Kmitavý pohyb 1 Jana Krčálová, 8.A

Kmitavý pohyb Kmitavý pohyb je základní typ pohybu, pro který je charakteristické, že kmitající těleso při pohybu zůstává stále v okolí určitého bodu, označovaného jako rovnovážná poloha. Je to pohyb nerovnoměrný. Jestliže těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou, koná periodický kmitavý pohyb.

Kmitání – těleso kmitá kolem rovn. polohy (nemusí se opakovat) Periodický pohyb – těleso kmitá kolem rovn. polohy opakovaně Harmonický pohyb – časový diagram sinusoida

Frekvence, perioda Periodicky se opakující část kmitavého pohybu nazýváme kmit. Kmit charakterizují dvě veličiny: 1. Perioda (doba kmitu) T, za kterou proběhne jeden kmit a oscilátor dospěje do stejné polohy jako v počátečním okamžiku. [T] = s 2. Frekvence (kmitočet) f, který je roven počtu kmitá za jednu sekundu. Je tedy převrácenou hodnotou periody: f = 1/T. [f] = Hz (hertz)

Oscilátory Zařízení, které volně (bez vnějšího působení) kmitá, je mechanický oscilátor. kyvadlo pružinový oscilátor struna, srdce, …

Harmonický kmitavý pohyb pohyb přímočarý, časovým diagramem sinusoida Při pohybu mech. oscilátoru se okamžitá výchylka y periodicky mění a vzhledem k rovnovážné poloze nabývá kladných i záporných hodnot. V určitém čase dosahuje y největší kladné nebo záporné hodnoty, absolutní hodnota největší výchylky je amplituda výchylky ym.

Harmonickému kmitavému pohybu odpovídá průmět pohybu rovnoměrného po kružnici do svislé polohy. Pro výchylku harmonického pohybu tělesa, které se v počátečním okamžiku nachází v rovnovážné poloze, platí vztah: y = ym ∙ sin ωt y = r ∙ sin φ y…okamžitá výchylka v čase t [m] ym…maximální výchylka (amplituda) [m] ω…úhlová rychlost (frekvence) [rad∙s-1] ω = 2πf t…čas [s] φ = ωt … fáze kmitavého pohybu [rad]

Kinematika harmonického pohybu

Fáze kmitavého pohybu Dosud jen harmonické kmitání, při němž bylo kmit. těleso v počátečním okamžiku v rovn. poloze. V praxi potřebujeme zapsat i rovnici harm. kmitání v případě, že těleso je v počátečním okamžiku v jiné poloze, popř. chceme popsat kmitání dvou oscilátorů, které nekmitají synchronně. φ = ωt

Veličina φ0 je počáteční fáze kmitavého pohybu. Určuje výchylku, popř Veličina φ0 je počáteční fáze kmitavého pohybu. Určuje výchylku, popř. jinou veličinu harm. kmitání v počátečním okamžiku t0. Obvykle vyjadřuje fázový rozdíl těchto veličin. Pro okamžitou výchylku platí vztah: y = ym ∙ sin(ωt + φ0) φ0 = ωt0

Fázový rozdíl dvou harmonických veličin o stejné frekvenci je určen rozdílem jejich počátečních fází. Δφ = (ωt + φ02) – (ωt + φ01) = φ02 - φ01 Např. z obrázku na předchozí stránce: y1 = ymsin(ωt + π/6) y2 = ymsin(ωt - π/6) Δφ = (ωt - π/6) – (ωt + π/6) = - π/3 tzn. že kmitání s výchylkou y2 je vzhledem ke kmitání s výchylkou y1 fázově posunuto o úhel - π/3

Dynamika kmitavého pohybu Příčinou kmitavého pohybu je buď síla pružnosti, nebo tíhová síla. Zrychlení: a = - ω2y 2NPZ: F = ma Síla, která způsobuje harm. kmitání: F = - myω2 - pohybová rce mechanického oscilátoru F = - ky k – tuhost pružiny (o jakou délku se pružina prodlouží, pokud na ni působí vnější síla) [k] = Nm-1 př. k = 10Nm-1 – při působení 10N se pružina prodlouží o 1m

Síla pružnosti: FP = kΔl Tuhost pružiny: k = FP/ Δl Nezatížená pružina má délku l0. Po zavěšení tělesa o hmotnosti m a jeho ustálení se pružina prodlouží působením tíhové síly FG na délku l = l0 + Δl. V rovnovážné poloze působí na těleso oscilátoru síla pružnosti FP, která má stejnou velikost jako tíhová síla FG = mg, ale opačný směr. Je tedy kΔl – mg = 0. Když oscilátor uvedeme do kmitavého pohybu, síla pružnosti se mění, zatím co tíhová síla zůstává stálá. Na oscilátor působí výsledná síla F = FP+ FG = k(Δl – y) – mg = -ky

F = - ky F = - myω2 → - ky = - myω2 → ω2 = k/m Z toho plyne: Úhlová frekvence volně kmitajícího mechanického oscilátoru závisí jen na jeho parametrech, tj. na hmotnosti m tělesa a tuhosti k pružiny. Takové kmitání nazýváme vlastní kmitání oscilátoru a jeho vlastí úhlovou frekvenci značíme ω0: ω0 = √(k/m) → úpravou: T0 = 2π √(k/m), f0 = 1/2π ∙ √(k/m)

Fázorový diagram Souvislost kmitavého pohybu s pohybem rovnoměrným po kružnici se využívá k symbolickému znázornění veličin kmitavého pohybu, popř. i jiných periodických dějů (např. elektrických). Veličina je symbolicky znázorněna vektorem Y, jehož délka je úměrná amplitudě veličiny ym a poloha vektoru v pravoúhlé souřadnicové soustavě je určena počáteční fází veličiny φ0 . Na rozdíl od skutečných vektorů používáme pro toto symbolické znázornění veličin kmitavých dějů termín fázor. Grafické znázornění veličin kmitavého pohybu pomocí fázorů označujeme jako fázorový diagram.