Fraktální geometrie
Lewis Richardson, délka pobřeží ostrova Korsika
Východní pobřeží 11 x 1km 10 km
Východní pobřeží Délka pobřeží k.n(k) lim k→0 k.n(k) = D
Západní pobřeží
Západní pobřeží lim k→0 k.n(k) =∞
Soběpodobnost
Kochova vločka Niels Fabian Helge von Koch (25. ledna 1870 Stockholm – 11. března 1924 Stockholm)
Délka Kochovy vločky (4/3)n*3 →∞ 3 4/3 * 3 = 4 4/3*4/3*3 = 5,33 (4/3)3*3=7,11 (4/3)n*3 →∞
Sierpinského koberec
Plocha Sierpinskeho koberce Plocha děr 1/9 8/9 * 1/9 (8/9)2 * 1/9 (8/9)n * 1/9 Celkem 1/9 * ∑(8/9)i = 1 Plocha zbytku (koberce) = 0
Mengerova houba
Mandelbrotova množina
Juliova množina
Přirozené fraktály
Soběpodobnost v přírodě
Matematická definice Fraktál je útvar, jehož Hausdorfova dimenze je jiná než dimenze geometrická
U nefraktálních útvarů Zjemním měřítko s krát, počet naměřených úseků se změní sD krát, D je geometrická dimenze
Dimenze Kochovy vločky Kochova křivka 3 x zjemnění => 4 x délka s = 3 => N = 4 D = logN/logs = log4/log3 = 1.261895
Další Hausdorfovy dimenze Sierpinskeho koberec 1,58 Mengerova houba 2,72 Peanova křivka 2 Mořské pobřeží 1,02 – 1,25
Polynomické fraktály Definován rekurzivní předpis Kn+1 = f(kn) Pokud pro počáteční hodnotu k0 posloupnost konverguje, je hodnota k0 prvkem fraktálu
Mandelbrotova množina
Mandelbrotova množina Část roviny komplexních čísel z0 = 0, zn+1 = zn2 + c Mandelbrotova množina je množina všech takových c, pro které posloupnost z nejde do nekonečna.
Příklady bodů C Z0 Z1 Z2 Z3 Z4 0 + 0i 0,0 1+0i 1,0 2,0 5,0 26,0 -1+0i -1,0 Příklad nestabilního systému: -2+0i, -2,00000001+0i;