FIFEI-03 Mechanika – dynamika hmotného bodu a soustavy hmotných bodů. http://stein.upce.cz/msfei14.html http://stein.upce.cz/fei/fIfei_03.html Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 11. 03. 2014

Hlavní body Dynamika hmotného bodu Síla, hmotnost, hybnost, Newtonovy zákony Impuls síly, práce, kinetická energie, výkon síly Blíže k realitě : soustava (systém) hmotných bodů a dokonale tuhé těleso První impulsová věta Moment hybnosti – základní zákony zachování Dynamika rotačních pohybů Druhá impulsová věta Hmotný střed, moment setrvačnosti a Steinerova věta Rozklad silového působení na translační a rotační u dokonale tuhého tělesa

Úvod do dynamiky Mechanika by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody proč se tělesa dávají do pohybu, zrychlují, zpomalují, zakřivuje se jejich dráha nebo co se děje při jejich srážce. Pohybují-li se tělesa (s neměnící se hmotností) s nenulovým zrychlením, musí na ně působit nenulová síla, obecně výslednice působících sil. Ale k udržení rovnoměrného přímočarého pohybu síly tedy třeba není . Dojít k tomuto jednoduchému závěru bylo velice obtížné a zdlouhavé, protože síly, jako například tření, nemusí být patrné a mohou být i dalekodosahové. 11. 03. 2014

Síla Síla je příčinou proč jsou objekty v rovnováze, dávají se do pohybu, padají k zemi, brzdí nebo mění směr svého pohybu. Jednotkou síly v soustavě SI je jeden newton: Síla je vektorovou veličinou, výsledná síla je vektorovým součtem všech působících sil. Síly mohou být způsobené přímým dotykem těles nebo dalekodosahové. Ty působí na dálku bez přímého kontaktu ovlivňujících se těles. 11. 03. 2014

Hmotnost Intuitivně považujeme hmotnost za míru množství látky. Jednotkou hmotnosti v soustavě SI je jeden kilogram. Ukazuje se, že setrvačná hmotnost je velmi přesně rovna hmotnosti gravitační. Dynamika ukazuje že přesněji je to míra setrvačnosti tělesa. Čím je těleso těžší, tím obtížněji lze změnit jeho pohybový stav. 11. 03. 2014

Hybnost Pohybový stav hmotného bodu lze popsat vektorem hybnosti definovaným jako: Význam hybnosti spočívá v tom, že se zachovává, když je výslednice sil působících na hmotný bod nulová. Pokud nulová není, mění se. Záleží na všech interakcích s jinými hmotnými body i se silovými poli. 11. 03. 2014

Newtonovy zákony Isaac Newton (1642-1727) geniálně shrnul poznatky klasické dynamiky do tří zákonů: Zákonu setrvačnosti Zákonu síly Zákonu akce a reakce Upřesnění těchto zákonů bylo nutné až za hranicemi klasické mechaniky, při vysokých rychlostech a v mikrosvětě . 11. 03. 2014

Zákon setrvačnosti Nepůsobí-li na hmotný bod síla, pohybuje se rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu. Přesněji: Je-li síla působící na hmotný bod nulová, je jeho hybnost konstantní. Silou se zde a dále obecně rozumí výslednice všech působících sil. Samozřejmě i reakčních! V této formulaci jsou zahrnuty i speciální pohyby, kde se mění hmotnost, jako raketový. 11. 03. 2014

Zákon síly I Síla působící na hmotný bod je rovna časové změně jeho hybnosti. Za předpokladu, že hmotnost zůstává konstantní, platí formulace jednodušší : Jednotkou síly je 1 newton : N = kg m s-2 11. 03. 2014

Zákon síly II Předchozí vztahy jsou vektorové. Platí tedy i v příslušných složkách. Například: Nenulová druhá složka síly je rovna změně druhé složky hybnosti v čase. Je-li třetí složka síly nulová, je třetí složka hybnosti konstantní, atd. 11. 03. 2014

Zákon akce a reakce Působí-li těleso 1 na těleso 2 silou , působí i těleso 2 na těleso 1 silou . Obě síly jsou stejně velké, ale opačně orientované: . Každá působí na jiné těleso a proto se tyto síly spolu nedají obecně složit. Složit se dají jen když je mezi tělesy tzv. vazba, Tedy jsou spojena. Potom je účinek sil nulový. 11. 03. 2014

Časový účinek síly - impuls Působí-li konstantní síla po jistou dobu, dostáváme integrací 2. Newtonova zákona : Změna hybnosti se rovná impulsu síly. Je tedy důležité, jak dlouho síla působí. Vztah opět platí samozřejmě i ve složkách. 11. 03. 2014

Dráhový účinek síly – práce I Pro jednoduchost předpokládejme konstantní sílu a hmotnost a pohyb jedním směrem (po jedné přímce = ose x). V důsledku působení síly se stav hmotného bodu změní (t1, x1, v1) -> (t2, x2, v2). Z 2.NZ víme, že se jedná o rovnoměrně zrychlený pohyb a můžeme použít vztahu pro souřadnici v čase t, známého z kinematiky: 11. 03. 2014

Dráhový účinek síly - práce II Pro konkrétní čas t2 tedy platí: Vyjádříme a a čas (pomocí rychlosti) : a = F/m (t2 – t1) = (v2 – v1)/a = (v2 – v1)m/F Po úpravě : 11. 03. 2014

Dráhový účinek síly – práce III Tedy : A = F x = v22 m/2 – v21 m/2 = Ek  A je práce, kterou vykoná síla F na dráze x mv2 /2 = Ek je kinetická (pohybová) energie Obě veličiny mají rozměr energie a v SI jednotku 1 joule : J = Nm = kg m2 s-2 Obecně se musí uvažovat průmět síly do směru pohybu. Práce je tedy skalární součin : 11. 03. 2014

*Dráhový účinek síly I Uvažujme opět jednorozměrný případ působení konstantní síly na kompaktní hmotný bod. V obecnějším případě bychom ztotožnili osu x se směrem posunu a uvažovali pouze složku síly do tohoto směru. Použili jsme: Lze ukázat: 11. 03. 2014

Výkon působící síly Často je důležité, za jakou dobu došlo k vykonání určité práce. To charakterizujeme výkonem, který chápeme jako rychlost konání práce a definujeme analogicky jako ‘klasickou’ rychlost : Průměrný výkon : <P> = A/t Okamžitý výkon : P = dA/dt Jednotkou výkonu v SI je 1 watt W = Js-1 11. 03. 2014

Soustava hmotných bodů I Dosud jsme se zabývali mechanikou hmotného bodu. Tato abstrakce se hodila pro pohodlnou definici základních veličin mechaniky, ale při splnění příslušných předpokladů ji lze použít i k řešení skutečných problémů. Obecný sytém lze chápat jako soustavu hmotných bodů, které spolu jistým způsobem interagují. 11. 03. 2014

Hmotný střed I Celou soustavu lze reprezentovat těžištěm, přesněji hmotným středem , ve kterém je soustředěna celá hmotnost soustavy Definice těžiště platí i ve složkách, čehož se využívá, má-li problém méně dimenzí než 3 : , , 11. 03. 2014

*Hmotný střed II Získáme ho integrací rovnice pro celkovou hybnost : 11. 03. 2014

Hmotný střed II Hmotný střed: Nezávisí na volbě souřadné soustavy. Ale její vhodná volba může značně usnadnit výpočet. Je v průsečíku prvků symetrie. S ohledem na to volíme souřadnou soustavu. U těles s rotační symetrií lze využít Pappova teorému : dráha těžiště x plocha = objem. U těles, skládajících se ze součástek lze jako uvažovat těžiště těchto součástek a mi jejich hmotnosti. 11. 03. 2014

Hmotný střed III Uvažujme nový počátek v těžišti Potom : Této rovnosti lze využít k důkazu důležitých vlastností těžiště : rotace systému kolem libovolné osy, procházející těžištěm a pohyb posuvný neboli translační tohoto těžiště v prostoru jsou pohyby na sobě nezávislé. 11. 03. 2014

První věta impulsová I Na i-tý hmotný bod působí výslednice sil, kterou můžeme rozdělit na výslednici vnitřních sil, pocházejících z interakce s hmotnými body, které jsou součástí systému a výslednici sil vnějších. Podle 2. Nz.: 11. 03. 2014

První věta impulsová II Celková hybnost systému je vektorový součet všech hybností: Potom platí: ! 11. 03. 2014

První věta impulsová III Časová změna celkové hybnosti je rovna výslednici vnějších sil. Jinými slovy celkovou hybnost mohou ovlivnit pouze vnější síly. Je to významný důsledek platnosti zákona akce a reakce. Součet všech vnitřních sil přes celý systém je totiž roven nule : 11. 03. 2014

Moment hybnosti – základní zákony zachování Z dynamiky hmotného bodu je zřejmé, že je-li výslednice působících sil nulová, zachovává hmotný bod svoji hybnost a kinetickou energii. Přímočarý pohyb je možné chápat jako okamžitou rotaci kolem počátku a definovat rotační pohybový stav hmotného bodu – moment hybnosti: Tato veličina se zachovává. K zachování dochází i při působení nenulové síly, pokud je kolineární s průvodičem, například centrální síla při pohybu planet. 11. 03. 2014

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

Příklad na výpočet těžiště I Mějme čtyři koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg, ležící na jedné přímce vždy 1 m od sebe. Kde je těžiště tohoto systému? Leží-li koule na přímce je tato přímka osou symetrie, problém je jednorozměrný a je vhodné právě tuto přímku ztotožnit s jednou z os, například osou x. Poloha těžiště na volbě počátku samozřejmě nezávisí, ale je výhodné zvolit počátek ve středu jedné z koulí, např. první. Potom: Těžiště tedy leží ve středu třetí koule a můžete si vyzkoušet, že tam bude ležet i při jiné volbě počátku.

Příklad na výpočet těžiště II Mějme opět čtyři koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg, ležící v rozích čtverce o straně 1 m. Kde je těžiště tohoto systému? Problém má nyní rovinu symetrie a je tedy dvourozměrný. Osy zavedeme, aby na nich ležely dvě kolmé strany čtverce, čili jedna koule leží v počátku. Ať tedy koule mají např. souřadnice: 1:[0,0], 2:[1,0], 3:[0,1] a 4:[1,1]. Potom: Těžiště má souřadnice [0.6, 0.7]. Koule s příslušnou souřadnici nulovou jsme již ve výpočtu vůbec neuvažovali.

Příklad na výpočet těžiště III Mějme nyní koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg v některých rozích krychle o straně 1 m. Kde je těžiště tohoto systému? Nyní problém nemá symetrii a je třírozměrný. Stále je ale výhodné zavést speciálně souřadnou soustavu, takže např. souřadnice koulí jsou: 1:[0,0,0], 2:[1,0,0], 3:[0,1,0] a 4:[0,0,1]. Potom: Těžiště má souřadnice [0.2, 0.3, 0.4]. Koule s příslušnou souřadnici nulovou jsme již ve výpočtu vůbec neuvažovali A neopakujeme již ani definice složek těžiště. ^

Příklad na výpočet těžiště IV Kde leží těžiště půlkruhu, který vznikl rozpůlením kruhové desky o poloměru a? Problém má jednak rovinu symetrie a je tedy dvourozměrný a dále dvojčetnou osu, procházející středem původní kruhové desky kolmo na řez. Tu ztotožníme s osou x a na ní hledáme těžiště. Osa y bude přímka řezu a počátek tedy původní střed. Otočíme-li půlkruh kolem osy y o jednu otáčku, dostaneme kouli. Bude-li souřadnice těžiště xT, bude podle Pappova teorému platit:

Příklad na výpočet těžiště V Poněkud složitější cestou řešení předchozího problému je integrace v polárních souřadnicích : Integrací lze ale řešit problémy s podstatně slabšími požadavky na symetrii, než vyžaduje Pappův teorém. ^