FI-05 Mechanika – dynamika II 25. 2. 2007

Hlavní body Blíže k realitě : soustava hmotných bodů a dokonale tuhé těleso První a druhá impulsová věta Hmotný střed Moment setrvačnosti a Steinerova věta Rozklad silového působení na translační a rotační u dokonale tuhého tělesa 25. 2. 2007

Soustava hmotných bodů I Dosud jsme se zabývali mechanikou hmotného bodu. Tato abstrakce se hodila pro pohodlnou definici základních veličin mechaniky, ale při splnění příslušných předpokladů ji lze použít i k řešení skutečných problémů. Obecný sytém lze chápat jako soustavu hmotných bodů, které spolu interagují. 25. 2. 2007

První věta impulsová I Na i-tý hmotný bod působí výslednice sil, kterou můžeme rozdělit na výslednici vnitřních sil, pocházejících z iterakce s hmotnými body, které jsou součástí systému a výslednici sil vnějších. Podle 2. Nz.: 25. 2. 2007

První věta impulsová II Celková hybnost systému je vektorový součet všech hybností: Potom platí: 25. 2. 2007

První věta impulsová III Časová změna celkové hybnosti je rovna výslednici vnějších sil. Důsledkem platnosti zákona akce a reakce je totiž součet všech vnitřních sil přes celý systém roven nule : 25. 2. 2007

Druhá věta impulsová I Obdobně můžeme uvažovat o otáčivém účinku síly na i-tý hmotný bod vzhledem k libovolnému pevnému bodu O: 25. 2. 2007

Druhá věta impulsová II Celkový moment hybnost systému je vektorový součet všech momentů hybností uvažovaných k témuž pevnému bodu O: Při sčítání přes celý systém opět využíváme důsledku zákona akce a reakce. 25. 2. 2007

Druhá věta impulsová III Časová změna celkového momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil, vzhledem k pevnému bodu O: 25. 2. 2007

Důsledky impulsových vět Je-li výslednice vnějších sil, působících na systém nulová, zachovává se celková hybnost systému. Je-li výslednice momentů vnějších sil, působících na systém nulová, zachovává se celkový moment hybnosti systému. Vnější síly mají obecně translační i rotační účinek. Je důležité, jak působí vzhledem k hmotnému středu. 25. 2. 2007

Příklad – ráz těles I Centrální ráz – hmotné body jsou kuličky, na které nepůsobí žádné vnější síly. Před srážkou se (proti sobě) pohybují dvě kuličky mi, rychlostmi vi. Po srážce mají rychlosti ui. Podle I.VI se vždy zachovává celková hybnost: Ráz se odehrává mezi dvěma mantinely - dokonale nepružný u1 = u2 = u: Dokonale pružný – zachovává se i celková kinetická energie : 25. 2. 2007

Ráz těles II po vydělení rovnic dojdeme k řešení 25. 2. 2007

Hmotný střed I Celou soustavu lze reprezentovat těžištěm, přesněji hmotným středem , ve kterém je soustředěna celá hmotnost soustavy Získáme ho integrací rovnice : Definice těžiště platí i ve složkách : , , 25. 2. 2007

Hmotný střed II Hmotný střed: Nezávisí na volbě souřadné soustavy. Ale její vhodná volba může značně usnadnit výpočet. Je v průsečíku prvků symetrie. S ohledem na to volíme souřadnou soustavu. U těles s rotační symetrií lze využít Pappova teorému : dráha těžiště x plocha = objem. 25. 2. 2007

Hmotný střed III Uvažujme nový počátek v těžišti Potom : Této rovnosti lze využít k důkazu důležitých vlastností těžiště : rotace systému kolem libovolné osy, procházející těžištěm a pohyb posuvný neboli translační tohoto těžiště v prostoru jsou pohyby na sobě nezávislé. 25. 2. 2007

Hmotný střed IV Druhá věta impulsová tedy platí nejen vztáhneme-li ji k libovolnému pevnému bodu, ale také k těžišti systému, které se může dokonce obecně pohybovat. Je to ale jediný pohyblivý bod vzhledem k němuž tato věta platí. 25. 2. 2007

Dokonale tuhé těleso I Rozložení vnějšího účinku na translační a rotační závisí na dodatečných podmínkách. Některé systémy lze považovat za dokonale tuhé. Znamená to, že žádným působením se nemohou měnit vzdálenosti mezi hmotnými body. Takový systém tedy není možné deformovat. 25. 2. 2007

Dokonale tuhé těleso II Ani translační ani rotační silové působení na dokonale tuhé těleso se nezmění když: do libovolného bodu umístíme dvě síly stejně velké, ale opačně orientované. libovolnou sílu posuneme kamkoli po přímce jejího působení.  na libovolnou přímku umístíme dvě síly stejně velké, ale opačně orientované. 25. 2. 2007

Dokonale tuhé těleso III Účinek síly, která působí v přímce procházející těžištěm, je čistě translační Účinek dvojice stejných, opačně orientovaných sil, působících v libovolných paralelních přímkách, je čistě rotační. 25. 2. 2007

Dokonale tuhé těleso IV Steinerova věta I U tuhých těles je výhodné popsat rozložení hmotnosti pomocí momentu setrvačnosti : J =  mi r2i Z vlastnosti těžistě plyne Steinerova věta : kde Ja je moment setrvačnosti vůči ose, vzdálené a od těžiště a Jt je m.s. vůči ose procházející těžištěm, která je s ní paralelní 25. 2. 2007

*Dokonale tuhé těleso V Steinerova věta II Polohový vektor i-tého bodu lze vyjádřit pomocí jeho polohového vektoru v těžišťové soustavě : Tedy : Prostřední člen je z vlastnosti těžiště roven nule. 25. 2. 2007

Dokonale tuhé těleso VI Steinerova věta III Je patrné, že ze všech paralelních os je moment setrvačnosti nejmenší vůči ose procházející těžištěm. Je-li výslednice všech momentů sil, které působí na DTT nulová, rotuje těleso rovnoměrně (s konstantní ) kolem osy, procházející těžištěm nebo je v klidu. 25. 2. 2007

Dokonale tuhé těleso VII Statika Je-li výslednice všech sil, působících na DTT so nulová, pohybuje se těleso rovnoměrně nebo je v klidu. Hledáním podmínek, za kterých zůstávají tělesa v klidu se zabývá statika. Obecně musí být vykompenzovány všechny síly a všechny momenty sil, a to každá jejich složka. 25. 2. 2007

Dokonale tuhé těleso VIII Kinetická energie Lze ukázat, že celková kinetická energie dokonale tuhého tělesa se obecně skládá z translační a rotační složky: 25. 2. 2007

Dokonale tuhé těleso IX hmotnost ~ moment setrvačnosti Ve vztazích pro rotační pohyb vystupuje moment setrvačnosti na místech, kde v analogických vztazích pro pohyb translační vystupuje hmotnost: 25. 2. 2007