Permutace 1. září 2013 VY_42_INOVACE_190203 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Mikulík. Slezské gymnázium, Opava, příspěvková organizace. Vzdělávací materiál byl vytvořen v rámci OP VK 1.5 – EU peníze středním školám.

Permutace z n prvků je každá n- členná variace z těchto prvků. Permutace z n prvků je každá uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou. Permutace z n prvků je každá n- členná variace z těchto prvků. 2

Příklad všech permutací ze tří prvků a,b,c: (a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (b,c,a) (c,a,b) (c,b,a) 3

Příklad všech permutací ze čtyř prvků a,b,c,d: (a,b,d,c) (a,c,b,d) (a,c,d,b) (a,d,b,c) (a,d,c,b) (b,a,c,d) (b,a,d,c) (b,c,a,d) (b,c,d,a) (b,d,a,c) (b,d,c,a) (c,a,b,d) (c,a,d,b) (c,b,a,d) (c,b,d,a) (c,d,a,b) (c,d,b,a) (d,a,b,c) (d,a,c,b) (d,b,a,c) (d,b,c,a) (d,c,a,b) (d,c,b,a) 4

Jak určíme počet všech permutací z n prvků? 5

všech možných pořadí jejich zkoušení Příklad 1 V pondělí dopoledne maturuje tato čtveřice studentů: Adam, Pavel, Tomáš a Vojta. Určete počet: všech možných pořadí jejich zkoušení všech pořadí, v nichž Adam maturuje před Tomášem všech pořadí, v nichž Pavel maturuje bezprostředně po Vojtovi. 6

Vytváříme permutaci ze čtyř prvků: P(4) = 24 Při sestavování pořadí mohou nastat pouze tyto dvě situace: buď bude maturovat Adam před Tomášem, nebo naopak (Adam až po Tomášovi). Počet všech možných pořadí, kdy Adam maturuje před Tomášem je: Pavel s Vojtou vytvoří v rámci čtveřice miniskupinu a pak nevytváříme čtveřice ale pouze trojice. P(3) = 6 7

Příklad 2 Urči počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 2, 3. Kolik z těchto čísel je dělitelných šesti menších 2013? 8

Vytváříme uspořádané čtveřice ze čtyř prvků, přičemž nesmí žádná z nich začínat nulou. Počet všech permutací z daných čtyř číslic je P(4) = 24. Počet všech permutací, které mají na prvním místě nulu je P(3) = 6. Hledaný počet všech pěticiferných čísel je 24 – 6 = 18. 0123 0132 0213 0231 0312 0321 1023 1032 1203 1230 1302 1320 2013 2031 2103 2130 2301 2310 3012 3021 3102 3120 3201 3210 9

Protože každé z uvedených čtyřciferných čísel je dělitelné třemi (ciferný součet je dělitelný třemi), jsou šesti dělitelná ta čísla, která končí nulou nebo dvojkou. Počet těchto čísel s dvojkou na konci je P(3) – P(2) = 6 – 2 = 4, jejich počet s nulou na konci je P(3) = 6. Hledaný počet daných čísel je 10. 1032 1230 1302 1320 2130 2310 3012 3102 3120 3210 10

Z uvažovaných čtyřciferných čísel jsou menší než 2013 pouze ta, která začínají jedničkou. Tomu odpovídají permutace ze tří prvků (0, 2, 3): P(3) = 6 1023 1032 1203 1230 1302 1320 11

Příklad 3 Posádku dračí lodě tvoří 20 závodníků, jeden kormidelník a jeden bubeník. Určete, kolika způsoby se může 22členná posádka posadit do lodi? Kolik je možností, jestliže Pavel má být kormidelníkem a tři kamarádi chtějí sedět a pádlovat za sebou? [P(22); P(3)*P(19] http://en.wikipedia.org/wiki/Multidimensional_Poverty_Index 12

Citace CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-365-3. http://en.wikipedia.org/wiki/Multidimensional_Poverty_Index 13