FI-10 Kmity a vlnění I. 8. 4. 2006

Hlavní body Úvod do nauky o kmitech a vlnění Druhy kmitů Obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené Harmonické kmity Pohybová rovnice a její řešení Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie Příklad kmitajících soustav - kyvadla 8. 4. 2006

Úvod do kmitů a vlnění I K pohybům přímočarým a kruhovým, rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným je nutné dále přibrat pohyby kmitavé neboli vibrační. Jejich existence vyplývá z elastického charakteru sil, působících mezi částicemi. V přírodě jsou značně rozšířeny. Vibrační energie je důležitým druhem energie. 8. 4. 2006

Úvod do kmitů a vlnění II Kmitem se nejobecněji rozumí pohyb hmotného bodu, který je omezen v prostoru. Vlna je jisté šíření vibračního pohybu prostorem., které nepřenáší hmotu ale přenáší energii. Aby mohl hmotný bod kmitat musí v oblasti, kde se může vyskytovat, existovat: rovnovážná poloha, v níž na bod nepůsobí žádné síly a síly, které se snaží o návrat do rovnovážné polohy. Jedná se tedy o stabilní rovnováhu. 8. 4. 2006

Druhy kmitů I Charakter kmitů je určen : konkrétní závislostí návratových sil na výchylce z rovnovážné polohy. Ty mají často charakter sil konzervativních a vyplývají z příslušného potenciálu. možnou přítomností sil disipativních (ztrátových). Důležitou podskupinou jsou kmity periodické, kde se určitá závislost výchylky pravidelně opakuje. Jejich podmnožinou jsou kmity harmonické, u nichž lze výchylku vyjádřit jako goniometrickou nebo-li harmonickou funkci času. 8. 4. 2006

Druhy kmitů II Skutečné periodické a tedy i harmonické kmity mohou existovat pouze nedochází-li při kmitání ke ztrátám mechanické energie. Potom se jedná o kmity netlumené. Jsou-li přítomny ztrátové síly, mechanická energie se spotřebovává na jejich překonávání a pohyb se za čas zastaví. To je typické pro kmitání tlumené. 8. 4. 2006

Druhy kmitů III Striktně vzato, každé reálné kmitání je tlumené. Netlumené kmity ale přesto mají svůj význam protože : tlumení může být zanedbatelně malé nebo energie, o kterou kmitající systém přichází, mu může být vhodným způsobem doplňována. 8. 4. 2006

Druhy kmitů IV Zabývat se harmonickými kmity má smysl neboť: jejich existence vyžaduje sice speciání druh návratových sil. Takové se ovšem často vyskytují. každý periodický pohyb lze vyjádřit jako Fourierovu řadu harmonických kmitů. každý obecný kmit lze vyjádřit jako Fourierův integrál harmonických kmitů. Součet i integrál jsou lineární operace  mnoho vlastností harmonických funkcí platí obecněji. 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity I Uvažujme pro jednoduchost tuto situaci : hmotný bod se může pohybovat na přímce, kterou ztotožníme například s osou x. počátek zvolíme v rovnovážné poloze Charakter kmitů je dán návratovou silou : návratová síla je přímo úměrná výchylce 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity II tato síla odpovídá Hookovskému chování. Jedná-li se o sílu způsobenou odezvou materiálu nazývá se konstanta úměrnosti k tuhost pružiny a je úměrná příslušnému Youngovu modulu. podobná síla ale může existovat v libovolném poli, které má potenciál, například gravitačním nebo elektrostatickém. 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity III Dosadíme-li z 2. Newtonova zákona do vztahu pro sílu dostaneme pohybovou rovnici. Konkrétně diferenciální rovnici 2. řádu, která neobsahuje člen 1. řádu : Vyzkoušíme řešení například ve tvaru : 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity IV Vypočteme první a druhou derivaci podle času a dosadíme do původní rovnice : Odtud vyjádříme  : 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity V Časovou závislost výchylky můžeme tedy popsat: Úhlová frekvence  popisuje analogicky jako u kruhového pohybu periodicitu. Kmit lze totiž chápat jako průmět rovnoměrného pohybu po kružnici na určitou přímku. Zavádíme tedy i frekvenci f a periodu T : 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity VI Protože výchylka vznikla dvojí integrací, obsahuje dvě integrační konstanty : amplitudu x0, která má význam největší možné výchylky a fázi , pomocí níž lze popsat kmity, které měly určitou počáteční výchylku v okamžiku, kdy se začal měřit čas. jejich hodnoty se určují z okrajových podmínek. 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity VII Nyní vyšetříme časovou závislost výchylky, rychlosti a zrychlení : 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity VIII Vidíme důležité vlastnosti : Rychlost se předchází před výchylkou o čtvrtinu periody. Když je výchylka nulová, je rychlost maximální a má odpovídající směr. Zrychlení je úměrné výchylce, ale je s ní v protifázi, neboli se předchází (nebo opožďuje) o polovinu periody To samozřejmě přesně odpovídá charakteru návratové síly, kterou předpokládáme. 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity IX Vyšetříme časovou závislost energie, která zjevně musí mít dvě složky : kinetickou, protože se hmotný bod pohybuje určitou časově proměnnou rychlostí a potenciální, protože k posunutí hmotného bodu do místa s určitou výchylkou je třeba vykonat práci. Tu lze principu lze získat zpět, protože vzhledem k předpokladům netlumeného kmitu jsou ztráty energie zanedbatelné. 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity X Najděme tuto práci : protože síla není konstantní, ale závisí na výchylce, musíme integrovat. abychom docílili určité výchylky musíme dodat kladnou práci, a to i v případě záporné výchylky. 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity XI Tedy : V kinetické energii dosadíme za  : 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity XII Pro celkovou energii tedy platí : a s využitím známe identity : 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity XIII Vidíme důležité vlastnosti : Kinetická energie je ve fázi s absolutní hodnotou rychlosti. Tedy nezávisí na jejím směru. Potenciální energie je ve fázi s absolutní hodnotou výchylky. Tedy opět nezávisi na její orientaci. Celková energie nezávisí na čase, ale jen na hmotnosti a čtverci úhlové frekvence a čtverci amplitudy. 8. 4. 2006

Netlumené harmonické kmity XIV Celková energie kmitajícího systému je tedy dána počátečními podmínkami a zachovává se. Na začátku například vychýlíme hmotný bod do určité polohy, což bude maximální výchylka. Tím vykonáme práci a dodáme systému počáteční celkovou energii. Ta se potom v závislosti na čase rozkládá určitým způsobem na potenciální a kinetickou, ale součet zůstává roven energii, kterou jsme dodali na počátku. Podobně můžeme dodat energii kinetickou nebo obě. 8. 4. 2006

Příklady – fyzické kyvadlo I Kyvadla jsou systémy kmitající zpravidla v gravitačním poli (výjimka např. torzní k.). Fyzickým kyvadlem může být jakékoli tuhé těteso, které se může otáčet kolem pevné osy neprocházející těžištěm. Budeme předpokládat vzdálenost osy od těžiště a. Takové kyvadlo je ve stabilní rovnováze, když je těžiště pod osou. 8. 4. 2006

Příklady – fyzické kyvadlo II Vychylme kyvadlo z rovnováhy o malý úhel . V důsledku gravitace se objevuje moment síly, který se snaží vrátit těleso do rovnovážné polohy. Napišme pohybovou rovnici : 8. 4. 2006

Příklady – fyzické kyvadlo III Jejím řešením budou za předpokladu malých úhlů, kdy sin()  , harmonické kmity : Řešení je analogické teoretickému : 8. 4. 2006

Příklady – fyzické kyvadlo IV Úhlová frekvence  tedy je : V čitateli opět vystupují “elastické” vlastnosti, které dávájí systém do pohybu a ve jmenovateli vlastnosti “setrvačné”, které kladou pohybu odpor. 8. 4. 2006

Příklady – matematické kyvadlo I Speciálním případem fyzického kyvadla je kyvadlo matematické, jehož veškerá hmotnost m je soustředěna ve vzdálenosti l od osy otáčení. Buď na nehmotném vlákně nebo tyčce. Můžeme použít vztahy pro fyzické kyvadlo, do nichž dosadíme : a = l, G = mg, J = m l2. 8. 4. 2006

Příklady – matematické kyvadlo II Pro úhlovou frekvenci  tedy dostáváme : a pro periodu T : Kyvadla se používají k odměřování času nebo k měření tíhového zrychlení. 8. 4. 2006