Gymnázium, Broumov, Hradební 218 Vzdělávací oblast: Základní poznatky z matematiky Číslo materiálu: EU090125 Název: Výroky s kvantifikátory a jejich negace Autor: Mgr. Ludmila Lorencová Datum ověření: 29. 10. 2012 Třída: 5. V Doporučený čas: 30 minut Stručná anotace Prezentace je určena k osvojení a procvičení výroků s kvantifikátory a jejich negace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu „Gymnázium Broumov“ v OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, reg. č. CZ.1.07/1.5.00/34.0219.

Výroky s kvantifikátory a jejich negace

Obecný kvantifikátor Používá se v obecných výrocích, označujeme , vyjadřuje skutečnost, že daná vlastnost platí pro každý prvek Zápis: xM: V(x) Čteme: pro každou hodnotu x z množiny M platí vlastnost V(x) http://cs.wikipedia.org/wiki/Obecn%C3%BD_kvantifik%C3%A1tor

Existenční kvantifikátor Používá se v existenčních výrocích, označujeme , vyjadřuje skutečnost, že existuje alespoň jeden prvek, pro který daná vlastnost platí Zápis:  xM: V(x) Čteme: existuje alespoň jedno x z množiny M pro, které platí vlastnost V(x) http://cs.wikipedia.org/wiki/Existen%C4%8Dn%C3%AD_kvantifik%C3%A1tor

Přečti následující výrok a rozhodni, zda je tento výrok pravdivý. ∀ n∈ ℕ , n ≠ 1, ∃ k∈ ℕ , k <n . Pro všechna přirozená čísla n, různá od jedné, existuje alespoň jedno přirozené číslo k, které je menší než n. Výrok je pravdivý ∃ ∈n ℕ , ∀ ∈p ℕ , p ≠n , p > n Existuje přirozené čísl n, takové, že všechna přirozená čísla p různá od n jsou větší než n. Výrok je pravdivý, hledaným číslem n je 1.

Negace kvantifikovaných výroků Negace obecného kvantifikátoru: (xM; V(x))´ =  xM; V´(x) Negace existenčního kvantifikátoru: (xM; V(x))´ =  xM; V´(x)

Další kvantifikátory Výrok (Negace výroku) Negace výroku (Výrok) Každý …je… Aspoň jeden… není… Žádný … není … Aspoň jeden… je… Aspoň n… je… Nejvýše n-1 … je … Právě n … je Nejvýše n-1 nebo aspoň n+1 …je …

Další kvantifikátory Výrok (Negace výroku) Negace výroku (Výrok) Každý …je… Aspoň jeden… není… Žádný … není … Aspoň jeden… je… Aspoň n… je… Nejvýše n-1 … je … Právě n … je Nejvýše n-1 nebo aspoň n+1 …je …

Každý student složil úspěšně maturitní zkoušku. Negujte kvantifikované výroky: Každý student složil úspěšně maturitní zkoušku. Negace: Alespoň jeden student nesložil úspěšně maturitní zkoušku. Uvedená rovnice má právě 2 řešení v množině R Negace: Uvedená rovnice má nejvýše 1 nebo alespoň 3 řešení v množině R Dnes si kopím nejvýše 4 knihy. Negace: Dnes si koupím alespoň 5 knih.

Neguj výrok a posuď pravdivost: Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro které = x Pro všechna reálná čísla x ˃1 platí ˃ x. Každé přirozené číslo, které je dělitelné deseti, je dělitelné pěti. Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které není sudé ani liché. Každé přirozené číslo je sudé nebo liché.

Neguj výrok a posuď pravdivost: Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro které = x P Pro každé reálné číslo x platí x N Pro všechna reálná čísla x ˃1 platí ˃ x. P Existuje aspoň jedno reálné číslo x ˃1, pro něž platí x N Každé přirozené číslo, které je dělitelné deseti, je dělitelné P Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které je dělitelné deseti a není dělitelné pěti. N Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které není sudé ani liché. Každé přirozené číslo je sudé nebo liché. P

Zdroje: Polák J.: Přehled středoškolské matematiky. SPN Praha 1991 Petáková J.: Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Prometheus Praha 2009 Bušek I.,Calda E.: Matematika pro gymnázia: základní poznatky z matematiky. Prometheus Praha 2009. http://cs.wikipedia.org/wiki/Hlavn%C3%AD_strana https://khanovaskola.cz/