Komplexní čísla goniometrický tvar Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota reálného čísla je jeho vzdálenost od počátku. Stejným způsobem je definována i v oboru komplexních čísel. Její výpočet vyplývá s Pythagorovy věty (viz obrázek). Je-li z = a + ib, pak 3i Im z 2i 2 + 2i –3 + i i –3 –2 –1 1 2 3 Re z –i –2i

Argument komplexního čísla Argument komplexního čísla je velikost orientovaného úhlu mezi kladnou reálnou osou a spojnicí čísla a počátku souřadnic. Značí se Arg z a vypočítá se pomocí goniometrických funkcí. Je vhodné si číslo zakreslit do roviny a posoudit správnost výsledku dle kvadrantu, ve kterém se číslo nachází. 3i Im z 2i 2 + 2i φ = Arg z –3 – i φ – 180° i –3 –2 φ = Arg z –1 1 2 3 Re z –i

Goniometrický tvar komplexního čísla V Gaussově rovině je komplexní číslo jednoznačně určeno jeho reálnou a imaginární částí. Jednoznačně určeno však může být i jinými údaji, např. jeho vzdáleností od počátku (absolutní hodnotou) a úhlem (argumentem). Reálnou a imaginární část pak můžeme vyjádřit takto: Komplexní číslo z = a + ib pak tedy můžeme zapsat následujícím způsobem: Tomuto způsobu zápisu se říká goniometrický tvar komplexního čísla. Tento tvar je výhodnější pro některé početní operace s komplexními čísly než tvar algebraický.

Umocňování komplexních čísel Umocňování komplexních čísel opakovaným násobením v algebraickém tvaru by bylo zdlouhavé a pracné. Proto je výhodnější převést číslo do goniometrického tvaru a použít následující vzorec: Příklad: Pokud je absolutní hodnota čísla rovna jedné (jde tedy o tzv. komplexní jednotku), lze uvedený vzorec zapsat ve tvaru Tomuto vztahu, který se dá použít pro odvození vzorců goniometrických funkcí násobků úhlů, se nazývá Moivreova [moávrova] věta dle francouzského matematika Abrahama de Moivrea (1667–1754).

Odmocňování komplexních čísel Odmocňování komplexních čísel je obdobné jako jejich umocňování: Za k se postupně dosazují čísla od 0 do n – 1, vznikne tedy celkem n odmocnin. Příklad: Zakreslením jednotlivých odmocnin do Gaussovy roviny vzniknou vrcholy pravidelného n-úhelníku se středem v počátku. Toho lze využít při dopočítání odmocnin pro sudé n (symetrie vzhledem k počátku).