Kmity HRW2 kap. 15 HRW kap. 16

kmitání = opakující se pohyb Kmity kmitání = opakující se pohyb Příklad: výsledná síla je úměrná výchylce částice z rovnovážné polohy a orientovaná proti výchylce zrychlení je úměrné výchylce a míří proti ní

perioda amplituda

perioda T = doba, za kterou se uskuteční jeden úplný kmit = nejkratší doba, za kterou se výchylka a rychlost (nebo jiné fyzikální veličiny popisující systém) vrátí na původní hodnoty frekvence f = počet kmitů za jednu sekundu výchylka amplituda

Pohybová rovnice pro harmonický pohyb je totéž jako nebo Úkol: Co můžeme říct o této rovnici? Nyní najdeme její řešení.

Řešení pohybové rovnice pro harmonický pohyb Zkusme funkci Je řešením pokud rovnici lze napsat také ve tvarech: Co jsme zjistili?

Úkol: nakreslete graf funkce úhlová (kruhová) frekvence počáteční fáze - posun na ose t

Kontrola: má řešení očekávané vlastnosti?

Harmonický pohyb (shrnutí) (lineární nebo harmonický oscilátor) pohybová rovnice její řešení Částice harmonicky kmitá kolem rovnovážné polohy. Výsledná síla je úměrná výchylce částice z rovnovážné polohy a orientovaná proti výchylce. Zrychlení je úměrné výchylce a míří proti ní.

Použití počátečních podmínek Řešení obsahuje 2 reálné konstanty, které určíme z počátečních podmínek. ? ? Počáteční podmínky: (příklad HRW2 15.2) Časté zvláštní případy: 1. 2.

(amplituda zrychlení) ?

Energie harmonického oscilátoru (konstanta, lze určit pomocí počátečních podmínek)

Energie harmonického oscilátoru (konstanta, lze určit pomocí počátečních podmínek) (to samozřejmě muselo vyjít)

Střední hodnoty energií Střední hodnota funkce za dobu jedné periody je

kmitá kolem rovnovážné polohy substituce už umíme řešit - soustava kmitá se stejnou frekvencí jako bez konstantní síly - konstantní síla pouze posune rovnovážnou polohu kmitá kolem rovnovážné polohy

[HRW2, kap. 15 úloha 69]

Torzní kyvadlo

Matematické kyvadlo pro malé amplitudy

Fyzické kyvadlo pro malé amplitudy ověření výsledku pro matematické kyvadlo:

[HRW2, kap. 15 úloha 45]

HRW2 15/106 HRW 16/51 (1)

HRW2 15/106 HRW 16/51 (2) (už jsme řešili)

Kmitání a rovnoměrný kruhový pohyb (fázorový diagram) rotuje úhlovou rychlostí fázor

Znázornění v komplexní rovině

Tlumené kmity pružná síla brzdná síla?

Tlumené kmity pohybová rovnice pružná síla brzdná síla

Tlumené kmity

Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru předpokládáme řešení obecné řešení: Aperiodický pohyb (silný útlum) Mezní aperiodický pohyb (kritický útlum) Tlumený harmonický kmit (slabý útlum) 3 možnosti:

záleží na p.p., zde např. pro 1. Aperiodický pohyb záleží na p.p., zde např. pro (tlumení) roste Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou

2. Mezní aperiodický pohyb záleží na p.p., zde např. pro Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou 3. Návrat do rovnováhy je nejrychlejší (ve srovnání s ostatními pohyby)

3. Tlumený harmonický kmit reálné, tj. nebo Výchylka konverguje k rovnovážné poloze

3. Tlumený harmonický kmit - kmity s frekvencí - amplituda exponenciálně klesá Pozn.: pro velmi slabý útlum

3. Tlumený harmonický kmit - kmity s frekvencí - amplituda exponenciálně klesá Pozn.: pro velmi slabý útlum

Energie slabě tlumeného oscilátoru netlumený oscilátor tlumený oscilátor exponenciálně klesá

[HRW2, kap. 15 úloha 59]

Nucené kmity a rezonance b  volné a nucené kmity, tj. dvě frekvence: - vlastní frekvence  - frekvence budící síly b

Nucené kmity a rezonance ? b  - pružná síla - brzdná síla - budící síla Po zapnutí budící síly: pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené) a nucených kmitů. Po dostatečně dlouhé době: volné kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu (nezávisí na p.p.), tj. vykonává pouze nucené kmity. ? ?

Nucené kmity a rezonance b kmitající nosník  pružná síla ? ? brzdná síla

Nucené kmity a rezonance b kmitající nosník  pružná síla pohybová rovnice brzdná síla

Řešení pohybové rovnice nucených kmitů (použijeme komplexní vyjádření) předpokládané partikulární řešení rovnice platí pro všechna t

Řešení pohybové rovnice nucených kmitů ? ?

amplituda výchylky amplituda rychlosti amplituda zrychlení

Rezonance Poloha maxima - rezonanční frekvence

Nucené kmity: amplituda a fáze výchylky rychlosti x se opožďuje za F v předbíhá F v se opožďuje za F

[HRW2, kap. 15 úloha 63]

Rezonance: torzní kmity hřídele Bohumil Kučera, O zjevech resonance u parníků a železnic, Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 36 (1907), No. 1, 91–100

Rezonance: Krouživé kmity hřídele rychlost těžiště úhlová rychlost (pouze označení!) výchylka ve fázi kritické otáčky výchylka v protifázi