Komplexní čísla

Komplexní čísla Komplexní čísla (z latinského complexus, složený) vznikají rozšířením oboru reálných čísel do plochy (Gaussova rovina). imaginární osa Im A=2+j1,5 A j – imaginární jednotka reálná osa Re

Tvary komplexních čísel Algebraický (složkový) tvar : A= a1 + ja2 a1 A A Exponenciální tvar : A = A.ejφ = |A| φ a2 φ Goniometrický tvar : A = A.(cos φ + j.sin φ) A je absolutní hodnota 𝑨 =𝐴= 𝑎 1 2 + 𝑎 2 2 Platí : j2 = -1 V tištěném textu jsou komplexní čísla značena tlustě, v písemném zápisu je označujeme pruhem nad identifikátorem - 𝐴 , 𝐼 , 𝑈 , 𝑍 apod.

Operace s komplexními čísly Číslo komplexně sdružené má opačnou imaginární složku : A a2 φ -φ A= a1 + ja2 = A.ejφ -a2 A*= a1 - ja2 = A.e-jφ A* a1 Číslo komplexně sdružené (obvykle) značíme hvězdičkou.

Operace s komplexními čísly Sčítání a odčítání Sčítáme (odčítáme) odděleně reálné a imaginární složky. A = a1 + j a2 B = b1 + j b2 C = A + B = a1 + j a2 + b1 + j b2 = (a1 + b1 ) + j (a2 + b2 )

Operace s komplexními čísly Násobení Komplexní čísla násobíme u složkového tvaru podle pravidel násobení mnohočlenů u exponenciálního tvaru dle pravidel násobení mocnin o stejném základu A = a1 + j a2 = A.e 𝑗𝜑 𝑎 B = b1 + j b2 = B. e 𝑗𝜑 𝑏 C = A . B = (a1 + j a2 ).(b1 + j b2 ) = a1b1+ja2b1+ja1b2 +j2 a2b2 = (a1b1- a2b2)+j(a2b1+ a2b2) C = A . B = A. e jφ a . B. e jφ b = A.B. e jφ a + jφ b = A.B. ej( φ a + φ b ) Alternativní zápis 𝑪= A.B φa + φb

Operace s komplexními čísly Dělení – složkový tvar A = a1 + j a2 B = b1 + j b2 𝑪= 𝑨 𝑩 = 𝑎 1 +𝑗 𝑎 2 𝑏 1 +𝑗 𝑏 2 = (𝑎 1 +𝑗 𝑎 2 )( 𝑏 1 −𝑗 𝑏 2 ) ( 𝑏 1 +𝑗 𝑏 2 )( 𝑏 1 −𝑗 𝑏 2 ) = 𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 +𝑗( 𝑎 2 𝑏 1 − 𝑎 1 𝑏 2 ) 𝑏 1 2 − ( 𝑗𝑏 2 ) 2 = = 𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 +𝑗( 𝑎 2 𝑏 1 − 𝑎 1 𝑏 2 ) 𝑏 1 2 + 𝑏 2 2 = 𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 𝑏 1 2 + 𝑏 2 2 +𝑗 𝑎 2 𝑏 1 − 𝑎 1 𝑏 2 𝑏 1 2 − 𝑏 2 2 Dělení – exponenciální tvar A = A.e 𝑗𝜑 𝑎 B = B. e 𝑗φ b Alternativní zápis 𝑪= 𝑨 𝑩 = A 𝑒 j φ 𝑎 B 𝑒 j φ 𝑏 = 𝐴 𝐵 ∙ 𝑒 j φ 𝑎 ∙ 𝑒 −j φ 𝑏 = 𝐴 𝐵 ∙ 𝑒 j (φ 𝑎 − 𝜑 𝑏 ) 𝑪= 𝐴 𝐵 φa - φb

Operace s komplexními čísly Násobení reálným číslem A = A.eiφ , k – reálné číslo B = k . A = k.A.eiφ = B.eiφ Velikost B se proti A změnila k krát, úhel původního čísla nemění

Operace s komplexními čísly Násobení imaginární jednotkou j Re Im platí | j | = 1 (abs. hodnota) φ A Exponenciální tvar : 90o B 𝒋= 𝑒 𝑗 90 𝑜 A = a1 + j a2 = A.e 𝑗𝜑 𝑎 B = j.A = A 𝑒 𝑗φ . 𝑒 𝑗 90 𝑜 = A. 𝑒 𝑗(φ+ 90 𝑜 ) Násobení imaginární jednotkou „otočí“ původní číslo o 90o proti směru hodinových ručiček !