KMT/FPV – Fyzika pro přírodní vědy 6. přednáška, 3. 12. 2013 Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah přednášky Tuhé těleso, těžiště tuhého tělesa Moment síly, podmínky rovnováhy Moment hybnosti, impulsové věty Popis rotačního pohybu, moment setrvačnosti Setrvačníky, lunisolární precese Země

Tuhé těleso Tuhé těleso – fyzikální abstrakce, nezanedbáváme rozměry, ale ignorujeme deformační účinky síly (jinými slovy, sebevětší síla má pouze pohybové účinky, vzdálenost libovolných 2 bodů tělesa se jejím působením nemění) Je nutné uvažovat 2 základní typy pohybů: Pohyb translační (posuvný) Pohyb rotační (otáčivý) – rotace kolem pevné či okamžité osy U translace stačí sledovat pohyb 1 bodu, všechny ostatní mají stejnou rychlost a zrychlení (jak co do směru, tak do velikosti)

Těžiště, hmotný střed tělesa 1 Těžiště – působiště tíhové síly (působiště výslednice tíhových sil na jednotlivé (nekonečně malé) části tělesa), značíme T. Pojem těžiště má tedy smysl jen v tíhovém poli. Hmotný střed – bod pevně určený tvarem tělesa, stanoví se výpočtem pomocí integrálu bez ohledu na přítomnost tíhové síly. Značíme HS Pojmy těžiště a hmotný střed splývají v homogenním tíhovém poli (všude stejné tíhové zrychlení g, dále uvažujeme jen tuto situaci…), v nehomogenním tíhovém poli však již nikoliv!! T = HS g homogenní tíhové pole T HS g nehomogenní tíhové pole

Těžiště, hmotný střed tělesa 2 Jak najdeme těžiště? U symetrických a homogenních (všude stejná hustota) těles je ve středu symetrie či někde na ose symetrie (střed koule, střed krychle, osa rotačního kužele – ale kde na ose??) Obecně je potřeba provést výpočet pomocí integrálů  Jednoduchá geometrická metoda – těžiště je v průsečíku těžnic při zavěšení ve dvou různých bodech V některých případech (prstýnek, váza, podkova) může těžiště ležet i mimo těleso!

Rovnovážné polohy tělesa Těleso se snaží zaujmout polohu s nejnižší možnou energií (rovnovážná poloha - RP, setrvává v ní, dokud může) Zpravidla jde o nejnižší tíhovou potenciální energii, jde tedy o to, aby těžiště bylo co možná nejníže! Rozlišujeme 3 druhy RP: Stabilní (stálá) – těžiště je v nejnižší možné poloze, potenciální energie je nejnižší možná, po vychýlení se těleso vrací zpět do původní RP Labilní (vratká) – těžiště je v nejvyšší možné poloze, po vychýlení klesá, těleso si hledá novou Indiferentní (volná) – po vychýlení se výška těžiště nemění, těleso zůstává v nové RP, do které bylo vychýleno Stabilní RP Tn T Labilní RP T Tn Indiferentní RP T Tn

Stabilita tělesa Stabilita tělesa je udána prací (jednotka stability je tedy 1 J), kterou musíme vykonat, abychom ho dostali z jeho současné RP do jiné RP. Pro labilní a indiferentní RP je tato práce vždy rovna nule, smysl ji má určovat jen pro stabilní RP! Příklad: Určete stabilitu homogenní krychle o hmotnosti m = 5 kg a délce hrany a = 20 cm položené jednou svojí stanou na vodorovné rovině. Řešení: Zajímá nás, o jakou výšku s musíme zvednout těžiště krychle T , aby se překulila na jinou stranu. Překonáváme tíhovou sílu, ze vztahu W = F*s a obrázku pak máme: W = m*g*(√2/2*a -1/2*a) ≈ 2 J. T´ T √2/2 a a/2 s = √2/2*a -1/2*a

Moment síly Proč je klika u dveří vždycky na druhé straně než futra?? Otáčivé účinky síly F závisí nejen na její velikosti, ale i na kolmé vzdálenosti jejího působiště od osy otáčení! Vystihuje je vektorová fyzikální veličina moment síly. Značíme M, pro velikost platí M = F*d, vektorově můžeme psát s pomocí vektorového součinu M = r × F. M je tedy vždy kolmý na F i na r. Pro směr momentu síly pravidlo pravé ruky: Položíme pravou ruku na těleso, prsty ukazují směr otáčení. Poté vztyčený palec udává směr momentu síly, který toto otáčení vyvolává. Rozměr M: M = F*d → rozměr je N*m = kg*m*s-2*m = kg*m2*s-2 (stejný rozměr jako práce!) φ F r d O-osa otáčení M = r × F M = r*F*sin φ = F*d

Moment síly 2 Pokud na těleso působí více sil, je celkový moment dán podle principu superpozice vektorovým součtem jednotlivých momentů, tj. platí M = M1 + M2 + M3 +… Momentová věta: Otáčivý účinek několika sil na těleso se ruší, je-li vektorový součet jejich momentů vzhledem k ose otáčení roven nule, tj. M1 + M2 + M3 +… = 0. Podmínka rovnováhy: Těleso je v rovnovážné poloze, je-li vektorový součet všech vnějších sil a momentů vnějších sil roven nule. F2 φ F1 r1 d2 d1 ε r2 O-osa otáčení M1 = r1 × F1 M1 = r1*F1*sin φ = F1*d1 M2 = r2 × F2 M2 = r2*F2*sin ε = F2*d2 Mo = M1 + M2 Mo = F1*d1 + F2*d2

1. impulsová věta 1. impulsová věta je vlastně vyjádřením 2. Newtonova zákona pro těleso. Říká, že změna (derivace) hybnosti tělesa je rovna výslednici vnějších sil působících na těleso. Pokud je výslednice vnějších sil rovna nule (mechanicky izolované těleso), pak se hybnost tělesa v čase zachovává! Matematicky: dp/dt = Fv , pokud Fv = 0, platí dp/dt = 0 → p = konst. (zachování hybnosti) Viděli jsme, že pro otáčivý pohyb přebírá roli síly F moment síly M. Logická otázka tedy je, zda by neplatila analogie 1. impulsové věty pro případ otáčení, v níž by místo síly vystupoval moment síly? Ukazuje se, že ano, je to tzv. 2. impulsová věta. Nejprve však musíme zavést další fyzikální veličinu – moment hybnosti.

Moment hybnosti Moment hybnosti L je stejně jako moment síly určen jako vektorový součin radiusvektoru r a příslušné veličiny (tj. v našem případě hybnosti p). Je to vektorová veličina! Obecně může být určován vůči bodu či vůči ose otáčení, my jej pro jednoduchost budeme uvažovat vždy vůči pevné ose otáčení (tj. ose, která má stálý směr v prostoru). Matematicky L = r × p, tj. L = p*d, kde d je kolmá vzdálenost vektoru hybnosti od osy otáčení. Rozměr L: L = p*d = m*v*d→ rozměr je kg*(m*s-1)*m = = kg*m2*s-1. Pro moment hybnosti opět platí princip superpozice, výsledný moment hybnosti se určí jako vektorový součet dílčích momentů φ p r d O-osa otáčení L = r × p L = r*p*sin φ = p*d

2. impulsová věta 2. impulsová věta je analogií 1. IV (a tedy 2. NZ) pro rotační pohyb. Místo síly vystupuje moment síly, místo hybnosti pak moment hybnosti. Platí tedy, že časová změna (derivace) momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil působících na těleso. Pokud je výslednice momentů vnějších sil rovna nule, pak se moment hybnosti tělesa v čase zachovává - máme zákon zachování hybnosti, s jehož významnými důsledky se seznámíme později. Matematicky: dL/dt = Mv , pokud Mv = 0, platí dL/dt = 0 → L = konst. (zákon zachování momentu hybnosti). Poznámka: Důsledkem ZZMH je např. 2. Keplerův zákon – zákon ploch (viz 5. přednáška)

Energie rotačního pohybu 1 Zkusme se nyní na rotační pohyb podívat z hlediska jeho kinetické energie. Pro posuvný pohyb závisí kinetická energie na rychlosti v a hmotnosti m vztahem Ekinp = ½*m*v2. Analogií k rychlosti v pro rotační pohyb logicky bude úhlová rychlost ω (viz 2. přednáška). Ale co nahradí ve vztahu pro kinetickou energii rotačního pohybu hmotnost m?? Záleží na tom, jak je hmota rozprostřená kolem osy otáčení, čím dál je od ní, tím bude mít při rotaci úhlovou rychlostí ω větší rychlost v (platí v = ω*r, kde r je vzdálenost od osy rotace) a tím větší kinetickou energii.

Energie rotačního pohybu 2 Rozložení hmoty vůči dané pevné ose otáčení popisuje skalární veličina zvaná moment setrvačnosti J (analogie hmotnosti pro rotaci). Pro kinetickou energii rotačního pohybu pak platí Ekinr = ½*J*ω2. Pokud se realizuje zároveň rotační i posuvný pohyb (např. válec na nakloněné rovině), je celková kinetická energie dána vztahem Ekin = Ekinp + Ekinr = ½*m*v2 + ½*J*ω2.

Moment setrvačnosti Moment setrvačnosti J vůči dané ose má vždy rozměr hmotnost*vzdálenost na druhou, je to tedy kg*m2. Konkrétní vzorec pro danou osu a dané těleso je třeba určit integrálem. Příklady: J = ½*m*R2 pro válec o poloměru podstavy R, hmotnosti m a osu rotace kolmou na podstavu a procházející středem J = 2/5*m*R2 pro kouli o poloměru R, hmotnosti m a libovolnou osu procházející středem. J = m*R2 pro obruč o hmotnosti m a poloměru R a kolmou osu procházející středem obruče. Poznámka: Uvedené úvahy platí pouze pro případ rotace kolem pevné osy v prostoru. Jinak se situace silně komplikuje a moment setrvačnosti se stává symetrickým tenzorem 3. řádu (matice 3*3)

Souvislost momentů hybnosti a setrvačnosti Pro rotaci tělesa kolem pevné osy platí důležitý vztah L = J*ω. Pokud je výsledný působící moment síly Mv na těleso roven nule, zůstává moment hybnosti L konstantní (2. impulsová věta). Poté platí, že součin J*ω je konstantní v čase, pokud se zmenší J, zvětší se ω a naopak. Příklady využití: skoky v krasobruslení – dát ruce k tělu, snížit J, tím zvýšit rychlost rotace gymnastika – obdobný princip

Setrvačníky Setrvačník – rotující zařízení mající velký moment setrvačnosti a tudíž podle vztahu Ekinr = ½*J*ω2 i velkou kinetickou energii (akumulace energie) a velký moment hybnosti (platí vztah L = J*ω) Matematický popis setrvačníků velmi náročný, analytické řešení známo jen v několika případech… Volný setrvačník – moment působících sil je nulový (např. tzv. Maxwellův setrvačník nebo setrvačník v Cardanově závěsu), moment hybnosti se zachovává, osa v prostoru má stálý směr! Těžký setrvačník – setrvačník v tíhovém poli uchycený mimo těžiště. Vlivem momentu tíhové síly opisuje osa setrvačníku tzv. precesní kužel (viz pohyb klasické káčy).

Gyroskopický efekt Princip – moment vnější síly se snaží natočit vektor momentu hybnosti (a tedy osy rotace) do směru pohybu tělesa Využití – stabilizace letu střely (střela rotuje, díky tomu její osa stále sleduje směr tečny k balistické křivce, účinek při dopadu ve směru je větší), stabilizace letu disku (podobný princip) Gyrostatický efekt (udržení směru rotace vzhledem k nulovému momentu vnější síly) se uplatňuje například u Powerballu či u hračky JoJo.

Lunisolarní precese Země Země se vzhledem k své rotaci chová jako velký setrvačník. Vzhledem ke tvaru Země (zploštělý elipsoid) se moment gravitační síly od Slunce (je proměnný během roku) snaží narovnat směr zemské osy do směru ekliptiky. To vede k precesi zemské osy, tj. rotaci jejího směru v prostoru s periodou zhruba 26 000 let. Vliv Měsíce způsobuje další odchylku, tzv. nutaci → osa rotace se nepohybuje přesně po precesním kuželi. Perioda nutace je zhruba 18,6 roku. Důsledek precese: horoskop by měl nyní vypadat úplně jinak než před 2000 lety, místo 12 znamení by jich mělo být 13 (nově přibývá Hadonoš) apod.

Shrnutí hodiny Těžiště a hmotný střed tělesa Moment síly – podmínky rovnováhy! Impulsové věty a moment hybnosti Vztah mezi rychlostí rotace a velikostí momentu setrvačnosti (L = J*ω) Příští přednáška – 10. 12. 2013 Téma: Mechanika tekutin Děkuji vám za pozornost!!