obecný rovinný pohyb tělesa analytické řešení pólová konstrukce Dynamika I, 6. přednáška Obsah přednášky : obecný rovinný pohyb tělesa analytické řešení pólová konstrukce rozklad pohybu Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty s řešením kinematických poměrů při obecném rovinném pohybu

rovnoběžných rovinách. Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška posuvný pohyb rovinný pohyb : Všechny body tělesa se pohybují v navzájem rovnoběžných rovinách. rotační pohyb obecný rovinný pohyb Obecný rovinný pohyb je pohyb, který : - je rovinný, - není ani posuvný ani rotační.

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška Těleso, které koná obecný rovinný pohyb, může mít 1, 2 nebo 3 stupně volnosti. 1 stupeň volnosti rotace 2 stupně volnosti posuv 3 stupně volnosti

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška 1 stupeň volnosti f, w, e r rotace 1 stupeň volnosti jeden nezávislý pohyb valení bez prokluzu x, v, a posuv valení bez prokluzu nezávislý posuv a rotace x, v, a 2 stupně volnosti f, w, e prokluz v bodě dotyku dva nezávislé pohyby prokluz v bodě dotyku

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška Kinematika se zabývá vyšetřováním rychlostí a zrychlení. Analytické řešení. Řešení rychlostí pólovou konstrukcí. Řešení základním rozkladem.

Analytické řešení je založeno na analytické geometrii Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška analytické řešení Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. Tyč AB délky l se pohybuje tak, že bod A se smýká po vodorovné podlaze rychlostí vA a se zrychlením aA, bod B se smýká po svislé stěně rychlostí vB a se zrychlením aB. Poloha bodu A je dána vodorovnou souřadnicí xA, poloha bodu B je dána svislou souřadnicí yB od rohu stěny a podlahy. Pro rozměry xA, yB (proměnné souřadnice) a l (konstantní délka tyče) zjevně platí Pythagorova věta. B  yB A xA vA, aA dáno, vypočtěte vB, aB

Analytické řešení je založeno na analytické geometrii Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška analytické řešení Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. základní schéma xA yB A B  úloha polohy řešení rychlosti řešení zrychlení vA, aA dáno, vypočtěte vB, aB

Analytické řešení je založeno na analytické geometrii Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška analytické řešení Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. alternativní postup B  yB A xA vA, aA dáno, vypočtěte vB, aB

Pozor ! Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška analytické řešení Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. Pozor ! B  Ve výsledku je velmi významné záporné znaménko. Podává informaci (jedinou informaci) o směru pohybu. Kladné znaménko znamená rychlost (zrychlení) ve směru narůstající souřadnice (vodorovně doprava, svisle nahoru). Záporné znaménko znamená rychlost (zrychlení) ve směru klesající souřadnice (vodorovně doleva, svisle dolů). Záporné znaménko ve výše uvedeném vzorci pak znamená, že při pohybu bodu A doprava bude bod B klesat a naopak. Toto znaménko je jedinou informací o orientaci rychlosti resp. zrychlení. yB A xA vA, aA dáno, vypočtěte vB, aB

Analytické řešení je založeno na analytické geometrii Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška analytické řešení Analytické řešení je založeno na analytické geometrii a na aplikaci základních zákonitostí kinematiky - - rychlost je derivací dráhy a zrychlení je derivací rychlosti. B  yB w,e f A xA

Toto jsou tzv. vazbové rovnice. Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška analytické řešení f = 360º = 2·p  6,28 rad f,w,e f r f·r x v,a x = 2·p·r valení bez prokluzu Toto jsou tzv. vazbové rovnice. Jejich platnost je dána valivou vazbou mezi tělesem a podložkou. Udávají jednoznačný vztah mezi posuvem (x,v,a) a rotací (f,w,e).

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška analytické řešení úloha polohy r·sin(f) A 1. f A yA řešení rychlosti 2. xA valení bez prokluzu řešení zrychlení 3.

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška analytické řešení zobecnění úloha polohy sA, sB – tzv. zobecnělé souřadnice – délkové nebo úhlové řešení rychlosti vA, vB – tzv. zobecnělé rychlosti – délkové nebo úhlové řešení zrychlení aA, aB – tzv. zobecnělá zrychlení – délková nebo úhlová

Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška pólová konstrukce Pólová konstrukce je založena na existenci zvláštního bodu - pólu pohybu (značíme jej p). Pro pól pohybu platí že rychlosti všech bodů při obecném rovinném pohybu jsou stejné, jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu. Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. B nB π  nA yB A xA

Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška pólová konstrukce Pólová konstrukce je založena na existenci zvláštního bodu - pólu pohybu (značíme jej p). Pro pól pohybu platí že rychlosti všech bodů při obecném rovinném pohybu jsou stejné, jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu. Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. B nB π Tyč AB délky l se pohybuje tak, že bod A se smýká po vodorovné podlaze rychlostí vA, bod B se smýká po svislé stěně rychlostí vB.  nA yB Bod A se pohybuje po vodorovné přímce, normála této trajektorie nA je svislá. Bod B se pohybuje po svislé přímce, normála této trajektorie nB je vodorovná. Na průsečíku těchto normál leží pól pohybu p. A xA Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu p.

Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška pólová konstrukce Pólová konstrukce je založena na existenci zvláštního bodu - pólu pohybu (značíme jej p). Pro pól pohybu platí že rychlosti všech bodů při obecném rovinném pohybu jsou stejné, jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu. Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. B nB π B nB p w   nA nA yB yB A A xA xA Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu p.

Ne zrychlení ! Jen rychlosti ! Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška pólová konstrukce B nB p w Jen rychlosti ! nC C  nA  Ne zrychlení ! A Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu p. To platí pro všechny body tělesa, ne jen pro body A a B.

Ne zrychlení ! Jen rychlosti ! Obecný rovinný pohyb B  A Dynamika I, 6. přednáška pólová konstrukce Tento postup nelze aplikovat na zrychlení. Ve skutečnosti se oba body (A i B) pohybují po přímce, takže jejich normálové zrychlení je nulové. Při pomyslné rotaci okolo pólu se však oba body pohybují po kružnici a mají nenulové normálové zrychlení, což je špatný výsledek. bod B se pohybuje po přímce B nB π B nB aBn=0 p w   nA nA aAn=0 A A bod A se pohybuje po přímce Jen rychlosti ! Ne zrychlení !

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška kinematická geometrie Při obecném rovinném pohybu je pólem pohybu v každém okamžiku jiný bod. Křivku - množinu bodů, které byly, jsou nebo budou pólem nazveme polódie. p(t-Dt) p(t-Dt) B p(t) B p(t) p(t+Dt) p(t+Dt) pevná polódie pohyblivá polódie A A Množina bodů, které byly, jsou nebo budou pólem, vynesených do pevného (nehybného) prostoru, se nazývá polódie pevná. Množina bodů, které byly, jsou nebo budou pólem, vynesených do tělesového (pohybujícího se) prostoru, se nazývá polódie pohyblivá.

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška kinematická geometrie Obě polódie se navzájem dotýkají v pólu pohybu.

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška kinematická geometrie Obecný rovinný pohyb lze chápat jako valení (bez prokluzu) pohyblivé polódie po polódii pevné. p(t-Dt) B p(t) C pevná polódie D p(t+Dt) E pohyblivá polódie A

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška kinematická geometrie Obecný rovinný pohyb lze chápat jako valení pohyblivé polódie po polódii pevné. p(t-Dt) bod B se pohybuje po přímce B pevná polódie p(t) B C pevná polódie D p(t+Dt)  valení  E pohyblivá polódie pohyblivá polódie A A bod A se pohybuje po přímce Obecný rovinný pohyb je technicky realizován smýkáním bodů A a B po vodorovné resp. svislé podložce. Polódie fyzicky neexistují, jsou pouze abstraktními geometrickými objekty. Obecný rovinný pohyb je technicky realizován valením fyzicky existující pohyblivé polódie po fyzicky existující polódii pevné.

Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška kinematická geometrie Společná tečna pevné a pohyblivé polódie se nazývá tečna polódií tp.

Ne zrychlení ! Jen rychlosti ! v r Obecný rovinný pohyb Dynamika I, 6. přednáška valení bez prokluzu f,w pohyblivá polódie Jen rychlosti ! v Ne zrychlení ! r p pevná polódie p pól pohybu Při valení tělesa po podložce je povrch tělesa (jeho obrys) pohyblivou polódií, podložka sama je polódií pevnou. Dotykový bod tělesa s podložkou je pólem pohybu.

+ vposuv vrotace vB vA vA Obecný rovinný pohyb posuv B B B rotace A A Dynamika I, 6. přednáška základní rozklad Základní rozklad je umělá myšlenková konstrukce - představa obecného rovinného pohybu jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů - posuvu a rotace. posuv B B B vposuv vrotace + rotace vB A vA A vA A superposice posuvného a rotačního pohybu dáno : vA, aA - rychlost a zrychlení bodu A, vypočtěte : vB, aB - rychlost a zrychlení bodu B.

vposuv =vA vB vrotace =vBA vB vA vA Obecný rovinný pohyb posuv B B Dynamika I, 6. přednáška základní rozklad Základní rozklad je umělá myšlenková konstrukce - představa obecného rovinného pohybu jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů - posuvu a rotace. posuv B B vposuv =vA vB vrotace =vBA rotace vB vA A vA A A – referenční bod superposice posuvného a rotačního pohybu Referenční bod určuje oba současné pohyby : Posuv - posuv ve směru pohybu referenčního bodu. Rotace - rotace okolo referenčního bodu. Za referenční bod si zvolíme bod, pohybující se po jednoduché trajektorii (přímka, kružnice, ...).

l vA vB f vBA  AB w vB f vA Obecný rovinný pohyb B A Dynamika I, 6. přednáška základní rozklad vA B vB f vBA  AB w l vB f vA A technologie grafická technologie početní

l aA f aBAn  AB w , e aB aB f aBAt  AB f aA Obecný rovinný pohyb B Dynamika I, 6. přednáška základní rozklad aA B f aBAn  AB w , e aB l aB f aBAt  AB f aA A vodorovně svisle

Obecný rovinný pohyb A – referenční bod ( BC)  AB Dynamika I, 6. přednáška základní rozklad vA,aA posuv + rotace x B f A y f b A – referenční bod r w,e C y ( BC)  AB valení bez prokluzu

Obecný rovinný pohyb A – referenční bod  AB  AB Dynamika I, 6. přednáška základní rozklad vA,aA posuv + rotace B x f A f A – referenční bod b g r w,e C y  AB valení bez prokluzu f  AB

Obecný rovinný pohyb A – referenční bod  BC  BC Dynamika I, 6. přednáška základní rozklad vA,aA posuv + rotace B x f A y A – referenční bod b g r  BC w,e C y y valení bez prokluzu  BC

obecný rovinný pohyb tělesa analytické řešení pólová konstrukce Dynamika I, 6. přednáška Obsah přednášky : obecný rovinný pohyb tělesa analytické řešení pólová konstrukce rozklad pohybu