Těžnice a těžiště trojúhelníku Pojem těžiště patří spíše do fyziky. Na rovnoramenné váhy na jednu misku umístíme těleso, na druhou misku přidáváme závaží, dokud se jazýček vah nezačne volně kývat okolo střední čárky stupnice nebo se na ní neustálí. Vahadlo je podepřené v určitém místě tak, že se ustálí v rovnovážné poloze. Pokus zopakujeme s pravítkem. Uděláme jednoduchý pokus: Položte si tužku na vodorovně natažený prst tak, aby nespadla. T Tužka zůstane v klidu jen tehdy, pokud ji podepřeme pod určitým bodem (označíme T). Těžiště je blíže konci s gumou. T Při posunutí prstu vzhledem k tužce vpravo nebo vlevo, tužka spadne. Bod T nazýváme těžiště tělesa. Těžiště je asi uprostřed.

Z kartonu vystřihneme těleso nepravidelného tvaru. Těleso zavěšujeme v různých místech. Ve stejném místě zavěsíme olovnici, která nám určí svislý směr. Podle provázku na tělese si vyznačíme úsečku. V místě, kde se úsečky protnou, je těžiště tělesa. Tímto způsobem můžeme najít experimentálně těžiště všech těles. T Místo nepravidelného tělesa použijeme trojúhelník, který zavěsíme ve vrcholech. Úsečka, která prochází těžištěm, se nazývá těžnice.

Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem jeho protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. b a T ta tb Těžnice se označují malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany, těžiště se označuje písmenem T. tc B c A Těžiště představuje pomyslný střed trojúhelníku, pokud bychom chtěli podržet trojúhelník na špičce tužky, pak bychom měli tužku umístit právě pod těžiště, aby nám trojúhelník nespadl. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva díly se stejným obsahem. Těžiště a dva vrcholy trojúhelníku tvoří postupně tři trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tři mají stejný obsah.

Těžnice v trojúhelníku sestrojíme tak, že střed každé strany spojíme s protilehlým vrcholem. ta ... těžnice ke straně a Sa ... střed strany a ta = ASa C tb ... těžnice ke straně b Sb a Sb ... střed strany b b T Sa tb ta tb = BSb tc ... těžnice ke straně c tc Sc ... střed strany c c A Sc B tc = CSc Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. Označujeme ho písmenem T.

Narýsuj ∆ ABC, je-li a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm. Sestroj jeho těžnice. Rozbor C Popis konstrukce Z trojúhelníkové nerovnosti: 1. AB; |AB| = c = 6 cm a a = 7 cm b = 5 cm b 2. k; k(B; a = 7 cm) 3. l; l(A; b = 5 cm) Trojúhelník lze sestrojit. B A c c = 6 cm 5. ∆ ABC Konstrukce k Náčrt l C Sb Sa T tb ta b a tc c Sc A B

Narýsuj ∆ ABC, je-li a = 6 cm, b = 45 mm, c = 75 mm Narýsuj ∆ ABC, je-li a = 6 cm, b = 45 mm, c = 75 mm. Sestroj jeho těžnice. Náčrt C Rozbor Z trojúhelníkové nerovnosti: a a = 6 cm a = 6 cm = 60 mm b = 45 mm b Trojúhelník lze sestrojit. B A c c = 75 mm Konstrukce k Popis konstrukce 1. AB; |AB| = c = 75 mm l 2. k; k(B; a = 6 cm) C 3. l; l(A; b = 45 mm) Sb Sa 5. ∆ ABC b T tb ta a tc c Sc A B

Narýsuj ∆ ABC, je-li a = 4 cm, b = 5 cm, c = 7,5 cm Narýsuj ∆ ABC, je-li a = 4 cm, b = 5 cm, c = 7,5 cm. Sestroj jeho těžnice. Náčrt C Rozbor Z trojúhelníkové nerovnosti: a a = 4 cm b = 5 cm b Trojúhelník lze sestrojit. A B c = 7,5 cm c Konstrukce Popis konstrukce 1. AB; |AB| = c = 7,5 cm l k 2. k; k(B; a = 4 cm) 3. l; l(A; b = 5 cm) C Sb Sa 5. ∆ ABC tb b T a ta tc Sc c A B

Narýsuj rovnostranný ∆ ABC, je-li a = b = c = 7 cm Narýsuj rovnostranný ∆ ABC, je-li a = b = c = 7 cm. Sestroj jeho těžnice. Pro obsahy v trojúhelníku platí: V rovnostranném trojúhelníku je těžnice shodná s osou strany i s výškou, je tedy kolmá na danou stranu. Pro obsah pravoúhlého trojúhelníku platí: k l C ta Sa Sb tb b a Potom: T tc Obdobně pro všechny těžnice: c Sc A B

Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem jeho protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice, které se protínají v jednom bodě T, který se nazývá těžiště. Těžiště T leží vždy uvnitř trojúhelníku. Na těžnici je vzdálenost vrcholu od těžiště dvakrát větší než vzdálenost těžiště od středu protější strany. C Sb a b T Sa tb ta tc c A Sc B ta ... těžnice ke straně a ta = ASa tb ... těžnice ke straně b tb = BSb Sa ... střed strany a tc ... těžnice ke straně c tc = CSc Sb ... střed strany b Sc ... střed strany c Procvičení: učebnice strana 46 – 47, cvičení 1 – 6, pracovní sešit strana 149 – 150, cvičení 1 – 10.

Úsečka, která spojuje středy stran trojúhelníku, se nazývá střední příčka trojúhelníku. Každá střední příčka trojúhelníku je rovnoběžná s jednou jeho stranou. Střední příčky se označují malým písmenem s. SbSa || AB, SbSc || BC, ScSa || AC C Délka střední příčky je rovna polovině délky té strany trojúhelníku, se kterou je příčka rovnoběžná. Sb a sc b Sa sb sa Střední příčky rozdělí trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky. c A Sc B Pro obsah ∆ScSaSb a ∆ABC platí: Pro obvod ∆ScSaSb a ∆ABC platí: Procvičení: pracovní sešit strana 150 – 151, cvičení 11 – 15.