Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb Rozklad pohybu

rovinný pohyb : Obecný rovinný pohyb posuvný pohyb (určený pohybem Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb posuvný pohyb (určený pohybem referenčního bodu) obecný rovinný pohyb druhotný (relativní) rotační pohyb (kolem referenčního bodu) rovinný pohyb : Všechny body tělesa opisují rovinné trajektorie, které leží ve vzájemně rovnoběžných rovinách. Proto pro popis rovinného pohybu stačí popisovat průmět tělesa do jedné z těchto rovin, kterou si libovolně zvolíme za základní. Tak místo trojrozměrného tělesa vyšetřujeme pohyb plošného útvaru v rovině. Obecný rovinný pohyb je pohyb, který : - je rovinný, - není ani posuvný ani rotační.

Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb Těleso, které koná obecný rovinný pohyb, může mít 1, 2 nebo 3 stupně volnosti. např.: těleso pohybující se v jednom posuvném směru 1 stupeň volnosti těleso pohybující se v jednom posuvném směru s možností otáčení rotace 2 stupně volnosti posuv těleso pohybující ve dvou posuvných směrech s možností otáčení 3 stupně volnosti

Obecný rovinný pohyb 1 stupeň volnosti jeden nezávislý pohyb Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb Jedním z jednodušších obecných rovinných pohybů je valení válcového tělesa po pevné vodorovné podložce. x, v, a f, w, e posuv rotace r 1 stupeň volnosti jeden nezávislý pohyb valení bez prokluzu valení bez prokluzu

Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb Kinematika se zabývá poměry rychlostí a zrychlení. Metody řešení: Nebudeme se zabývat Analytické řešení. Řešení rychlostí pólovou konstrukcí. Řešení základním rozkladem.

Pólová konstrukce je založena na existenci Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb pólová konstrukce Pólová konstrukce je založena na existenci zvláštního bodu – tzv. pólu pohybu (značíme jej π), kterým lze jednoduše určit rychlosti bodů tělesa při rovinném pohybu. B nB π  nA yB Pro pól pohybu platí, že rychlosti všech bodů při obecném rovinném pohybu jsou stejné, jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu. A Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. xA

Obecný rovinný pohyb B  yB A xA Pólová konstrukce Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb Pólová konstrukce je založena na existenci zvláštního bodu - pólu pohybu (značíme jej p). Pro pól pohybu platí že rychlosti všech bodů při obecném rovinném pohybu jsou stejné, jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu. Pól pohybu leží na společném průsečíku normál trajektorií všech bodů. B nB π Tyč AB délky l se pohybuje tak, že bod A se pohybuje (smýká) po vodorovné podlaze rychlostí vA, bod B se pohybuje (smýká) po svislé stěně rychlostí vB.  nA yB Bod A se pohybuje po vodorovné přímce, normála této trajektorie nA je svislá. Bod B se pohybuje po svislé přímce, normála této trajektorie nB je vodorovná. Na průsečíku těchto normál leží pól pohybu π. A xA Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu π.

Obecný rovinný pohyb B  yB A xA Pólová konstrukce Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb Pólová konstrukce Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu p. Bπ = poloměr otáčení bodu B B nB π π B nB w  nA  nA yB Aπ = poloměr otáčení bodu A yB A A xA xA Při rotačním pohybu:

Použití pólového bodu platí pouze pro určení rychlosti bodů tělesa! Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak, jako bychom řešili rotaci okolo pólu p. Pólová konstrukce To platí pro všechny body tělesa, ne jen pro body A a B. A B C p nC nB  nA  w xA xC yC Použití pólového bodu platí pouze pro určení rychlosti bodů tělesa! yB

Použití pólového bodu platí pouze pro určení rychlosti bodů tělesa! Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb Pólová konstrukce Použití pólového bodu platí pouze pro určení rychlosti bodů tělesa! Normálové zrychlení an mění směr rychlosti, musí proto u přímočarého pohybu být nulové. nB bod B se pohybuje po přímce B π B nB aBn=0 p w   nA nA aAn=0 A A Normálové zrychlení podle pólové konstrukce, tzn. pro rotační pohyb by mělo hodnotu např. pro bod A: bod A se pohybuje po přímce V tomto případě to není pravda!!! Neplatí pro zrychlení !

Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Při obecném rovinném pohybu je pólem pohybu v každém okamžiku jiný bod – poloha pólu se mění s časem. Proto se určují křivky, které jsou množinami poloh těchto bodů při pohybu. Křivka - množina bodů, které byly, jsou nebo budou pólem se nazývá polódie. p(t-Dt) p(t-Dt) B p(t) B p(t) Pohyblivá polódie spojuje polohy pólů určených ve vztažné soustavě nehybně spojené s tělesem. p(t+Dt) Pevná polódie p(t+Dt) spojuje polohy pólů určených ve vztažné soustavě nehybně spojené s rovinou, ve které se pohyb uskutečňuje. A A Množina bodů, které byly, jsou nebo budou pólem, vynesených do tělesového (pohybujícího se) prostoru, se nazývá polódie pohyblivá. Množina bodů, které byly, jsou nebo budou pólem, vynesených do pevného (nehybného) prostoru, se nazývá polódie pevná.

Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Obě polódie se navzájem dotýkají v pólu pohybu.

Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie p(t-Dt) B p(t) C pevná polódie D p(t+Dt) E pohyblivá polódie A Při obecném rovinném pohybu se pohyblivá polódie odvaluje po polódii pevné.

Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Obecný rovinný pohyb lze chápat jako valení pohyblivé polódie po polódii pevné. p(t-Dt) bod B se pohybuje po přímce B pevná polódie p(t) B C pevná polódie D p(t+Dt)  valení  E pohyblivá polódie pohyblivá polódie A A bod A se pohybuje po přímce

Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb kinematická geometrie Společná tečna pevné a pohyblivé polódie se nazývá tečna polódií tp.

valení bez prokluzu v r Obecný rovinný pohyb pohyblivá polódie f,w p Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb valení bez prokluzu Jednoduché je určení polódií u valení válce nebo koule: Hybnou polódií je obvodová kružnice válce (popř. hlavní kružnice koule). Pevnou polódií je průsečnice plochy, po které se válec (koule) valí, s rovinou pohybu. pohyblivá polódie f,w p v r pevná polódie p pól pohybu

+ vposuv vrotace vB vA Obecný rovinný pohyb posuv B rotace A Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad Základní rozklad je umělá myšlenková konstrukce - představa obecného rovinného pohybu jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů - posuvu a rotace. posuv A B vposuv vA vrotace vB + rotace superposice posuvného a rotačního pohybu

vposuv vrotace vB vA =vBA =vA vB vA Obecný rovinný pohyb posuv rotace Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad Základní rozklad - představa obecného rovinného pohybu jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů: - posuvného (určený pohybem referenčního bodu) - a rotačního (relativního) pohybu kolem tohoto (referenčního) bodu. posuv rotace A B vposuv vrotace vB vA =vBA =vA A – referenční bod A B vB vA superposice (skládání) posuvného a rotačního pohybu Referenční bod určuje oba současné pohyby : Posuv - posuv ve směru pohybu referenčního bodu. Rotace - rotace okolo referenčního bodu. Za referenční bod si zvolíme bod, pohybující se po jednoduché trajektorii (přímka, kružnice, ...). Podobně i pro zrychlení

l vA vB f vBA  AB w f Obecný rovinný pohyb B A základní rozklad Technická mechanika 8. přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad rychlost pohybu vA posuv + rotace vB vBA  AB f A B f l w vektorový součet Rychlost u rotačního pohybu je tečna k trajektorii pohybu vBA  AB vB Ze zákonitostí trojúhelníku: vA

l aA f aBAn  AB aB w , e f aBAt  AB f Obecný rovinný pohyb B A Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad zrychlení pohybu tečné zrychlení má směr rychlosti aA f aBAn  AB B aB normálová a tečná složka aBA w , e l f aBAt  AB ω f A Ve směru x: Ve směru y: Jestliže

Obecný rovinný pohyb A – referenční bod  AB  BC základní rozklad Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad vA,aA posuv + rotace x B f A y f b A – referenční bod r  AB w,e C y  BC bod C je okamžitým bodem otáčení valení bez prokluzu

Obecný rovinný pohyb A – referenční bod  AB  AB základní rozklad Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad vA,aA posuv + rotace B x f A – referenční bod A f b g r w,e aBA C y  AB valení bez prokluzu f  AB

Obecný rovinný pohyb A – referenční bod  BC  BC základní rozklad Technická mechanika 8.přednáška Obecný rovinný pohyb základní rozklad vA,aA posuv + rotace B f A A – referenční bod b x r y w,e C g  BC y valení bez prokluzu y  BC aBt je odkloněno od osy x o úhel ψ jako rychlost vB (má stejný směr)