směr kinematických veličin - rychlosti a zrychlení, Dynamika I, 3. přednáška Obsah přednášky : křivočarý pohyb bodu, směr kinematických veličin - rychlosti a zrychlení, přirozený, kartézský, cylindrický a sférický souřadný systém, pohyb bodu po kružnici Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základními zákonitostmi křivočarého pohybu bodu

Dynamika I, 3. přednáška Pohyb bodu v prostoru Vyšetřujeme-li pohyb bodu po křivočaré trajektorii, musíme se zabývat nejen velikostí ale i směrem kinematických veličin - rychlosti v a zrychlení a. Poloha bodu v prostoru je určena polohový vektorem r. Počáteční bod polohového vektoru leží v počátku souřadného systému (je pevný, nehybný), koncový bod leží v bodě, jehož polohu určuje (pohybuje se). Rychlost v a zrychlení a jsou vektorové veličiny (podobně jako např. síla nebo intenzita elektrostatického pole). To znamená že mají velikost a směr.

Okamžitá rychlost má směr tečny k trajektorii. Dynamika I, 3. přednáška Pohyb bodu v prostoru rychlost Δs s - dráha A(t+Δt) r – polohový vektor A(t) s stiskni klávesnici trajektorie Okamžitá rychlost má směr tečny k trajektorii. O polohový vektor v čase t („teď“) velikost rychlosti polohový vektor v čase t+Dt („za chvíli“) změna polohového vektoru A(t) bod A v čase t („teď“) A(t+Dt) bod A v čase t+Dt („za chvíli“) Dva body na křivce určují sečnu. Jsou-li tyto body nekonečně blízko u sebe („soumezné body“), sečna přechází v tečnu.

Pohyb bodu v prostoru stiskni klávesnici rychlost v čase t („teď“) Dynamika I, 3. přednáška Pohyb bodu v prostoru zrychlení stiskni klávesnici A(t+Δt) A(t) trajektorie O rychlost v čase t („teď“) rychlost v čase t+Dt („za chvíli“) změna rychlosti Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti. Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti.

Pohyb bodu v prostoru rychlost v čase t („teď“) Dynamika I, 3. přednáška Pohyb bodu v prostoru zrychlení A(t+Δt) A(t) trajektorie O rychlost v čase t („teď“) rychlost v čase t+Dt („za chvíli“) změna rychlosti změna velikosti rychlosti změna směru rychlosti Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti. Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti. Obě složky vektoru změny rychlosti Dv probereme zvlášť.

Dynamika I, 3. přednáška Pohyb bodu v prostoru zrychlení A(t+Δt) A(t) t trajektorie O Mění se pouze velikost rychlosti, směr zůstává beze změny. Zrychlení má stejný směr jako rychlost - směr tečny. Velikost tečného zrychlení je : Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti. Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti. Obě složky vektoru změny rychlosti Dv probereme zvlášť.

Dynamika I, 3. přednáška Pohyb bodu v prostoru zrychlení A(t+Δt) A(t) t n trajektorie O Mění se pouze velikost rychlosti, směr zůstává beze změny. Zrychlení má stejný směr jako rychlost - směr tečny. Velikost tečného zrychlení je : Mění se pouze směr rychlosti, velikost zůstává beze změny. Zrychlení má směr kolmý k rychlosti - směr normály. Velikost normálového zrychlení bude určena zvlášť. Pozn. Je třeba mít na paměti, že úhel, který spolu svírají vektory v(t) a v(t+Dt), je nekonečně malý.

Pohyb bodu v prostoru Dynamika I, 3. přednáška zrychlení l A(t+Δt) A(t) t n trajektorie O R l V kinematice budeme často používat vyjádření délky l kruhového oblouku o poloměru R a vrcholovém úhlu a jako součinu poloměru a úhlu, vyjádřeného v radiánech (tzv. „v obloukové míře“). a 1 rad = (180/p)º  57,3 º

Pohyb bodu v prostoru Dynamika I, 3. přednáška zrychlení A(t+Δt) A(t) t n trajektorie O „délka oblouku“ „poloměr“ úhel poloměr křivosti

Pohyb bodu v prostoru tečné zrychlení má směr tečny k trajektorii, Dynamika I, 3. přednáška Pohyb bodu v prostoru zrychlení A(t+Δt) A(t) t n trajektorie O tečné zrychlení má směr tečny k trajektorii, vyjadřuje změnu velikosti rychlosti normálové zrychlení má směr normály k trajektorii, vyjadřuje změnu směru rychlosti R - poloměr křivosti trajektorie odstředivá síla Fodstř = m·an

tečna, normála a binormála tvoří tzv. „průvodní trojhran“ Dynamika I, 3. přednáška tečna, normála, binormála – přirozený souřadný systém Tečna t je přímka, daná dvěma soumeznými body trajektorie. Normála n je kolmice k tečně, ležící v oskulační rovině. Oskulační rovina je dána třemi soumeznými body trajektorie. tečna, normála a binormála tvoří tzv. „průvodní trojhran“ Binormála b je přímka, kolmá k tečně a normále. tečna - normála oskulační rovina normála - binormála normálová rovina tečna - binormála rektifikační rovina

tečna, normála a binormála tvoří tzv. „průvodní trojhran“ Dynamika I, 3. přednáška tečna, normála, binormála – přirozený souřadný systém střed oskulační kružnice S je střed křivosti trajektorie poloměr oskulační kružnice R je poloměr křivosti trajektorie Tečna t je přímka, daná dvěma soumeznými body trajektorie. Normála n je kolmice k tečně, ležící v oskulační rovině. Oskulační rovina je dána třemi soumeznými body trajektorie. tečna, normála a binormála tvoří tzv. „průvodní trojhran“ Binormála b je přímka, kolmá k tečně a normále. tečna - normála oskulační rovina normála - binormála normálová rovina tečna - binormála rektifikační rovina Oskulační kružnice je dána třemi soumeznými body trajektorie.

Dynamika I, 3. přednáška Souřadné systémy kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z směrové úhly, směrové cosiny : úhel vektoru od osy x úhel vektoru od osy y úhel vektoru od osy z

Dynamika I, 3. přednáška Souřadné systémy kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z

Dynamika I, 3. přednáška Souřadné systémy cylindrický (válcový) souřadný systém, r, f, z

Dynamika I, 3. přednáška Souřadné systémy cylindrický (válcový) souřadný systém, r, f, z

Dynamika I, 3. přednáška Souřadné systémy sférický (kulový) souřadný systém, r, f, J

Dynamika I, 3. přednáška Souřadné systémy sférický (kulový) souřadný systém, r, f, J

Pohyb bodu po kružnici Dynamika I, 3. přednáška polární souřadný systém, r, f (rovinná varianta cylindrického souřadného systému) Kartézský souřadný systém x-y není pro řešení pohybu po kružnici moc vhodný. Kartézské souřadnice x-y nabývají hodnot v omezeném rozsahu (intervalu). Kartézské souřadnice x-y nejsou na sobě nezávislé. Musí vždy splňovat rovnici kružnice. Jedné hodnotě x odpovídají vždy dvě možné hodnoty y. Vhodnější je polární souřadný systém r-f.

Pohyb bodu po kružnici Dynamika I, 3. přednáška polární souřadný systém, r, f (rovinná varianta cylindrického souřadného systému) úhel [rad, º] dráha [m] úhlová rychlost [rad/s] obvodová rychlost [m/s] normálové zrychlení [m/s2] úhlové zrychlení [rad/s2] (někdy též označené a) tečné zrychlení [m/s2]

Pohyb bodu po kružnici Dynamika I, 3. přednáška polární souřadný systém, r, f (rovinná varianta cylindrického souřadného systému) úhel [rad, º] dráha [m] úhlová rychlost [rad/s] obvodová rychlost [m/s] Úhel může být zadán ve stupních, v radiánech nebo počtem otočení. 1 rad = (180/p)º  57,3º, 90º = p/2 rad  1,57 rad (pravý úhel, čtvrt otáčky), 180º = p rad  3,14 rad (půlkruh, půl otáčky), 360º = 2·p rad  6,28 rad (plný kruh - jedna otáčka). Místo úhlové rychlosti w bývají v technické praxi často uváděny otáčky n - otáčky za sekundu nebo za minutu. 1 ot/s = 60 ot/min = 2·p rad/s  6,28 rad/s. n [ot/s] n [ot/min]

směr kinematických veličin - rychlosti a zrychlení, Dynamika I, 3. přednáška Obsah přednášky : křivočarý pohyb bodu, směr kinematických veličin - rychlosti a zrychlení, přirozený, kartézský, cylindrický a sférický souřadný systém, pohyb bodu po kružnici