MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA FS-Pn-P013-Fyzicke_kyvadlo MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 4. Fyzické kyvadlo

Fyzické kyvadlo Tuhé těleso o momentu setrvačnosti J se můžeme otáčet okolo osy, která je vzdálena ℓ od těžiště. Těleso se po vychýlení z rovnovážné polohy kýve. Pro moment síly v každém okamžiku (a tedy i pro libovolnou výchylku) platí obecný vztah: do kterého (dle obrázku) dosadíme výraz:

Fyzické kyvadlo Výsledná pohybová rovnice pak bude mít následující tvar: Záporné znaménko ve výrazu vyjadřuje fakt, že moment gravitační síly působí proti okamžité výchylce. Uvážíme-li omezení „malých“ kmitů (<5°), lze využít faktu sin   a tím vztah přepsat do tvaru:

Fyzické kyvadlo Takto upravená pohybová rovnice ukazuje, že zrychlení (zde úhlové) je až na znaménko přímoúměrné okamžité výchylce (zde úhlu). Pokud Vás ani nyní „netrklo“, co jsme dokázali, můžete zkusit celou rovnici vynásobit vzdáleností ℓ (tj. vzdáleností těžiště od osy otáčení). Tím dostane pohybovou rovnici pro těžiště. Jestliže ani teď nevidíte tzv. kinematickou denici harmonického kmitání, nezbývá než propadnou bezbřehému zoufalství!

Fyzické kyvadlo Dle kinematické denice harmonického kmitání, již lze lehce nahlédnout, že výraz v závorce má význam kvadrátu úhlové frekvence. Tuto úhlovou frekvenci označme kupříkladu , aby se nepletla s výrazem , který by znamenal něco jiného.

Fyzické kyvadlo ale zároveň platí obecný tvar Tím konečně dostáváme výraz pro periodu kmitu fyzického kyvadla:

což je přesně výraz pro periodu matematického kyvadla!!! Fyzické kyvadlo Platí získaný výraz pro matematické kyvadlo? Bude-li těleso prezentováno hmotným bodem hmotnosti m zavěšeném na vlákně délky ℓ, je jeho moment setrvačnosti J = mℓ2. Po dosazení tedy dostaneme: což je přesně výraz pro periodu matematického kyvadla!!!

Fyzické kyvadlo Příklad s matematickým kyvadlem nám nejen ilustroval správnost získaného výrazu, ale především nám může být motivací k úvahám, zda by nebylo možné fyzické kyvadlo „nějak převést“ na kyvadlo matematické. Pochopitelně toho můžeme lehce dosáhnout formálním označením: ve výrazu a dostaneme

Fyzické kyvadlo veličina ℓr je tzv. redukovaná délka definována výrazem: Podobnost s výrazem platným pro periodu matematického kyvadla je pak více než zřejmá.

Zdroje a použitá literatura: [1] Tuhé těleso. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2012 [cit. 2012-05-12]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Tuhé_těleso. [2] HOFMANN, J. a M. URBANOVÁ. Fyzika I. Praha: Vysoká škola chemicko-technologická, 2005. Dostupné z: http://vydavatelstvi.vscht.cz/knihy/uid_ekniha-001/pdf/104.pdf [3] Mechanika tuhého tělesa. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-2012 [cit. 2012-05-12]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Mechanika_tuhého_tělesa