Soustavy nerovnic o jedné neznámé Rovnice a nerovnice Soustavy nerovnic o jedné neznámé VY_32_INOVACE_M1r0120 Mgr. Jakub Němec

Nerovnice o jedné neznámé Princip výpočtu soustavy nerovnic o jedné neznámé spočívá v zapsání jednotlivých výpočtů do jednoho výsledku. Ze všech výsledků jednotlivých nerovnic vytvoříme průnik intervalů (popř. množin). Výsledná množina je výsledkem soustavy. Průnik intervalů známe již z teorie množin. V rámci řešené problematiky jsme průnik množin užívali již dříve při řešení rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou. V soustavách nerovnic o jedné neznámé se mohou kombinovat nerovnice různých typů (lineární, kvadratická, s absolutní hodnotou).

𝒙∈ −∞;−𝟑 3𝑥−2 2 ≤9𝑥∙ 𝑥−4 2𝑥−7 𝑥+3 >1 9 𝑥 2 −12𝑥+4≤9 𝑥 2 −36𝑥 3𝑥−2 2 ≤9𝑥∙ 𝑥−4 Řešte soustavu nerovnic početně a graficky. Nejdříve vypočteme každou nerovnici zvlášť. Určíme intervaly jednotlivých nerovnic. Určíme průnik intervalů, což je řešení dané soustavy. 2𝑥−7 𝑥+3 >1 9 𝑥 2 −12𝑥+4≤9 𝑥 2 −36𝑥 2𝑥−7 𝑥+3 −1>0 24𝑥≤−4/:24 2𝑥−7−𝑥−3 𝑥+3 >0 𝑥≤− 1 6 𝑥∈(−∞;− 1 6 > 𝑥−10 𝑥+3 >0 𝑥∈ −∞;−3 ∪ 10;∞ 𝒙∈ −∞;−𝟑

𝑥+7 ∙ 2𝑥+3 ≤ 𝑥+8 2 𝑥−3 5−𝑥 ∙ 2𝑥+7 <0 2 𝑥 2 +3𝑥+14𝑥+21≤ 𝑥 2 +16𝑥+64 𝑥+7 ∙ 2𝑥+3 ≤ 𝑥+8 2 Řešte soustavu nerovnic početně a graficky. Nejdříve vypočteme každou nerovnici zvlášť. Určíme intervaly jednotlivých nerovnic. Určíme průnik intervalů, což je řešení dané soustavy. 𝑥−3 5−𝑥 ∙ 2𝑥+7 <0 2 𝑥 2 +3𝑥+14𝑥+21≤ 𝑥 2 +16𝑥+64 𝑥−3 5−𝑥 ∙ 2𝑥+7 >0 𝑥 2 +𝑥−43≤0 𝑥−3 5−𝑥 ∙ 2𝑥+7 <0 𝑥+ 1− 173 2 ∙ 𝑥+ 1− 173 2 ≤0 𝑥∈ −1− 173 2 ; −1+ 173 2 𝑥−3 5−𝑥 ∙ 2𝑥+7 <0 𝑥∈ − 7 2 ;3 ∪ 5;∞ 𝒙∈ − 𝟕 𝟐 ;𝟑 ∪ 𝟓; −𝟏+ 𝟏𝟕𝟑 𝟐

𝒙∈∅ 𝑥 2 −8𝑥−20≤0 2𝑥−7 𝑥+5 >1 𝑥−10 ∙ 𝑥+2 ≤0 2𝑥−7−𝑥−5 𝑥+5 >0 Řešte soustavu nerovnic početně a graficky. Nejdříve vypočteme každou nerovnici zvlášť. Určíme intervaly jednotlivých nerovnic. Určíme průnik intervalů. Vidíme, že průnik intervalů neexistuje, výsledkem je tedy prázdná množina. 2𝑥−7 𝑥+5 >1 𝑥−10 ∙ 𝑥+2 ≤0 2𝑥−7−𝑥−5 𝑥+5 >0 𝑥−10 ∙ 𝑥+2 ≤0 𝒙∈ −𝟐;𝟏𝟎 𝑥−12 𝑥+5 >0 𝒙∈ −∞;−𝟓 ∪ 𝟏𝟐;∞ 𝒙∈∅

Úkol závěrem 1) Řešte soustavu nerovnic pro 𝑥∈ℝ a výsledek zapište pomocí intervalu a znázorněte jej graficky: a) 𝑥 2 +27≤3∙ 𝑥 2 +9 −32 2𝑥−7 𝑥+2 ≤−2 b) 3𝑥−5 2 >2∙ 2𝑥−3 2 2𝑥−3 𝑥+5 ≤1

Zdroje Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.