2.2.2 Úplné kvadratické rovnice

2.2.2 Úplné kvadratické rovnice 2.2.2.1 Diskriminant 2.2.2.2 Vztahy mezi kořeny a koeficienty 2.2.2.3 Rozklad kvadratického trojčlenu

každou rovnici ve tvaru 2.2.2 Úplnou kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru kde a, b, c  R, a  0, b  0, c  0.

Příklad 1: Určete rozměry obdélníku, jehož Příklad 1: Určete rozměry obdélníku, jehož obsah je 24 cm2 a obvod 20 cm. Řešení: Označíme-li si velikost strany , pak velikost strany , neboť součet velikostí obou stran je roven polovině obvodu obdélníku, tj. 10 cm. Obsah obdélníku je roven , takže dostáváme rovnici

Trojčlen na levé straně rozložíme na součin Využijeme znalostí vzorců: Součin je roven nule jen tehdy,je-li aspoň jeden činitel roven nule. Zkouškou se přesvědčíme, že dané úloze vyhovuje – jako velikost větší strany obdélníku – pouze číslo . Rozměry obdélníku, jehož obsah je 24 cm2 a obvod 20 cm, jsou 6 cm a 4 cm.

2.2.2.1 Výpočet kořenů kvadratické rovnice D diskriminant kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny D  0 kvadratická rovnice má jeden reálný dvojnásobný kořen D = 0 D  0 kvadratická rovnice v oboru R nemá řešení K = 

Řešte v R kvadratickou rovnici: Příklad 1: Řešte v R kvadratickou rovnici: Řešení: D  0 Rovnice má dva reálné různé kořeny.

Řešte v R kvadratickou rovnici: Příklad 2: Řešte v R kvadratickou rovnici: . Řešení: kvadratická rovnice má jeden reálný dvojnásobný kořen Zk.:

K =  Cvičení 2.2.2.1: Příklad 3: Řešte v R kvadratickou rovnici: Řešení: D  0 kvadratická rovnice v oboru R nemá řešení K =  Cvičení 2.2.2.1: Řešte v R kvadratické rovnice: 1. 5. 2. 6. 3. 7. 4. 8.

koeficienty kvadratické rovnice 2.2.2.2 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Každou kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty lze vydělením rovnice koeficientem a upravit na normovaný tvar kvadratické rovnice Označíme-li pak je kvadratická rovnice v normovaném tvaru.

Viètovy vzorce Nechť je kvadratická rovnice v normovaném tvaru, kde Pro kořeny normované kvadratické rovnice platí: Příklad 1: Řešte v R kvadratickou rovnici: Řešení:

Příklad 2: Řešte v R kvadratickou rovnici užitím Viètových vzorců.

Cvičení 2.2.2.2: 1.Řešte v R kvadratickou rovnici užitím Viètových vzorců. a) d) b) e) c) f) 2.Sestavte kvadratickou rovnici užitím Viètových vzorců, jsou-li dány její kořeny. a) b) c) 3.Určete v dané rovnici číslo p (popř. q) tak,aby jeden kořen byl a) b)

2.2.2.3 Rozklad kvadratického trojčlenu Známe-li kořeny kvadratické rovnice D  0, pak lze provést rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů: Má-li kvadratická rovnice záporný diskriminant D  0, nelze trojčlen na její levé straně vyjádřit jako součin lineárních dvojčlenů. Jestliže kvadratický trojčlen nelze rozložit na součin lineárních dvojčlenů, pak pro všechna platí , nebo pro všechna platí  

Rozložte kvadratický trojčlen Příklad 1: Rozložte kvadratický trojčlen na součin lineárních činitelů. Řešení: Vypočítáme křeny kvadratické rovnice ( pokud existují ).

Rozložte kvadratické trojčleny na součin lineárních činitelů: Příklad 2: Rozložte kvadratické trojčleny na součin lineárních činitelů: Řešení: V.v.

Řešení: D  0

Řešení: D  0

Cvičení 2.2.2.3 1. Rozložte kvadratické trojčleny na součin lineárních činitelů: 2. Zkraťte:

Kontrolní test Rozložte kvadratické trojčleny na součin činitelů: