Analytická geometria kvadratických útvarov

Prezentace na téma: "Analytická geometria kvadratických útvarov"— Transkript prezentace:

1 Analytická geometria kvadratických útvarov
Kružnica a priamka

2 Vzájomná poloha t a b sečnica a dotyčnica t nesečnica b

3 Sečnica a je priamka, ktorá má s kružnicou dva spoločné body.
Pre vzdialenosť stredu kružnice od priamky v a veľkosť polomeru kružnice r platí: v < r A v B k r S a

4 Dotyčnica Dotyčnica t je priamka, ktorá má s kružnicou práve jeden spoločný bod T. Pre vzdialenosť stredu kružnice od priamky v a veľkosť polomeru kružnice r platí: v = r T v r k S t

5 Nesečnica b je priamka, ktorá nemá s kružnicou žiadny spoločný bod.
Pre vzdialenosť stredu kružnice od priamky v a veľkosť polomeru kružnice r platí: v > r v k r S n

6 Riešenie vzájomnej polohy
Polohu priamky a kružnice riešime riešením sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych. Jedna je rovnica kružnice k: x2 + y2 = r2. Druhá je rovnica priamky (môže byť všeobecná rovnica aj v smernicovom tvare alebo parametrické vyjadrenie). Rovnicu alebo vyjadrenie priamky dosadíme do rovnice kružnice a upravíme. Dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorú štandardne riešime. Podľa hodnoty diskriminantu určíme vzájomnú polohu nasledovne: D > 0 ide o sečnicu – rovnica má dve riešenia, z ktorých dostaneme súradnice dvoch bodov, v ktorých sa priamka s kružnicou pretína. D < 0 ide o nesečnicu – rovnica nemá riešenie. D = 0 ide o dotyčnicu – rovnica má jedno riešenie, pomocou ktorého dostaneme súradnice dotykového bodu.

7 Vzorové riešenie 1 Určte vzájomnú polohu priamky a kružnice sečnica 4
Získali sme x-ové súradnice priesečníkov, Dosadením za y dostaneme ich y-ové súradnice. -3 Priamka pretína kružnicu v bodoch

8 Vzorové riešenie 2 Určte vzájomnú polohu priamky a kružnice
nesečnica Priamka nepretína kružnicu – je nesečnicou kružnice.

9 Vzorové riešenie 3 Určte parameter a tak, aby priamka
bola dotyčnicou kružnice z priamky vyjadríme x dosadíme do rovnice kružnice umocníme uložíme v poradí kvadratickej rovnice, v ktorej je neznáma y, z dvoch členov vyjmeme y vyjadríme diskriminant, ktorý sa pri dotyčnici musí rovnať O dopočítame a Priamka, ktorá je dotyčnicou kružnice má rovnicu

10 Príklady na precvičenie
Určte vzájomnú polohu priamky a kružnice, ak je dané: Polohu Priamky Kružnice Nájdite také číslo c, že priamka bude dotyčnicou kružnice Tak Riešime Riešením sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych.