KMT/FPV – Fyzika pro přírodní vědy 8. přednáška – Kmity (minulý ak. rok) Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah přednášky Mechanické kmitání – definice, rozdělení Harmonické kmity netlumené a tlumené – poloha, rychlost, zrychlení Energie při netlumeném a tlumeném kmitavém pohybu Matematické a fyzikální kyvadlo Nucené kmity, mechanická rezonance

Kmitání Kmitání - obecně proces, při němž dochází k opakované změně nějaké veličiny Příklady: pružina, kyvadlo, bunjeejumping, srdeční činnost, kmitání krychle částečně ponořené do vody, ale i kmitání LC oscilátoru v elektřině, kmitání v optice apod. Mechanické kmitání – pohyb, při němž hmotný bod či těleso opakovaně prochází rovnovážnou polohou (RP - místo, v němž je nulová výslednice působících sil a momentů působících sil)

Mechanické kmitání - rozdělení Podle počtu stupňů volnosti (počet nezávislých souřadnic nutných k popisu polohy) – kmitání s 1, 2, 3 či více stupni volnosti – pro nás významné kmitání s 1 stupněm volnosti (nejjednodušší případ) Podle periodicity – kmitání neperiodické (průběh se neopakuje), periodické (dochází k opakování po uplynutí periody T). Zvláštní významný případ – harmonické (periodické, průběh podle sinusoidy) Podle tlumení – kmitání netlumené (mechanická energie se zachovává), tlumené (působí odporové síly, mech. energie se přeměňuje na vnitřní energii) φ Matematické kyvadlo – 1 stupeň volnosti φ vazba φ1 φ2 Spřažená kyvadla – 2 stupně volnosti φ1, φ2 φ1 φ3 φ2 Trojkyvadlo – 3 st. vol.

Harmonické netlumené kmitání - pružina Kdy můžeme získat harmonické kmitání s 1 stupněm volnosti?? Odpověď dává sestavení pohybové rovnice (viz 3. přednáška). Uvažujme netlumené (nepůsobí žádná odporová síla!) kmitání pružiny v jednom rozměru, kde síla je do velikosti přímo úměrná výchylce z RP y (tedy F = - k*y, kde k je tzv. tuhost pružiny, minus kvůli snaze vrátit do RP). Polohu pružiny popisujeme jedinou souřadnicí y, po dosazení do pohybové rovnice máme: m*a = F → m*d2y/dt2 = - k*y → m*d2y/dt2 +k*y = 0 F y F = k*y

Harmonické netlumené kmitání – pružina 2 Jde o diferenciální rovnici druhého řádu, její řešení je matematicky náročné. Pokud jej však zvládneme, získáme závislost výchylky z rovnovážné polohy y na čase: y(t)= A*sin(ω*t + φ), kde ω = √k/m (úhlová frekvence kmitání) a konstanty A (maximální výchylka) a φ (fáze kmitání) jsou dány počátečním stavem. Následně derivací získáváme časové závislosti rychlosti v(t) a zrychlení a(t) v(t) = dy/dt = d(A*sin(ω*t + φ))/dt = ω* A*cos(ω*t + φ) a(t) = dv/dt = d(ω*A*cos(ω*t + φ))/dt = -ω2* A*sin(ω*t + φ) = -ω2*y Závislost polohy na čase (ale i rychlosti a zrychlení na čase) je tedy harmonická. Pro frekvenci periodu kmitání dostáváme vztahy: f = ω/2*π = 1/2*π* √k/m, T = 1/f = 2*π* √m/k Doba periody tedy závisí na hmotnosti závaží a tuhosti pružiny (větší hmotnost, větší perioda; větší tuhost, menší perioda)

Harmonické netlumené kmitání To, že závislost výchylky na čase je harmonická, je přímým důsledkem toho, že síla vracející pružinu do rovnovážné polohy byla přímo úměrná výchylce (platilo F = -k*y, kde k je tuhost pružiny). Pokud tento předpoklad není splněn, je kmitání neharmonické a matematický popis je extrémně náročný! Uvedené pravidlo platí nejen pro pružinu, ale obecně pro všechny netlumené kmitající systémy. Je-li tedy síla vracející kmitající těleso do rovnovážné polohy přímo úměrná výchylce z této polohy (tj. F = -k*y), je vzniklé kmitání harmonické a pro jeho periodu platí vztah T = 2*π* √m/k, kde m je hmotnost tělesa a k konstanta úměrnosti (už ne obecně tuhost pružiny). Pokud je závislost složitější než lineární, vzniká neharmonické kmitání.

Harmonické netlumené kmitání – příklad Uvažujme krychli o hraně a = 50 cm z materiálu hustoty ρt = 500 kg*m-3, která plave v kapalině o hustotě ρ = 1000 kg*m-3 (viz Archimedův zákon). Po vychýlení ve svislém směru začne krychle kmitat. Bude kmitat harmonicky? Jaká bude perioda? Řešení: Jde o to zjistit, jestli síla vracející krychli zpět do RP je úměrná výchylce y z ní. Tíhová síla je konstantní, mění se vztlaková síla, a to o ΔFvz = ΔV*ρ*g = a2*y*ρ*g = k*y, kde k = a2*ρ*g. Síla je tedy úměrná výchylce → kmitání je harmonické → můžeme použít výše uvedené vztahy → pro periodu kmitání T platí T = 2*π*√m/k = 2*π* √a3*ρt/ a2*ρ*g = 2*π* √a* ρt/ ρ*g F = ΔV*ρ*g ΔV y ρt ρ a Po vychýlení z RP se vztlaková síla změní, tíhová je stejná → výslednice míří do RP a je úměrná y

Tlumené kmitání Uvažujme situaci s pružinou, u níž je síla vracející do RP úměrná výchylce (klasicky F = -k*y), je však zároveň přítomen odpor prostředí, odporová síla je úměrná rychlosti. Odporová síla je tedy Fo = 2*b*v (2*b je konstanta úměrnosti). Jak bude vypadat pohybová rovnice?? m*a = F → m*d2y/dt2 = - k*y-2*b*v → m*d2y/dt2 + 2*b*v + k*y = 0. Pro rychlost platí (viz 2. přednáška) v = dy/dt, máme tedy: m*d2y/dt2 + 2*b*dy/dt + k*y = 0, což se od rovnice popisující netlumené kmity liší členem 2*b*dy/dt. Jde opět o náročnou diferenciální rovnici 2. řádu, jejím řešením však získáme závislost y(t) (výchylka z RP na čase) pro případ tlumeného kmitání. Fo F y F = k*y Fo = 2*b*v, vždy proti směru pohybu!

Tlumené kmitání 2 Řešením dostáváme: y(t)= A*e-b*t*sin(ω*t + φ), kde ω = √k/m (úhlová frekvence kmitání) a konstanty A (maximální výchylka) a φ (fáze kmitání) jsou dány počátečním stavem. Od výsledku pro netlumené kmitání se liší tlumemou exponencielou e-b*t. Následně derivací můžeme získat časové závislosti rychlosti v(t) a zrychlení a(t) v(t) = dy/dt = …, a(t) = dv/dt = U tlumeného kmitání se tedy postupně zmenšuje amplituda, po nějaké době kmitání prakticky zanikne. T y(t) Netlumené harmonické kmitání Tlumené kmitání

Energie při kmitavém pohybu Podívejme se nyní na kmitání pružiny z pohledu mechanické energie (viz 4. přednáška). U kmitání se objevují dva druhy mech.energie: Potenciální energie pružnosti – práce nutná ke stlačení či prodloužení pružiny z rovnovážné polohy. Pomocí pravidla, že práce je v grafu závislosti síly na dráze dána obsahem plochy pod křivkou se dá odvodit, že Epr = ½*k*y2, kde k je tuhost pružiny a y výchylka z RP. Kinetická energie (práce nutná k dosažení dané rychlosti), klasicky Ekin = ½*m*v2. F = k*y F(y) W = ½*k*y2 y W = ½ *y*(k*y) = ½*k*y2 – viz vzorec pro obsah trojúhelníka

Energie při kmitavém pohybu 2 Pokud neuvažujeme nekonzervativní odporové síly (bereme netlumené harmonické kmitání), musí se celková mechanická energie zachovávat. Platí tedy, že součet kinetické a potenciální energie pružnosti je konstantní: Ekin + Epr = ½*m*v2 + ½ *k*y2 = konst. (zákon zachování energie pro netlumené harmonické kmitání!) Platí, že při průchodu RP máme pouze kinetickou energii EkinRP = ½*m*vRP2 (y = 0 → EprRP = 0), při maximální výchylce (amplitudě) y = A naopak pouze potenciální energii pružnosti EprA = ½*k*A2 (vA = 0 → EkinA = 0). Odtud plyne vztah mezi amplitudou A a max. rychlostí (v RP): ½*m*vRP2 = ½*k*A2. Při netlumeném kmitání působí nekonzervativní odporová síla, nastává přeměna mechanické energie na vnitřní energii, celková mech. energie s časem klesá!!

Matematické kyvadlo Matematické kyvadlo – hmotný bod (malá kulička) na závěsu délky l v tíhovém poli s tíhovým zrychlením g. Po vychýlení dojde ke kmitání s 1 stupněm volnosti (úhel φ) Zajímá nás závislost úhlu φ na čase. Je potřeba sestavit pohybovou rovnici, silou směřující do rovnovážné polohy je složka tíhové síly F1 = FG*sin φ = m*g*sinφ. Dosazením do pohybové rovnice máme: m*a = F → m*l*d2φ/dt2 = - m*g*sinφ → l*d2φ/dt2 + g*sinφ = 0 Problém: Síla je úměrná nikoliv přímo φ, ale sin φ → kmitání není harmonické. Pro malé úhly φ < 5° však platí s dostatečnou přesností, že sin φ ≈ φ. φ l l F1 FG F1 = m*g*sinφ, pro malé úhly platí F1 = m*g*φ.

Matematické kyvadlo 2 Tím však dostává pohybová rovnice tvar l*d2φ/dt2 + g*φ = 0, což je stejný tvar jako pro kmitání pružiny (pouze místo y je φ, místo k je g a místo m je l). Můžeme tudíž použít vztahy uvedeného u harmonického kmitání pružiny, jen zaměníme písmena: φ(t)=φmax*sin(ω*t + α), kde ω = √g/l (úhlová frekvence kmitání) a konstanty φmax (maximální výchylka) a α (fáze kmitání) jsou dány počátečním stavem. Závislost polohy na čase (ale i rychlosti a zrychlení na čase) je tedy harmonická. Pro frekvenci a periodu kmitání dostáváme vztahy: f = ω/2*π = 1/2*π* √g/l, T = 1/f = 2*π* √l/g Doba periody tedy závisí na délce závěsu (čím delší, tím větší), nezávisí však na hmotnosti kuličky a počáteční výchylce. Uvedené vztahy však platí jen pro malé výchylky (jinak neharmonické kmitání…)

Fyzikální kyvadlo Fyzikální kyvadlo je realističtější model než kyvadlo matematické, nezanedbáváme rozměry. Uvažujeme kmitání tělesa kolem pevné osy, to je popsáno jednou souřadnicí φ. Při odvození pohybové rovnice vyjdeme ze vztahu J*ω = L a z 2. impulspové věty dL/dt = M (6. přednáška). Derivací 1.rovnice dostaneme J*ε = M. Pro ε (úhlové zrychlení) máme (viz 2. přednáška) ε = d2φ/dt2. Moment tíhové síly jde pro případ na obrázku napsat jako M = m*g*h = m*g*l*sin φ, kde l je vzdálenost těžiště od osy otáčení. Pro malé úhly máme M = D*φ, kde D = m*g*l je tzv. direkční moment. osa otáčení T´ φ l T h J – moment setrvačnosti k ose otáčení D = m*g*l - direkční moment T - těžiště

Fyzikální kyvadlo 2 Tím však dostává pohybová rovnice tvar J*d2φ/dt2 + D*φ = 0, což je stejný tvar jako pro matematické kyvadlo (pouze místo l je moment setrvačnosti J a místo g je direkční moment D). Můžeme použít tudíž vztahy uvedeného u matematického kyvadla, jen zaměníme písmena: φ(t)=φmax*sin(ω*t + α), kde ω = √D/J (úhlová frekvence kmitání) a konstanty φmax (maximální výchylka) a α (fáze kmitání) jsou dány počátečním stavem. Závislost polohy na čase (ale i rychlosti a zrychlení na čase) je tedy harmonická. Pro frekvenci a periodu kmitání dostáváme vztahy: f = ω/2*π = 1/2*π* √D/J, T = 1/f = 2*π* √J/D Doba periody tedy závisí na momentu setrvačnosti a direkčním momentu pro danou osu. Uvedené vztahy však platí jen pro malé výchylky (jinak neharmonické kmitání…)

Nucené kmitání Vraťme se k případu tlumeného kmitání pružiny a uvažujme, že se pokusíme nahradit ztráty energie tím, že ji budeme dodávat prostřednictvím nějaké vnější síly Fvn. Pokud bude tato síla mít neharmonický průběh, bude mít složitý neharmonický průběh i výsledné kmitání pružiny. Berme proto případ, kdy vnější síla působící na pružinu má sinusový tvar Fvn = F0*sin(Ω*t). Pohybová rovnice nuceného (protože působí vnější nutící síla) kmitání je pak: m*d2y/dt2 + 2*b*dy/dt + k*y = F0*sin (Ω*t) (od tlumeného kmitání se liší přítomností vnější síly na pravé straně). Cílem je jako vždy určit závislost y(t). y vnější síla Fvn = F0*sin(Ω*t)

Nucené kmitání 2 Řešením náročné diferenciální rovnice dostaneme následující komplikovaně vypadající výsledek: y(t)= A*e-b*t*sin(ω*t + φ) + A2*sin (Ω*t + φ2), kde ω = √k/m (úhlová frekvence vlastního kmitání) a konstanty A (maximální výchylka) a φ (fáze kmitání) jsou dány počátečním stavem. Ω je úhlová frekvence budící síly, φ2 odpovídající fáze. Jak výsledek interpetovat?? Vlastní kmitání pružiny (1. člen v součtu) zaniká kvůli tlumení (viz tlumící exponenciela), 2. člen reprezentuje vynucené kmitání (kmitající těleso přebírá frekvenci budicí síly!) vyvolané vnější silou Fvn. Zásadní otázka je, na čem závisí amplituda tohoto vynuceného kmitání A2, která se s časem nemění a po dostatečně dlouhé době zcela určuje kmitání pružiny??

Mechanická rezonance Odpověď je taková, že amplituda A2 závisí především na tom, jak shodné či rozdílné jsou vlastní frekvence kmitání ω a frekvence budící síly Ω. Čím jsou tyto hodnoty bližší, tím větší je amplituda A2. Pokud se uvedené frekvence shodnou (tj. ω = Ω) nastává tzv. mechanická rezonance projevující se maximální amplitudou kmitání A2. Tato amplituda závisí na odporu prostředí (čím větší, tím menší), pokud bychom ho zanedbali, rostla by nade všechny meze! Důsledky mechanické rezonance: nebezpečné rozkmitání mostů při vyrovnání vlastní frekvence a frekvence vnějšího buzení, rezonance křemenného krystalu v hodinkách, akustická rezonance u hudebních nástrojů… Rezonanční křivka - největší amplituda pro případ ω = Ω, tlumení pro 2 je větší než pro 1.

Shrnutí hodiny Harmonické netlumené kmitání Tlumené kmitání Zachování energie při kmitavém pohybu Matematické kyvadlo, závislost periody na délce závěsu Příští přednáška – 20. 11. 2012 Téma: Skládání kmitů Děkuji vám za pozornost!!