Kapitola TR Translačné plochy

Čiara a sa nazýva tvoriaca, čiara b sa nazýva riadiaca. Translačná plocha Nech a, b sú dve čiary so spoločným bodom P, neležiace v jednej rovine. Translačná plocha vznikne spojitým posúvaním (transláciou) čiary a po čiare b. Čiara a sa nazýva tvoriaca, čiara b sa nazýva riadiaca. Čiary a, b môžu byť rovinné alebo priestorové. A a b P Každý bod čiary a sa pohybuje po dráhe, ktorá vznikne posunutím čiary b. Funkciu riadiacej a tvoriacej čiary môžeme zameniť. Preto ich budeme ďalej nazývať určujúce čiary translačnej plochy. Mészárosová

Na translačnej ploche sú dve sústavy čiar: a, 1a, 2a, 3a, ... na, ... b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... Každá čiara jednej sústavy pretína všetky čiary druhej sústavy. Každým bodom translačnej plochy prechádza jedna čiara z každej sústavy. Všetky čiary jednej sústavy sú navzájom zhodné. Čiary a, 1a, 2a, 3a, ... na, ... sú navzájom zhodné (posunuté). Čiary b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... sú navzájom zhodné (posunuté). 3b 2b 1b A a b 1a 3a P 2a Poznámka: Porovnajte vlastnosti sústavy čiar a, 1a, 2a, 3a, ... na, ...; b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... na translačnej ploche a na klinovej ploche. Na klinovej ploche sa tvar čiar v sústave a, 1a, 2a, 3a, ... na, ... mení. Aj v sústave b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... sa tvar čiar klinovej plochy mení. Pozri kapitolu Klinové plochy. Mészárosová

Nech a, b sú dve čiary so spoločným bodom P, ležiace v jednej rovine Nech a, b sú dve čiary so spoločným bodom P, ležiace v jednej rovine. Aký útvar vznikne spojitým posúvaním (transláciou) čiary a po čiare b? Ak je jedna z určujúcich čiar translačnej plochy priamka, resp. úsečka, tak vytvoríme valcovú alebo hranolovú plochu. b a b a Tereňová Poznámka: Podľa typu určujúcich čiar tvoríme názov translačnej plochy. Napríklad plochu určenú kružnicou a parabolou nazývame kružnicovo-parabolická translačná plocha, pozri príklad T1.

Valcová plocha Shin Takamatsu Kunibiki Mese Shimane, Japonsko http://www.ipernity.com/doc/ojisanjake/4022879

Translačná plocha – použitie v praxi V stavebnej praxi použitie translačných plôch ponúka niektoré výhody. Najvýznamnejšia z nich je možnosť sériovej výroby jej častí, lebo riadiace aj tvoriace čiary sú navzájom zhodné. Pri zastrešení veľkých priestorov sú vhodné kužeľosečko-kužeľosečkové translačné plochy, resp. ich časti. Napríklad kružnicovo-eliptické alebo kružnicovo-parabolické, pretože voľbu riadiacich oblúkov možno dobre prispôsobiť účelu klenby. Pre veľkú variabilitu a zároveň jednoduchosť realizácie sú najčastejšie aplikované translačné plochy s riadiacou úsečkou (pozri [Píska – Medek]). Gerkan, Marg und Partner, Deutsche Messe AG Hannover, Germany http://www.sbp.de/en/project/trade-fair-hanover-hall-89/

Translačná plocha je určená krivkami a a b Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. R3 a – časť paraboly nad pôdorysňou, určená bodmi P, O a vrcholom V, ležiaca v bokorysni  b – kružnicový oblúk AO so stredom S, ležiaci v nárysni  T1 z2 z3 V2 Zobrazovaná plocha je parabolicko-kružnicová translačná plocha. V3 O y P = P1 x A = A1 z b1 b S1 S a1 V1 a R r V a2 a3 b2 b3 x2 P2 = O2 O3 = A3 P3 y3 A2 yV yV r r S2 x1 A1 b1 S1 O1 Určujúce prvky v kavaliernej axonometrii yV Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 1) Zobrazíme bokorys určujúcich kriviek a, b. Parabola a leží v bokorysni. PO  VV1, t. j. VV1 je os paraboly a. V bokoryse platí V3 y3 = V3R3. Poznámka: Konštrukciu paraboly pozri v prvej časti skrípt www.math.sk/skriptaDG2/1. V1 a1 yV P1 Tereňová y1

Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. 1R3 Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. 1R3 V x A = A1 y z b1 b S1 S a1 P = P1 V1 a 2a 1a 2a1 B R 1R 2R O 1P 2P 2V 2V1 1V z2 z3 1V2 1V3 2V2 V2 1a3 1a2 V3 2a2 a2 2a3 = a3 1P3 B2 B3 b2 b3 x2 P2 = O2 O3 = A3 P3 y3 A2 Paraboly 1a, 2a v kavaliernej axonometrii S2 Postup rysovania: 2) Translačná plocha vnikne posúvaním paraboly a po kružnicovom oblúku b, pričom bod O paraboly a sa posúva po krivke b. Posunutá parabola ia leží v rovine rovnobežnej s bokorysňou . Zostrojíme parabolu 1a, ktorá prechádza bodom B  b. Parabola 1a je určená bodmi B, 1P a vrcholom 1V. Zostrojíme parabolu 2a, ktorá prechádza bodom A  b. Parabola 2a je určená bodmi A, 2P a vrcholom 2V. x1 A1 b1 S1 = B1 O1 2V1 1V1 V1 2a1 1a1 a1 2P1 1P1 P1 Tereňová y1

Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. A = A1 2V1 y V z S1 V1 2a 1a B O 1P 1V x b1 b S a1 P = P1 2a1 2P 2V a z2 z3 1V2 1V3 1B 2V2 V2 1a3 1a2 1b 1B3 V3 1B2 1b3 r 2a2 a2 1b2 2a3 = a3 1P3 B2 B3 1S b2 r b3 x2 A2 P2 = O2 O3 = A3 P3 y3 1S2 r r Kružnicový oblúk 1b v kavaliernej axonometrii S2 Postup rysovania: 3) Na translačnej ploche druhú sústavu kriviek tvoria kružnicové oblúky ib, ktoré dostaneme posúvaním kružnicového oblúka b po parabole a. Pri posúvaní bod O krivky b sa posúva po parabole a. Zároveň bod B krivky b sa posúva po parabole 1a. Posunutá krivka ib leží v rovine rovnobežnej s nárysňou . Zostrojíme kružnicový oblúk 1b, ktorý prechádza ľubovoľným bodom 1B  1a. x1 A1 b1 S1 = B1 O1 1b1 1B1 2V1 1V1 V1 2a1 1a1 a1 2P1 P1 Tereňová 1P1 y1

Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. y V z S1 V1 2a 1a 8b B 8b1 O 1P 1V 1B Sa r x A = A1 b1 b S a1 P = P1 2a1 2P 2V1 2V 1S 3 ' z2 z3 1V2 1V3 4b2 3B3 5B3 3B2 3b2 = 5b2 2B3 4b3 5b3 6B3 2V2 V2 2B2 3b3 1a3 1a2 6b3 1b V3 2b2 = 6b2 1B3 2b3 7B3 1B2 1b3 7b3 r 2a2 a2 1b2 = 7b2 2a3 = a3 a 4S2 1P3 3S2 B2 B3 b2 = 8b2 b3 8b3 2S2 x2 A2 P2 = O2 O3 = A3 P3 y3 1S2 r r Translačná plocha v kavaliernej axonometrii S2 Postup rysovania: 4) Zostrojíme ďalšie kružnicové oblúky 2b, 3b, 4b, ktoré prechádzajú ľubovoľnými bodmi 2B, 3B  1a a bodom 1V  1a. Translačná plocha je súmerná podľa roviny ' rovnobežnej s nárysňou, ktorá inciduje s vrcholom V paraboly a. Túto vlastnosť využijeme pri konštrukcii ďalších kružnicových oblúkov ib : Zostrojíme kružnicové oblúky v rovinách, ktoré sú s rovinami kriviek b, 1b, 2b, 3b súmerné podľa roviny '. 5) Zobrazíme pôdorys, nárys a bokorys translačnej plochy. x1 A1 b1 S1 = B1 O1 1b1 1B1 2b1 2B1 3b1 3B1 2V1 4b1 1V1 V1 1 ' 2a1 5b1 1a1 a1 6b1 7b1 2P1 8b1 1P1 P1 y1

Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. R3 Postup rysovania v axonometrii: 6) Určujúce krivky a, b zobrazíme v kavaliernej axonometrii, pre ktorú platí jm = jx = jy = jz. z2 z3 V2 V3 z a2 R a3 zV b2 jm b3 x2 A2 xS P2 = O2 O3 = A3 y3 yV yV P3 zS r r S2 V x1 A1 b1 S1 jm O1 O1 jm b A = A1 jz O zV a x b1 S1 xS jx jy yV yV zS V1 r V1 S a1 a1 yV yV P = P1 y P1 Tereňová y1

Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 7) Jednu sústavu kriviek na translačnej ploche tvoria paraboly ia, ktoré dostaneme posúvaním paraboly a po kružnicovom oblúku b, pričom bod O paraboly a sa posúva po krivke b. Posunutá parabola ia leží v rovine rovnobežnej s bokorysňou . Zostrojíme parabolu 1a, ktorá prechádza bodom B  b. Parabola 1a je určená bodmi B, 1P a vrcholom 1V. Zostrojíme parabolu 2a, ktorá prechádza bodom A  b. Parabola 2a je určená bodmi A, 2P a vrcholom 2V. 1R z 2R R 1V V 2V B b 1a A = A1 O a x b1 S1 2a1 V1 2a 2V1 1P S a1 2P P = P1 y Tereňová

Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 8) Druhú sústavu kriviek na translačnej ploche tvoria kružnicové oblúky ib, ktoré dostaneme posúvaním kružnicového oblúka b po parabole a. Bod O krivky b sa posúva po parabole a. Zároveň bod B krivky b sa posúva po parabole 1a. Posunutá krivka ib leží v rovine rovnobežnej s nárysňou . Zostrojíme kružnicové oblúky ib, ktoré prechádzajú ľubovoľnými bodmi 9B, 10B, 11B, 12B, 13B, 14B  1a a bodmi 1V, 1P  1a. z 11B 10B 1V 12B 4b 9) Stredy všetkých kružnicových oblúkov ib ležia na parabole Sa zhodnej s parabolou a. 9B 12b 11b V 10b 2V r r 13B 9b B b r 1a 13b r r A = A1 14B O a x b1 S1 11S 10S 4S r 14b 12S 2a1 9S r V1 2a 2V1 13S 1P S 8b a1 2P 8b1 14S P = P1 y r Sa Tereňová 8S

Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 10) Doplníme obrys plochy ako obálku axonometrických priemetov zostrojených kriviek translačnej plochy. Pre lepšiu názornosť vyfarbíme jednu stranu plochy zelenou farbou a druhú stranu žltou farbou. z 11B 10B 1V 12B 9B 4b 12b 11b V 10b 2V 13B 9b B b 1a 13b A = A1 14B O a x b1 S1 11S 10S 4S 14b 12S 2a1 9S V1 2a 2V1 13S 1P S 8b a1 2P 8b1 14S P = P1 y Sa Tereňová 8S

Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania: 11) Doplníme ďalšie paraboly a zobrazíme viditeľnosť zostrojených kriviek translačnej plochy. z 1V V 2V B b 1a A = A1 O a x b1 2a1 2a 1P 8b a1 2P 8b1 P = P1 y Tereňová

Translačná plocha je určená krivkami a a b Translačná plocha je určená krivkami a a b. Krivka a je parabola, krivka b je kružnicový oblúk. Plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. 1R3 R3 T1 – zhrnutie 3 ' z2 z3 1V2 1V3 4b2 3B3 5B3 3B2 3b2 = 5b2 2B3 4b3 5b3 6B3 2V2 V2 2B2 3b3 1a3 1a2 6b3 1R 1B3 2b3 V3 2b2 = 6b2 7B3 1B2 1b3 7b3 z 2a2 a2 2R R 1b2 = 7b2 2a3 = a3 4S2 1P3 3S2 B2 B3 b2 b3 8b3 2S2 jm 11B x2 P2 = O2 O3 = A3 P3 y3 A2 10B 1V 1S2 12B r r 9B 4b S2 12b 11b V 10b 2V x1 A1 b1 S1 = B1 jm O1 13B 9b B b 1a jm 13b A = A1 jz 14B 1b1 1B1 O a x b1 S1 11S jx 10S 4S jy 2b1 2B1 14b 12S 3b1 3B1 2a1 9S V1 2a 2V1 13S 2V1 4b1 1V1 V1 1 ' 1P S 8b a1 2a1 5b1 1a1 a1 6b1 2P 8b1 14S P = P1 y 7b1 Sa 2P1 8b1 Tereňová 1P1 P1 y1 8S

Práca študenta: Miroslav Dorotčín, FA STU, školský rok 2002/03

Rotačný paraboloid je rotačná plocha (pozri kapitolu R2 v prvej časti skrípt www.math.sk/skriptaDG2/1), ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj transláciou paraboly a po parabole b, t. j. je to parabolicko-parabolická translačná plocha. Paraboly a a b sú zhodné a ležia v navzájom kolmých rovinách a v jednom polpriestore. Poznámka: Rez rotačného paraboloidu rovinou kolmou na os paraboly je kružnica. z z P b a a x k x k y y Rotačný paraboloid ako rotačná plocha Rotačný paraboloid ako translačná plocha DWFx Poznámka: Ak paraboly a a b nie sú zhodné paraboly, tak vznikne eliptický paraboloid. Rez eliptického paraboloidu rovinou kolmou na os paraboly je elipsa. Tereňová

Parabolicko-parabolická translačná plocha (eliptický paraboloid) Parabolicko-parabolická translačná plocha zastrešujúca budovu s obdĺžnikovým pôdorysom s rozmermi 69 m x 38 m. Hrúbka betónovej škrupiny sa pohybuje medzi 7,6 cm a 15 cm. https://en.wikipedia.org/wiki/Smithfield_Poultry_Market http://www.viewpictures.co.uk/Details.aspx?ID=113512&TypeID=1 Thomas Bennet and Son Smithfield Poultry Market Londýn, Veľká Británia, 1962 až 1963 https://www.flickr.com/photos/klemas/4330632261

Bjarke Ingels Groop, Futbalový štadión – návrh Nuuk, Grónsko Translačná plocha Bjarke Ingels Groop, Futbalový štadión – návrh Nuuk, Grónsko http://aasarchitecture.com/2017/02/nuuk-stadium-big.html

Paraboly a a b ležia v opačných polpriestoroch. Hyperbolický paraboloid je nerozvinuteľná priamková plocha (pozri kapitolu P3.1.1b), ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj transláciou paraboly a po parabole b, t. j. je to parabolicko-parabolická translačná plocha. Paraboly a a b ležia v opačných polpriestoroch. '' ''  ''  D z ' z ' B ' q a p'' b'' p' b' a' p q'' P C = C1 q' D1 a'' b O p'' O h B1 P1 A = A1 p'' y y p'' x p' p' x p' Hyperbolický paraboloid ako priamková plocha Hyperbolický paraboloid ako translačná plocha Rovinné rezy zobrazeného hyperbolického paraboloidu rovinami , ',  '' sú zhodné paraboly a rovinné rezy rovinami , ', '' sú zhodné paraboly. Na obrázku paraboly a, b ležia v navzájom kolmých rovinách. Tereňová

Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy Kongresová hala Berlín, Nemecko Poznámka: Strecha je ohraničená dvoma rovinnými oblúkmi, ktorých pôdorys má tvar paraboly. http://nemecko.tripzone.cz/berlin/fotogalerie/nova-berlinska-kongresova-hala-85 http://www.casopisstavebnictvi.cz/membranove-strechy-z-predpjateho-betonu_N1598

Tereňová Vinutý stĺpik je cyklická skrutková plocha, ale tú istú plochu môžeme vytvoriť aj transláciou kružnice k po skrutkovici b, t. j. je to kružnicovo-skrutkovicová translačná plocha. z = o z = o s s b DWFx O O S S y y x k = k1 x k = k1 P Vinutý stĺpik ako skrutková plocha Vinutý stĺpik ako translačná plocha Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici. Všetky skrutkovice majú rovnakú výšku závitu, resp. parameter, rovnakú os o, ale rôzny polomer (polomer sa rovná vzdialenosti konkrétneho bodu od osi o). Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici, ktorá je zhodná so skrutkovicou stredu S kružnice k (s osou o).

Určte os jednotlivých skrutkovíc. Tereňová Každý bod kružnice k sa pohybuje po „svojej“ skrutkovici, ktorá je zhodná so skrutkovicou stredu S kružnice k (s osou o). Určte os jednotlivých skrutkovíc. z = o s oC oB oA Nech A je bod kružnice k. Os oA skrutkovice bodu A prechádza bodom OA v pôdorysni, pričom vektory SO a AOA sú zhodné. k' O OA B C S y x A k = k1 Osi všetkých skrutkovíc bodov kružnice k(S, r) prechádzajú bodmi kružnice k'(O, r). Vinutý stĺpik ako translačná plocha

Translačná plocha Práca študenta: Daniel Pribula

Translačná plocha Kasahara Design Work St. Voile Chapel Japonsko http://www.archdaily.com/621238/st-voile-chapel-kasahara-design-work/5532b158e58ecee008000273-st-voile-chapel-kasahara-design-work-photo

Parabolicko-parabolická translačná plocha (eliptický paraboloid) Dizajnér Heinz Isler a architekt H. Maier Plaváreň Brugg, Argovia, Švajčiarsko, 1981 Rozpon 35 m Materiál: tvrdený betón https://structurae.net/structures/badi-brugg

Architekt: J.A. Copeland Tenisová hala Translačná plocha Architekt: J.A. Copeland Tenisová hala Heimberg, Berne, Švajčiarsko, 1978 Rozpon 48 metrov Materiál: tvrdený betón https://structurae.net/structures/heimberg-tennis-hall