Matematika Parametrické vyjádření přímky

Výukový materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0608 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo materiálu: 06_02_32_INOVACE_04

Financováno z ESF a státního rozpočtu ČR. Parametrické vyjádření přímky Předmět: Matematika Ročník: 3. Jméno autora: Mgr. Hana Gaďurková Škola: SPŠ Hranice Anotace : prezentace obsahuje ukázkově řešené příklady a příklady k procvičení určování parametrické rovnice přímky Klíčová slova: přímka, směrový vektor, parametr, Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Hana Gaďurková Financováno z ESF a státního rozpočtu ČR.

PŘÍMKA p … přímka, která je dána dvěma body … směrový vektor

Nejprve trochu teorie Parametrické vyjádření přímky má tvar dvou rovnic, které vyjadřují souřadnice bodů, které leží na dané přímce kde je libovolný bod dané přímky je směrový vektor dané přímky A teď můžeme přejít k příkladům! 

. . Příklad 1 Určete parametrické vyjádření přímky p, která je dána bodem a směrovým vektorem Nápověda: uvědomte si, co je

Řešení 1 Souřadnice bodu A: Souřadnice vektoru Parametrické vyjádření přímky p má tedy tvar: p: x = 3 – t y = -2 + 2t, t∊ R.

Příklad 2 Najdi parametrické vyjádření přímky q, která prochází body C[2;3], D[-1;-3]. Nápověda: Pro parametrické vyjádření přímky potřebuji libovolný bod přímky a směrový vektor přímky!

Řešení 2 Určíme souřadnice směrového vektoru např. Obě souřadnice vektoru lze vydělit číslem -3, abychom dostali čísla nesoudělná, tedy NEZAPOMEŇ! Každá přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů!!! Parametrické vyjádření přímky po dosazení bodu a směrového vektoru:  

Příklad 3 Rozhodni, zda na přímce q z předchozího příkladu leží body E[1;1], F[-3;-6].

Řešení 3 Leží bod E[1; 1] na přímce q? Dosadím souřadnice bodu E: x = 1, y = 1 do parametrického vyjádření přímky q pokud z obou rovnic vyjde stejná hodnota parametru t, pak bod E leží na přímce q q: 1 = 2 + t ► t = -1 1 = 3 + 2t ► t = -1 parametry se rovnají ► bod E tedy leží na přímce q! ● totéž provedu s bodem F[-3; -6] q: -3 = 2 + t ► t = -5 -6 = 3 + 2t ► t = -4,5 parametry se nerovnají ► bod F neleží na přímce q!

Příklad 4 Urči chybějící souřadnici bodu G[3;y] tak, aby ležel na přímce q z příkladu 2.

Řešení 4 Chci, aby bod G[3; y] ležel na přímce q… Známou souřadnici dosadím do parametrického vyjádření přímky q, vypočtu hodnotu parametru t, tu pak dosadím do druhé rovnice a vypočtu chybějící souřadnici… q: 3 = 2 + t ► t = 1 y = 3 + 2.1 = 5 Bod G má souřadnice [3; 5]

Příklad 5 Najdi parametrické vyjádření přímky r, která je kolmá na přímku q z předchozího příkladu a prochází bodem H [-1;2] . Nápověda… uvědomte si, co platí pro směrové vektory přímek q, r !

Řešení př. 5 pro parametrické vyjádření přímky potřebuji bod – mám zadaný bod H[-1;2] Dále potřebuji směrový vektor – vím, že přímka r má být kolmá na přímku q, teda i jejich směrové vektory musí být kolmé ⇒ jejich skalární součin musí být roven 0 Parametrické vyjádření přímky r :

Příklad 6 a) Jsou dány body A[1;2], B[-2;4] a C[3;-2]. Najdi přímku p, která prochází bodem C a je rovnoběžná s přímkou AB. b) Leží na přímce p bod D[-3;6] ? Nápověda… opět si uvědomte, co platí pro směrové vektory přímek p a AB !

Řešení 6a) Jsou – li dvě přímky rovnoběžné, jejich směrové vektory jsou stejné (nebo násobky) Směrový vektor přímky AB je např. Je to zároveň i směrový vektor rovnoběžné přímky p pro parametrické vyjádření přímky potřebuji nějaký bod a směrový vektor, oboje mám:

Řešení 6b) Určili jsme parametrické vyjádření přímky Nyní ověříme, zda bod D[-3;6] leží na této přímce dosazením souřadnic do parametrického vyjádření přímky: Parametry se nerovnají, bod

Úlohy k samostatnému řešení

1) Určete parametrickou rovnice přímky AB, jestliže A[4; -1], B[-2;0] 1) Určete parametrickou rovnice přímky AB, jestliže A[4; -1], B[-2;0]. 2) Bodem M[3;-5] veďte přímku rovnoběžnou s přímkou Napište parametrické vyjádření této přímky. 3) Napište 5 bodů, které leží na přímce

Řešení úloh: 1) 2) 3)

Citace: Obr. 1 archiv autory Části textu použity z učebnice: HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. PRAHA: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-165-5 Ilustrace www.office.microsoft.com