Mechanické kmitání, vlnění Pavel Kratochvíl Plzeň, 2016 - ZS

Mechanické kmity Kmitání = pohyb při němž pohybující se těleso nepřekročí konečnou vzdálenost od tzv. rovnovážné polohy Rovnovážná poloha = poloha, ve které je součet sil působících na těleso nulový (je-li těleso v klidu, ustálí se v této poloze) Kmitavý pohyb – lineární x plošný x prostorový Obecný kmitavý pohyb Periodický kmitavý pohyb – perioda T [s], frekvence f = 1/T [Hz] Harmonický kmitavý pohyb –

Lineální harmonické kmity netlumené y – výchylka z rovnovážné polohy A – amplituda ω – úhlová frekvence t – čas φ – fázový posun (posunutí počátku) k – tuhost pružiny m – hmotnost oscilátoru Doba periody závisí na hmotnosti závaží a tuhosti pružiny Je-li síla vracející kmitající těleso do rovnovážné polohy přímo úměrná výchylce z této polohy, je vzniklé kmitání harmonické

Energie kmitavého pohybu Zákon zachování energie Platí pouze pro netlumené kmity – bez odporu prostředí

Matematické kyvadlo = hmotný bod zavěšený na nehmotném závěsu Pro malé úhly lze považovat za harmonické Isochronismus - doba kmitu nezávisí na amplitudě ani na hmotnosti závaží. Závisí pouze na délce závěsu a tíhovém zrychlení.

Tlumené kmity mechanické b – zahrnuje odpor prostředí

Nucené kmity mechanické Av – amplituda Ω – úhlová frekvence budících kmitů γ – „zpoždění“ za budícími kmity Q – amplituda budící síly ω – úhlová frekvence vlastních kmitů m – hmotnost oscilátoru Oscilátor kmitá frekvencí budících kmitů. Amplituda nuceného kmitání závisí na rozdílu frekvence budících a vlastních kmitů. Pro stejnou hodnotu nastává rezonance. Důsledky mechanické rezonance: nebezpečné rozkmitání mostů při vyrovnání vlastní frekvence a frekvence vnějšího buzení, rezonance křemenného krystalu v hodinkách, akustická rezonance u hudebních nástrojů… https://www.youtube.com/watch?v=uWoiMMLIvco

Mechanické vlnění = šíření kmitavého pohybu v látkovém prostředí Prostředí musí obsahovat pružně vázané objemové elementy (na rozdíl od elektromagnetického vlnění se nešíří ve vakuu) Částice se nepřemisťují, pouze kmitají Postupné podélné vlnění (zvuk) – kmitání ve směru šíření Postupné příčné vlnění – kmitání kolmo na směr šíření https://www.youtube.com/watch?v=yd-G6KYwzvA

Postupné vlnění bodová řada pružně vázaných objemových elementů Fázová rychlost v= rychlost šíření vlny = rychlost, jakou se šíří stejný stav Vlnová délka λ vzdálenost dvou míst, která při šíření vlnění kmitají se stejnou fází λ= v*T = v/f, kde v je rychlost šíření vlnění a T perioda

Stojaté vlnění Pokud uchytíme hadici na jednom konci a druhým koncem začneme kmitat, můžeme po chvíli pozorovat, že některé body hadice mají maximální výchylku, jiné nekmitají vůbec. Proč? Vlnění se na konci hadice odrazí a postupuje zpět. Skládá se s vlněním postupujícím ke konci hadice (obě mají stejnou amplitudu) a záleží tedy na jejich dráhovém rozdílu. V místech, kde nastává interferenční maximum, je amplituda maximální (A = 2*A1), vznikají zde tzv. kmitny. V místech, kde je interferenční minimum, je A = 0, vznikají zde uzly. Souhrnně se hovoří o tzv. stojatém vlnění! Poznámka: Stojaté vlnění je velmi významné i u elektromagnetického vlnění, vzniká například v mikrovlnné troubě.

Stojaté vlnění To, kde konkrétně budou uzly a kde kmitny, silně závisí na tom, zda je konec hadice pevně uchycen (tzv. odraz na pevném konci) nebo zda může kmitat (odraz na volném konci). Na pevném konci je samozřejmě uzel, kmitny a uzly se poté střídají vždy po polovinách vlnové délky. Naopak na volném konci je vždy kmitna, opět dochází k periodickému střídání kmiten a uzlů po polovinách vlnové délky. Je důležité si uvědomit, že všechny body kmitají s frekvencí rovnou frekvenci zdroje, liší se pouze tím jakou mají amplitudu (kmitny maximální, uzly žádnou, ostatní něco mezi)! Využití: Kytara – stojatá vlna na struně Ladička – bedýnka délky Varhany – stojatá vlna v trubici otevřená x uzavřená trubice V hudebních nástrojích vznikají stojaté vlny, zesilující určité tóny

Chvění mechanických soustav Specifickým případem stojatého vlnění je tzv. chvění, které vzniká rozkmitáním pružných těles (struna, deska, tyč apod.) Toto vlnění může mít více frekvencí, základní frekvence je třeba v případě struny dána vztahem f = v/2*l, kde l je délka struny. Další frekvence jsou celočíselné násobky základní frekvence. Pokud chci základní frekvenci struny změnit, musím buď změnit její délku nebo změnit rychlost šíření vlnění v ní (to udělám např. změnou napínací síly, více o tom v dalších přednáškách) Zajímavý případ chvění ve více rozměrech – Chladniho obrazce