Tečné a normálové zrychlení

Prezentace na téma: "Tečné a normálové zrychlení"— Transkript prezentace:

1 Tečné a normálové zrychlení
Okamžitá rychlost je u obecného pohybu vždy vektorová veličina mající směr tečny k trajektorii!! Pouze u přímočarého pohybu stačí uvažovat pouze jejich velikost (směr je totiž pořád stejný a daný směrem pohybu…) at v a an Okamžité zrychlení je u obecného křivočarého pohybu vektorová veličina, jíž lze rozložit na složku ve směru tečny k trajektorii (tečné zrychlení at udávající změnu velikosti rychlosti) a ve směru kolmém k tečně (normálové zrychlení an – změna směru rychlosti). Vektorově tedy platí a = at + an, pro velikost celkového zrychlení poté a = √at2+an2 (Pythagorova věta)

2 Pohyb po kružnici U pohybu po kružnici pracujeme místo s dráhou s, rychlostí v a zrychlením a (jako u přímočarého) s jejich úhlovými analogiemi – úhlovou dráhou φ (jednotka radián – rad), úhlovou rychlostí ω (rad*s-1) a úhlovým zrychlením ε (rad*s-2) Převod mezi úhlovými veličinami a veličinami původními se provádí vynásobením poloměrem kružnice. Platí tedy: s = φ*r, v = ω*r, at = ε*r (pozor, jen tečné zrychlení!) Veškeré vztahy uvedené dříve pro přímočarý pohyb a jeho speciální případy zůstávají v platnosti s tím, že veličiny nahradíme jejich úhlovými analogiemi!!

3 Rovnoměrný pohyb po kružnici
U rovnoměrného pohybu po kružnici platí (viz analogie s rovnoměrným přímočarým pohybem) vztahy ε = 0, ω(t) = ω0 = konst., φ(t) = ω0*t + φ0 (počáteční úhlová dráha, většinou nula) Grafy ε(t), ω(t), φ(t) jsou zcela stejné jako grafy a(t), v(t) a s(t) pro rovnoměrný přímočarý pohyb, platí i všechna tam uvedená pravidla (obsah plochy pod křivkou, směrnice…)! Zavádíme pojmy frekvence (značka f, jednotka Hertz – „Hz“, rozměr s-1) jako počet oběhů za sekundu (platí tedy vztah f = ω0/2*π) a perioda (značka T, jednotka sekunda – „s“) jako doba trvání jednoho oběhu (platí tedy, že T = 1/f) přímočarý po kružnici a = 0, v = v0= konst ε = 0, ω(t) = ω0 = konst., s = v0*t + s φ(t) = ω0*t + φ0

4 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici
U rovnoměrného pohybu po kružnici platí (viz analogie s rovnoměrným přímočarým pohybem) vztahy ε = ε0 = konst., ω(t) = ε0*t + ω0 (počáteční úhlová rychlost) , φ(t) = ½* ε0*t2 + ω0*t + φ0 (počáteční úhlová dráha, většinou nula) Grafy ε(t), ω(t), φ(t) jsou zcela stejné jako grafy a(t), v(t) a s(t) pro rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb, platí i všechna tam uvedená pravidla (obsah plochy pod křivkou, směrnice…)! přímočarý po kružnici a = a ε = ε0 = konst. v = a*t + v ω(t) = ε0*t + ω0 s = ½*a*t2 + v0*t + s φ(t) = ½* ε0*t2 + ω0*t +φ0

5 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici
Příklad: Ventilátor se otáčí s frekvencí 15 s-1. Po vypnutí se ventilátor rovnoměrně zpomaluje a do úplného zastavení se otočil 75 krát. Jaký čas uplyne od okamžiku vypnutí ventilátoru do okamžiku zastavení? Řešení: Jedna otáčka odpovídá úhlu 2 π. Frekvence 15 s-1 odpovídá úhlové rychlosti 2*π*15 rad/s. Jde o rovnoměrně zpomalený pohyb po kružnici. Užitím metody průměrování máme tedy: φ = ωp*t a ωp = (ωk + ω0)/2 = (0+2*π*15)/2 = 15 π  2*π*75 = 15*π*t  t = 150*π/(15*π) = 10 s.

6 Pohyb po kružnici – normálové zrychlení
Zatím jsme uvažovali pouze úhlové zrychlení, z něhož po vynásobení poloměrem kružnice máme tečnou složku zrychlení at. Víme však, že existuje i k ní kolmá (normálová) složka an, celkové zrychlení je pak dáno vektorovým součtem obou složek, jeho velikost je pak a = √at2+an2. Pro velikost normálové složky platí vztah an = v2/r =ω2*r, kde r je poloměr kružnice. Vzhledem k tomu, že každou křivku lze v daném bodě nahradit kružnicí (tzv. oskulační kružnice), můžeme normálové zrychlení určit pomocí vzorce an = v2/r i v případě jiného pohybu než po kružnici (r poté značí poloměr oskulační kružnice nebo též tzv. poloměr křivosti dané křivky v daném bodě…)