematiky a k samostatné přípravě k maturitní zkoušce. Cílová skupina: studenti střední školy, 15 a více let.

Slovní úlohy (kombinatorika) RNDr. Milena Knappová Slovní úlohy, kombinatorika, variace, permutace

Obsah: Variace bez opakování Variace s opakováním Permutace bez opakování i s opakováním

obsah

Variace bez opakování : Kolik různých trojciferných přirozených čísel můžeme vytvořit z číslic 2, 5, 7, 9? Číslice se v čísle nesmějí opakovat. Závěr: Po vynásobení zjistíme, že variací třetí třídy ze čtyř prvků bez opakování můžeme vytvořit dvacet čtyři, ze čtyř číslic bez opakování můžeme tedy vytvořit dvacet čtyři přirozených čísel. Jedná se o variace třetí třídy ze čtyř prvků bez opakování. Složitější vzorec pro naše potřeby může nahradit kombinatorický součin. Protože máme tvořit trojciferná čísla, připravíme si tři pozice: Na první pozici můžeme použít libovolnou z číslic 2; 5; 7; 9, máme tedy 4 možnosti. Na další pozici už jsou možnosti jen tři, jednu ze čtyř číslic už máme na první pozici. Na poslední místo můžeme napsat kteroukoli ze dvou zbylých číslic obsah Ověření řešení

Variace bez opakování: Jako zkoušku správnosti našeho řešení si vypíšeme všechna přirozená trojciferná čísla, která můžeme z číslic 2, 5, 7, 9 vytvořit: obsah 257, 259, 275, 279, 297, 295, 572, 579, 527, 529, 592, 597, 752, 759, 725, 729, 792, 795, 972, 975, 952, 957, 925, 927 Obměnou předchozí úlohy je, že se mezi zadanými číslicemi objeví 0, může se tedy jednat např. o číslice 0, 2, 5, 7. Jak se změní řešení? Kolik různých trojciferných čísel ve kterých se číslice neopakují, můžeme z těchto číslic sestavit? Závěr: Můžeme sestavit 18 různých trojciferných čísel.

Variace s opakováním: Kolik různých trojciferných přirozených čísel, ve kterých se číslice opakují, sestavíme z číslic: a)2, 5, 7, 9 b)0, 2, 5,7 obsah Závěr: a)Ze čtyř číslic mezi nimiž není nula, sestavíme 64 různých trojciferných čísel, ve kterých se číslice mohou opakovat. b)Pokud je jedna ze čtyř číslic nula, sestavíme takových čísel jen 48.

Permutace bez opakování: Permutace jsou uspořádané n-tice z n prvků, tedy variace n-té třídy z n prvků. Počet permutací bez opakování udává součin n činitelů, z nichž každý je o jednu menší než předchozí. Takový součin označujeme jako n! (Čteme „n faktoriál“) Permutace s opakováním: Na každé z n pozic máme n možností umístění prvků, jejich počet je proto n n. obsah Ve frontě na lístky stojí tři dívky a čtyři chlapci. Kolika způsoby se mohou osoby ve frontě rozestavit? Závěr: Sedm osob se může postavit do fronty 5040 způsoby.

Použité zdroje: MIKULČÁK, Jiří. Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2007, 206 s. ISBN Materiál je určen pro bezplatné používání při výuce a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.