Vzdělávání pro konkurenceschopnost Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název a adresa školy: Integrovaná střední škola Cheb, Obrněné brigády 6, 350 11 Cheb Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0290 Číslo a název klíčové aktivity: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo DUM: VY_32_INOVACE_02Eff_10 Název DUM: 10 Pravděpodobnost II. – Pravděpodobnost sjednocení jevů, pravděpodobnost nezávislých jevů Jméno autora: Mgr. Věra Effenberger Ročník: 3. a 4. ročník Vzdělávací oblast: matematika - pravděpodobnost Vzdělávací obor: studijní Klíčová slova: neslučitelné jevy, pravděpodobnost sjednocení jevů, pravděpodobnost průniku nezávislých jevů Anotace: materiál definuje a procvičuje výpočet pravděpodobnosti sjednocení jevů a pravděpodobnosti nezávislých jevů Druh učebního materiálu: prezentace Očekávaný výstup: rozlišení sjednocení, průniku a nezávislosti jevů a výpočet jejich pr. Metodika učebního materiálu: Jedná se o prezentaci, která se se slovním doprovodem přehraje krok za krokem žákům. K prezentaci patří též pracovní list 11 Pravděpodobnost Ii., jehož součástí jsou příklady v prezentaci a další příklady na procvičení látky.

Pravděpodobnost sjednocení jevů Pravděpodobnost nezávislých jevů PRAVDĚPODOBNOST II. Pravděpodobnost sjednocení jevů Pravděpodobnost nezávislých jevů

Pravděpodobnost sjednocení Máme-li určit pravděpodobnost sjednocení dvou jevů A a B, určujeme jaká je pravděpodobnost, že nastane jev A nebo jev B nebo oba zároveň. Pozn.: pokud jsou jevy A, B neslučitelné, potom zároveň nastat nemohou a tedy:

Pravděpodobnost sjednocení Pravděpodobnost sjednocení dvou neslučitelných jevů A, B je: Jsou-li A1, A2, … ,An neslučitelné jevy, potom:

Pravděpodobnost sjednocení Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami bude součet ok na kostkách prvočíslo nebo číslo dělitelné čtyřmi?

Pravděpodobnost sjednocení Příklad – řešení: jev A: „součet bude prvočíslo“, - možnosti hodů: {1,1}; {1,2}; {2,1}; {1,4}; {2,3}; {3,2}; {4,1}; {1,6}; {2,5}: {3,4}; {4,3}; {5,2}; {6,1}; {5,6}; {6,5} - celkem 15 možností jev B: „součet bude číslo dělitelné 4“ - možnosti hodů: {1,3}; {2,2}; {3,1}; {2,6}; {3,5}; {4,4}; {5,3}; {6,2}; {6,6} - celkem 9 možností jsou to jevy neslučitelné, tedy:

Pravděpodobnost sjednocení Častěji se stává, že jednotlivé jevy mají společný průnik, potom: Pravděpodobnost sjednocení dvou jevů A, B je obecně: A B

Pravděpodobnost sjednocení Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami bude součet ok na kostkách prvočíslo nebo číslo dělitelné pěti?

Pravděpodobnost sjednocení Příklad – řešení: jev A: „součet bude prvočíslo“, - možnosti hodů: {1,1}; {1,2}; {2,1}; {1,4}; {2,3}; {3,2}; {4,1}; {1,6}; {2,5}: {3,4}; {4,3}; {5,2}; {6,1}; {5,6}; {6,5} - celkem 15 možností jev B: „součet bude číslo dělitelné 5“, - možnosti hodů: {1,4}; {2,3}; {3,2}; {4,1}; {4,6}; {5,5}; {6,4} - celkem 7 možností

Pravděpodobnost sjednocení Příklad – řešení: průnik jevů A a B: „součet bude prvočíslo a číslo dělitelné 5“, - možnosti hodů: {1,4}; {2,3}; {3,2}; {4,1} - celkem 4 možnosti pravděpodobnost sjednocení bude tedy:

Pravděpodobnost nezávislých jevů Pokud se dva jevy navzájem neovlivňují, tedy výsledek jednoho jevu nezávisí na výsledku jevu druhého, pak považujeme dané jevy za nezávislé. Zároveň pak platí, že pravděpodobnost jednoho jevu nezávisí na nastoupení jevu druhého.

Pravděpodobnost nezávislých jevů Pro pravděpodobnost nezávislých jevů A, B platí: Pozn.: K definici nezávislosti jevů se v matematice používá právě následující: Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí:

Pravděpodobnost nezávislých jevů Příklad: Pravděpodobnost vyrobení kvalitního výrobku na prvním stroji je 0,8 a na druhém stroji 0,9. Oba dva stroje pracují nezávisle na sobě. Vybereme po jednom výrobku z produkce obou strojů. Jaká je pravděpodobnost, že oba dva výrobky budou kvalitní? [1]

Pravděpodobnost nezávislých jevů Příklad - řešení: Jev A – vyrobení výrobku na prvním stroji Jev B – vyrobení výrobku na druhém stroji Protože oba stroje pracují nezávisle, jedná se o jevy nezávislé a tedy: Pravděpodobnost vybrání dvou kvalitních výrobků je 0,72.

Zdroje [1] PETRÁNEK, Oldřich, CALDA, Emil, HEBÁK, Petr. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 4. část. Praha, Prometheus 1985, (str. 102 př. 32) ISBN 80-7196-040-3