Kmity HRW kap. 16
kmitání = opakující se pohyb Kmity kmitání = opakující se pohyb Příklad: výsledná síla je úměrná výchylce částice z rovnovážné polohy a orientovaná proti výchylce zrychlení je úměrné výchylce a míří proti ní
perioda amplituda
perioda T = doba, za kterou se uskuteční jeden úplný kmit = nejkratší doba, za kterou se výchylka a rychlost (nebo jiné fyzikální veličiny popisující systém) vrátí na původní hodnoty frekvence f = počet kmitů za jednu sekundu výchylka amplituda
Pohybová rovnice pro harmonický pohyb je totéž jako nebo Úkol: Co můžeme říct o této rovnici? Nyní najdeme její řešení.
Řešení pohybové rovnice pro harmonický pohyb Zkusme funkci Je řešením pokud rovnici lze napsat také ve tvarech: Co jsme zjistili?
Úkol: nakreslete graf funkce úhlová (kruhová) frekvence počáteční fáze - posun na ose t
Kontrola: má řešení očekávané vlastnosti?
Harmonický pohyb (shrnutí) (lineární nebo harmonický oscilátor) pohybová rovnice její řešení Částice harmonicky kmitá kolem rovnovážné polohy. Výsledná síla je úměrná výchylce částice z rovnovážné polohy a orientovaná proti výchylce. Zrychlení je úměrné výchylce a míří proti ní.
Použití počátečních podmínek Řešení obsahuje 2 reálné konstanty, které určíme z počátečních podmínek. ? ? Počáteční podmínky: (příklad 16.2) Časté zvláštní případy: 1. 2.
(amplituda zrychlení) ?
Energie harmonického oscilátoru (konstanta, lze určit pomocí počátečních podmínek)
Energie harmonického oscilátoru (konstanta, lze určit pomocí počátečních podmínek) (to samozřejmě muselo vyjít)
Střední hodnoty energií Střední hodnota funkce za dobu jedné periody je
kmitá kolem rovnovážné polohy substituce už umíme řešit - soustava kmitá se stejnou frekvencí jako bez konstantní síly - konstantní síla pouze posune rovnovážnou polohu kmitá kolem rovnovážné polohy
Torzní kyvadlo
Matematické kyvadlo pro malé amplitudy
Fyzické kyvadlo pro malé amplitudy ověření výsledku pro matematické kyvadlo:
(1)
(2) (už jsme řešili)
Kmitání a rovnoměrný kruhový pohyb (fázorový diagram) rotuje úhlovou rychlostí fázor
Znázornění v komplexní rovině
Tlumené kmity pružná síla brzdná síla?
Tlumené kmity pohybová rovnice pružná síla brzdná síla
Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru předpokládáme řešení obecné řešení: Aperiodický pohyb (silný útlum) Mezní aperiodický pohyb (kritický útlum) Tlumený harmonický kmit (slabý útlum) 3 možnosti:
záleží na p.p., zde např. pro 1. Aperiodický pohyb záleží na p.p., zde např. pro (tlumení) roste Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou
2. Mezní aperiodický pohyb záleží na p.p., zde např. pro Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou 3. Návrat do rovnováhy je nejrychlejší (ve srovnání s ostatními pohyby)
3. Tlumený harmonický kmit reálné, tj. nebo Výchylka konverguje k rovnovážné poloze
3. Tlumený harmonický kmit - kmity s frekvencí - amplituda exponenciálně klesá Pozn.: pro velmi slabý útlum
3. Tlumený harmonický kmit - kmity s frekvencí - amplituda exponenciálně klesá Pozn.: pro velmi slabý útlum
Energie slabě tlumeného oscilátoru netlumený oscilátor tlumený oscilátor exponenciálně klesá
Nucené kmity a rezonance b volné a nucené kmity, tj. dvě frekvence: - vlastní frekvence - frekvence budící síly b
Nucené kmity a rezonance ? b - pružná síla - brzdná síla - budící síla Po zapnutí budící síly: pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené) a nucených kmitů. Po dostatečně dlouhé době: volné kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu (nezávisí na p.p.), tj. vykonává pouze nucené kmity. ? ?
Nucené kmity a rezonance b kmitající nosník pružná síla ? ? brzdná síla
Nucené kmity a rezonance b kmitající nosník pružná síla pohybová rovnice brzdná síla
amplituda výchylky amplituda rychlosti amplituda zrychlení
Rezonance Poloha maxima - rezonanční frekvence
torzní kmity hřídele Bohumil Kučera, O zjevech resonance u parníků a železnic, Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 36 (1907), No. 1, 91–100
Amplituda a fáze výchylky rychlosti x se opožďuje za F v předbíhá F v se opožďuje za F
Krouživé kmity hřídele rychlost těžiště úhlová rychlost (pouze označení!) výchylka ve fázi kritické otáčky výchylka v protifázi