FRAKTÁLY JSOU MNOŽINY JEJICHŽ GEOMETRICKÝ MOTIV SE OPAKUJE V ZÁKLADNÍM TĚLESE AŽ DO NEKONEČNA. (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved.

Prezentace na téma: "FRAKTÁLY JSOU MNOŽINY JEJICHŽ GEOMETRICKÝ MOTIV SE OPAKUJE V ZÁKLADNÍM TĚLESE AŽ DO NEKONEČNA. (c) 1999. Tralvex Yeap. All Rights Reserved."— Transkript prezentace:

1 FRAKTÁLY JSOU MNOŽINY JEJICHŽ GEOMETRICKÝ MOTIV SE OPAKUJE V ZÁKLADNÍM TĚLESE AŽ DO NEKONEČNA. (c) Tralvex Yeap. All Rights Reserved

2 GEOMETRIE, KTERÁ SE UČÍ NA ŠKOLÁCH, SE ZABÝVÁ PRAVIDELNÝMI ÚTVARY (PŘÍMKA, KRUŽNICE, ELIPSA, ...). POKUD SE ALE PODÍVÁTE KAMKOLIV DO PŘÍRODY, ZJISTÍTE ŽE PŘEVÁŽNÁ VĚTŠINA ÚTVARŮ JE NEPRAVIDELNÝCH. VYJÁDŘIT TYTO ÚTVARY MŮŽETE APROXIMACÍ, TÍM ALE MŮŽE DOJÍT (A VĚTŠINOU TAKÉ DOCHÁZÍ) KE ZNAČNÉ DEFORMACI A ZTRÁTĚ INFORMACÍ. PŘEDSTAVTE SI, ŽE MÁTE ZMĚŘIT OBVOD NĚJAKÉHO OSTROVA (MANDELBROT, 1977, HOW LONG IS THE COAST OF GREAT BRITAIN).

3 EUKLIDOVSKÁ GEOMETRIE
JEJÍ SLABINOU JE, ŽE NEUMÍ POPSAT JEDNODUCHÝM ZPŮSOBEM KOMPLIKOVANÉ STRUKTURY JAKO NAPŘ. PYTHAGORŮV STROM

4 HISTORIE OFICIÁLNÍ VZNIK FRAKTÁLNÍ GEOMETRIE LZE DATOVAT DO ROKU 1975, KDY BYLA ZALOŽENO PANEM B.B. MANDELBROTEM. PŘED NÍM PUBLIKOVAL PROBLEMATIKU FRAKTÁLU PODPOŘENOU RUČNÍ KRESBOU GASTON JULIA

5 BENOIT MANDELBROT NA ROZDÍL OD KLASICKÉ GEOMETRIE SE FRAKTÁLNÍ GEOMETRIE ZABÝVÁ NEPRAVIDELNOSTÍ OBJEKTŮ. POPRVÉ POUŽIL SLOVO FRAKTÁL BENOIT MANDELBROT. SNAŽIL SE PRO NOVÝ OBJEV NALÉZT JMÉNO A NÁHODOU ZALISTOVAL SEŠITEM SVÉHO SYNA KDE NARAZIL NA LATINSKÉ SLOVO FRACTUS. Z NĚJ JE ODVOZENÉ SLOVO FRANGERE - ROZLÁMAT, VYTVOŘIT NEPRAVIDELNÉ ÚLOMKY. KE VZNIKU TOHOTO ODVĚTVÍ HO INSPIROVALY DVĚ SETKÁNÍ S GEOMETRICKOU SOBĚPODOBNOSTÍ – PŘI STUDIU PORUCH V PŘENOSU TELEKOMUNIKAČNÍCH SIGNÁLŮ A PŘI STUDIU FLUKTUACÍ TRŽNÍCH CEN JEJICHŽ PRŮBĚH BYL PODOBNÝ.

6 MANDELBROTOVA "DEFINICE FRAKTÁLU „ Z ROKU 1977
FRAKTÁL JE MNOŽINA, JEJÍŽ HODNOTA HAUSDORFFOVY-BESICOVICHOVY DIMENZE PŘESAHUJE HODNOTU DIMENZE TOPOLOGICKÉ. TOPOLOGICKÁ DIMENZE (DT) URČUJE KLASICKÝ GEOMETRICKÝ ROZMĚR TĚLESA. BOD MÁ DT=0, PŘÍMKA DT=1, PLOCHA DT=2 A PROSTOROVÝ OBJEKT DT=3. HAUSDORFFOVA-BESICOVITCHOVA DIMENZE D, NEBO TAKÉ DIMENZE FRAKTÁLNÍ, URČUJE MÍRU NEPRAVIDELNOSTI TĚLESA. U PRAVIDELNÝCH TĚLES JE SHODNÁ S DIMENZÍ TOPOLOGICKOU, U TĚLES NEPRAVIDELNÝCH JE VĚTŠÍ (NAPŘ. D=2.12). FRAKTÁL JE TEDY JAKÝKOLIV GEOMETRICKY NEPRAVIDELNÝ ÚTVAR, ZE KTERÉHO PO ROZDĚLENÍ VZNIKNE V IDEÁLNÍM PŘÍPADĚ NĚKOLIK SOBĚPODOBNÝCH KOPIÍ PŮVODNÍHO CELKU. JEDNÁ SE O ÚTVARY, KTERÉ JSOU SOBĚPODOBNÉ A NEZÁVISLÉ NA MĚŘÍTKU. ČASTO MAJÍ JEŠTĚ DALŠÍ ZAJÍMAVÉ VLASTNOSTI, NAPŘ. NEKONEČNĚ DLOUHÝ OBVOD ČI NEKONEČNĚ MALÝ OBSAH.

7 EUKLIDOVSKÁ DIMENZE JE LIMITNÍM PŘÍPADEM DIMENZE FRAKTÁLNÍ.
ZAJÍMAVÉ JE, ŽE NAPŘÍKLAD NÁSLEDUJÍCÍ OBRAZEC VZNIKL Z VELICE JEDNODUCHÉHO MATEMATICKÉHO VÝRAZU Z = Z2+C. EUKLIDOVSKÁ DIMENZE JE LIMITNÍM PŘÍPADEM DIMENZE FRAKTÁLNÍ.

8

9

10

11 DALŠÍ KLÍČOVÁ VLASTNOST FRAKTÁLNÍ GEOMETRIE NAPŘ. HUSTÉ KOŘENOVÍ KEŘŮ
SOBĚPODOBNOST SOBĚPŘÍBUZNOST ZVĚTŠÍ-LI SE LIBOVOLNÁ ČÁST FRAKTÁLNÍHO TĚLESA, TAK TENTO VÝŘEZ SE BUDE PODOBAT PŮVODNÍMU TĚLESU. MATEMATICKY LZE TAKTO POSTUPOVAT AŽ DO NEKONEČNA, V REÁLNÉM SVĚTĚ SE VŽDY NARAZÍ NA OMEZUJÍCÍ PODMÍNKY. NAPŘ. HUSTÉ KOŘENOVÍ KEŘŮ V PŘÍPADĚ KOŘENOVÍ SE JEDNÁ O SOBĚPŘÍBUZNÝ FRAKTÁL.

12 SOBĚPODOBNOST SOBĚPŘÍBUZNOST
JSOU VĚTŠINOU JEN ČISTÉ MATEMATICKÉ STRUKTURY, SE KTERÝMI SE LZE SETKAT PŘI MATEMATICKÝCH KONSTRUKCÍCH. JEJICH CHARAKTERISTICKÝM RYSEM JE, ŽE SE V NICH OPAKUJE PŮVODNÍ ORIGINÁLNÍ MOTIV MATEŘSKÉHO TĚLESA. KTERÝKOLIV VÝSEK JE PŘESNOU KOPIÍ PŮVODNÍHO TĚLESA. SOBĚPŘÍBUZNOST SETKÁVÁME SE S NIMI KAŽDÝ DEN – MRAKY, LES, VODNÍ HLADINA…VLASTNÍ KONSTRUKCE SE DĚJE POMOCÍ TZV. AFINNÍCH TRANSFORMACÍ. OPAKOVANÝM APLIKOVÁNÍM AFINNÍ TRANSFORMACE NEBO JEJICH SKUPINY SE DOSÁHNE TOHO, ŽE SE Z VLASTNÍHO TĚLESA ZAČNE VYNOŘOVAT FRAKTÁLNÍ STRUKTURA.

13 PRINCIP AFINNÍCH TRANSFORMACÍ

14 POUŽITÍ FRAKTÁLNÍ GEOMETRIE
KOMPRESE OBRÁZKŮ POČÍTAČOVÉ VIDĚNÍ ARTWARE STUDIUM DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ ŠIFROVÁNÍ MODELOVÁNÍ RŮZNÝCH CHEMICKÝCH A FYZIKÁLNÍCH PROCESŮ PREDIKCE ATD.

15

16

17 End of Lecture Good Night.