Užití Thaletovy kružnice

Prezentace na téma: "Užití Thaletovy kružnice"— Transkript prezentace:

1 Užití Thaletovy kružnice
Konstrukce trojúhelníku s výškou v zadání Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2 Výška trojúhelníku - kolmá vzdálenost strany a příslušného vrcholu
Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. - kolmá vzdálenost strany a příslušného vrcholu - úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k jeho protější straně Protože trojúhelník má tři vrcholy a k nim příslušné (protější) tři strany, má i tři výšky.

3 Výška trojúhelníku Bodům Pa, Pb a Pc říkáme pata výšky.
Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Bodům Pa, Pb a Pc říkáme pata výšky. Výšky se protínají v jednom bodě V, v tzv. ortocentru. Výšky označujeme obvykle malým písmenem v s indexem názvu strany, ke které příslušná výška patří. Slovem výška označujeme v trojúhelníku jak úsečku, tak její délku.

4 Výšky v trojúhelníku ostroúhlém
Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. K sestrojení výšky nám z pohledu konstrukčního, jak již bylo řečeno, pomáhá kolmice na stranu procházející příslušným vrcholem.

5 Výšky v trojúhelníku pravoúhlém
Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. V případě pravoúhlého trojúhelníku jsou paty dvou výšek shodné s jedním z vrcholů, tedy i dvě výšky jsou shodné se dvěma stranami trojúhelníku!

6 Výšky v trojúhelníku tupoúhlém
Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Pokud je trojúhelník tupoúhlý, nenáleží paty dvěma stranám samotným, ale přímkám, na nichž strany leží. Díky tomu i příslušné dvě výšky leží mimo trojúhelník, stejně jako ortocentrum.

7 Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti
Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Pravoúhlý trojúhelník je speciální typ trojúhelníku, tzn. rovinného geometrického útvaru sestávajícího ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů, z nichž jeden je pravý.

8 Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti
Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Všechny vrcholy pravoúhlého trojúhelníku leží na Thaletově kružnici. Thaletova kružnice je taková kružnice, která má střed uprostřed přepony pravoúhlého trojúhelníku a poloměr je roven polovině délky přepony.

9 Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti
Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Thaletova kružnice sestrojená nad přeponou trojúhelníku je tedy množinou všech bodů, které mohou být vrcholem pravoúhlého trojúhelníku s danou přeponou.

10 Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti
Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Thaletova kružnice sestrojená nad přeponou trojúhelníku je tedy množinou všech bodů, které mohou být vrcholem pravoúhlého trojúhelníku s danou přeponou.

11 Výška trojúhelníku a Thaletova kružnice
- Vzhledem ke své kolmosti k jedné ze stran trojúhelníku rozdělují výšky trojúhelník na dva trojúhelníky pravoúhlé! - Při jejich konstrukci bychom mohli využít Thaletovu kružnici. kTh kTh Sa Sc

12 A nyní již přikročíme ke konstrukci
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 5,5 cm; |ABC|= 60° a výška vb = 4,5 cm. Náčrt: X Pb . vb 60°

13 Náčrt a rozbor: c X Pb kTh
1) Začneme jako vždy stranou, v tomto případě přeponou c, proti které leží pravý úhel. 2) Sestrojíme úhel β = 60°; tedy polopřímku BX, jež svírá se stranou AB úhel 60°. 3) Sestrojíme výšku vb=4,5 cm (pomocí kružnice), přesněji řečeno bod Pb, což je pata kolmice, na které výška vb leží. Jelikož bod Pb je vrcholem pravoúhlého trojúhelníku, který tvoří strana AB jako přepona a výška vb jako odvěsna, využijeme k jeho konstrukci Thaletovu kružnici. X l o Sestrojíme střed přepony c, tj. střed Thaletovy kružnice. Poloměr je dán vzdáleností středu přepony od jejích krajních bodů, tj. AS = SB. Pb kTh S p c

14 Zápis a konstrukce: 1. AB; AB = c = 5,5 cm
4. kTh; kTh(S; ½ AB = AS) 7. APb 2. ABC; ABC = 60°; BX 5. l; l(B; vb = 4,5 cm) 8. C; C  BX  APb 3. S; S je střed AB 6. Pb; Pb  kTh  l 9. Trojúhelník ABC X C l o Pb kTh S p A B

15 Výsledný trojúhelník Úloha má jedno řešení (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C). Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce. vb

16 Pár příkladů k procvičení
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 5,5 cm; |ABC|= 45° a výška vb = 6 cm. Klikni pro ukázku řešení.

17 Pár příkladů k procvičení
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 5,5 cm; |ABC|= 45° a výška vb = 6 cm. Úloha nemá řešení. Neexistuje bod (pata kolmice), který má od bodu B vzdálenost rovnu velikosti výšky vb, ze kterého by byla vidět strana AB pod úhlem 90°.

18 Pár příkladů k procvičení
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 5,5 cm; |ABC|= 120° a výška vb = 3 cm. Klikni pro ukázku řešení.

19 Pár příkladů k procvičení
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 5,5 cm; |ABC|= 120° a výška vb = 3 cm. b a vb c

20 Pár příkladů k procvičení
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 5,5 cm; |ABC|= 25° a výška vb = 4 cm. Klikni pro ukázku řešení.

21 Pár příkladů k procvičení
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 5,5 cm; |ABC|= 25° a výška vb = 4 cm. vb a b c

22 Přeji Vám mnoho přesnosti při rýsování!
Obr. 1

23 Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010–25–06]. Dostupné pod licencí Creative Commons na < Obrázek na pozadí: < Obr. 1: < Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.