Střední škola obchodně technická s. r. o. Název školy Střední škola obchodně technická s. r. o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0624 Číslo a název klíčové aktivity 3.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název DUM: VY_32_INOVACE_III_2_3_Analytická geometrie III. – operace s vektory I. Šablona číslo: III Sada číslo: 2 Pořadové číslo DUM: 3 Autor: PaedDr. Mgr. Libuše Ďurišová

Anotace Materiál seznamuje žáky se základními operacemi s vektory. Autor PaedDr. Mgr. Libuše Ďurišová Klíčová slova vektor, souřadnice vektoru, sčítání vektorů, odčítání vektorů, opačný vektor Druh učebního materiálu Prezentace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzdělávání Tematická oblast Matematika Kompetence Žák umí sčítat a odčítat vektory určené jejich souřadnicemi v rovině i v prostoru, chápe pojem opačný vektor.

ANALYTICKÁ GEOMETRIE III. operace s vektory I.

Definice: Jsou dány dva vektory u = B – A a v = E – D Definice: Jsou dány dva vektory u = B – A a v = E – D. Umístí-li se počáteční bod vektoru v do bodu B, pak v = C - B. Součet vektorů u + v = C - A. Věta: Pro každé dva vektory u = (u1; u2), v = (v1; v2) v rovině, resp. u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) v prostoru , platí: u + v = (u1 + v1 ; u2 + v2), resp. u + v = (u1 + v1 ; u2 + v2 ; u3 + v3).

Vektorový součet u + v se provádí v praxi pomocí tzv Vektorový součet u + v se provádí v praxi pomocí tzv. vektorového rovnoběžníku (např. ve fyzice skládání sil, rychlostí apod.) Pro sčítání vektorů platí komutativní, asociativní a distributivní zákon.

Příklad 1 Vypočítejte součet vektorů u a v, jestliže u = (3; 5) a v je určen orientovanou úsečkou AB, kde A[-1; 2] a B[3; -1]. Řešení: u = (3; 5) v = AB = B – A = (3 + 1; -1 - 2) = (4; -3) u + v = (3 + 4; 5 - 3) = (7; 2).

Definice: Je dán vektor u = B – A Definice: Je dán vektor u = B – A. Vektor A – B se nazývá opačný vektor k vektoru u a označuje se -u. Věta: Pro každý vektor u v rovině, resp. v prostoru, platí: u + (-u) = 0. Jestliže u = (u1; u2) je vektor v rovině, resp. u = (u1; u2; u3) v prostoru, pak pro souřadnice vektoru -u, platí: -u = (-u1; -u2), resp. v prostoru -u = (-u1; -u2; -u3).

Definice: Jsou-li dány vektory u, v, pak vektor w = v + (-u) se nazývá rozdíl vektorů v a u. Zapisuje se: w = v - u.

v = AB = B – A = (3 + 1; -1 - 2) = (4; -3) - v = (- 4; 3) Příklad 2 Vypočítejte rozdíl vektorů u a v, jestliže u = (3; 5) a v je určen orientovanou úsečkou AB, kde A[-1; 2] a B[3; -1]. Řešení: u = (3; 5) v = AB = B – A = (3 + 1; -1 - 2) = (4; -3) - v = (- 4; 3) u - v = u + (- v) (3 - 4; 5 + 3) = (- 1; 8).

Příklad 3 Vypočítejte součet a rozdíl vektorů u = (3; 1; 5) a v = (2; -2; 1). Řešení: u + v = (3 + 2; 1 - 2; 5 + 1) = (5; -1; 6) u - v = u + (-v) = (3 - 2; 1 + 2; 5 - 1) = (1; 3; 4)

Zdroje: [1] KONČEL, Jan. Využití internetu ve výuce analytické geometrie na střední škole. Diplomová práce. [online]. ©2009. [cit. 2013-10-02]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/vektory.php?kapitola=scitaniVektoru [2] Obrázky vektorů. [online]. ©2012. [cit. 2013-10-02]. Dostupné z: https://www.google.cz/?gws_rd=cr&ei=P0ruUu6kNe354QTCrIHADA#q=obr%C3%A1zky+vektor%C5%AF [3] VOŠICKÝ Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1977. 124 s. ISBN 80-7200-012-8.