Charakteristiky variability 14. prosince 2013 VY_42_INOVACE_190226 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Mikulík. Slezské gymnázium, Opava, příspěvková organizace. Vzdělávací materiál byl vytvořen v rámci OP VK 1.5 – EU peníze středním školám.

Charakteristiky variability (proměnlivosti) nám vyjadřují velikost kolísání jednotlivých hodnot kolem střední hodnoty statistického souboru. 2

Rozpětí R - variační rozpětí definujeme jako rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou znaku v souboru:               R = xmax – xmin - je to velice nepřesná charakteristika variability 3

Rozptyl (disperze) sx2 - průměr druhých mocnin odchylek od aritmetického průměru 4

Směrodatná odchylka sx - druhá odmocnina z rozptylu charakterizuje variabilitu znaku ve stejných jednotkách měření, v jakých jsou udány hodnoty znaku 5

Variační koeficient je definován jako podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru. Udává se v procentech. má smysl jen pro nezáporné hodnoty znaku x slouží k srovnání variability dvou a více statistických souborů, které mají výrazně odlišnou polohu znaku nebo jsou vyjádřeny v různých měrových jednotkách (při statistické kontrole kvality laboratorních testů - může charakterizovat přesnost měření ) 6

Mezikvartilová odchylka pokud jsme místo aritmetického průměru použili medián vypočítáme ji jako rozdíl mezi horním kvartilem (75% kvantil) a dolním kvartilem (25% kvantil) 7

Příklad 1 Při deseti měření doby reakce jsme naměřili tyto hodnoty (v sekundách): 8,7; 8,8; 9,3; 8,5; 9,0; 8,8; 9,2; 8,9; 9,0; 9,3. Vypočítejte aritmetický průměr a charakteristiky variability. Příklad 2 Při deseti měření doby reakce jsme naměřili tyto hodnoty (v sekundách): 8,7; 8,8; 9,3; 8,5; 9,0; 8,8; 9,2; 8,9; 9,0; 9,3. Vypočítejte aritmetický průměr a charakteristiky variability. 8

Příklad 2 Ve středně velké firmě jsme provedli porovnání roční mzdy. Určete aritmetický průměr, modus, medián, rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient. Roční plat v tisících Kč 580-620 630-670 680-720 730-770 780-820 830-870 880-920 930-970 1 3 10 19 52 25 11 4 802,8 800 4132,16 64,28 8% 9

Příklad 3 Srovnejme produkci ve dvou provozech jedné firmy. Produkce lahví se vykazuje v tisíci kusech a produkce nápojů v hektolitrech. Posuďte, ve kterém provozu byla během sledovaného období 10 dnů výroba rovnoměrnější. Nejdříve vypočteme variační koeficient pro produkci firmy A: Průměr x = 2, 3, směrodatná odchylka sx = 1 a tudíž variační koeficient vX = sX/ x = 0, 4. Analogicky vypočteme variační koeficient pro firmu B: Průměr y = 6, směrodatná odchylka sy = 1, 55 a tudíž variační koeficient vy = sy / y = 0, 25. Tedy rovnoměrnější je v dané dekádě výroba ve firmě B. Den 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 celkem Výroba lahví 23 Výroba nápojů 60

Citace CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-365-3. POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 626 s. ISBN 80-719-6166-3. 11