POZNÁMKY ve formátu PDF TROJÚHELNÍKY (vlastnosti) Mgr. Martina Fainová POZNÁMKY ve formátu PDF TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Trojúhelník = průnik polorovin ABC, BCA, CAB; přičemž body A, B, C neleží v jedné přímce  je jednoznačně určen 3 body, které neleží v jedné přímce C ´  značení: ABC A, B, C  vrcholy   a b AB, AC, BC  strany  , ,   vnitřní úhly    ´  vnější úhel  A c B

Vlastnosti trojúhelníku 1) Součet velikostí vnitřních úhlů v  je 180. Důkaz:  C    souhlasné, střídavé, vrcholové úhly   +  +  = 180   A B 2) V  leží proti větší straně větší vnitřní úhel, proti většímu vnitřnímu úhlu leží větší strana.

Vlastnosti trojúhelníku větší než strana třetí. 3) Součet každých dvou stran  je - trojúhelníková nerovnost a + b > c c  b < a |b  c| < a a + c > b b  c < a b + c > a |b  c| < a < b + c Důsledek: Úsečky a, b, c jsou stranami   |b  c| < a < b + c.

Vlastnosti trojúhelníku 4) Vnější úhel u jednoho vrcholu je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech. B A C    ´ Důkaz: např. ´ =  +  ABC:  +  +  = 180 vedlejší úhly , ´:  + ´ = 180 ´ =  +  Obdobně: ´ =  + ; ´ =  + 

Cvičení: Příklad 1: V trojúhelníku jsou dány dva úhly o velikostech 7233´ a 8649´. Určete velikost zbývajících vnitřních a vnějších úhlů , jsou-li dané úhly a) oba vnitřní b) první vnitřní a druhý vnější Příklad 2: Určete vnitřní úhly v trojúhelníku, platí-li pro ně vztahy:  = 2,  = 3 Příklad 3: Osy vnějších úhlů pravoúhlého ABC ( u C) při vrcholech A, B se protínají v bodě S. Určete velikost konvexního úhlu ASB. ● Příklad 4: V  ABC je a = 35 cm, b = 18 cm. Určete podmínky pro třetí stranu .

Střední příčka  = úsečka spojující středy dvou stran  Platí: každá střední příčka je || se stranou , jejíž střed nespojuje délka střední příčky je rovna polovině délky protější strany C A1B1 || AB A1C1 || AC B1C1 || BC |A1B1| = |AB| |A1C1| = |AC| |B1C1| = |BC| A1 B1 A C1 B

Výška  = úsečka, jejíž krajními body jsou vrchol a pata kolmice z tohoto vrcholu na protější stranu Platí: výška je nejkratší vzdálenost vrcholu a protější strany výšky se protínají v jediném bodě - ortocentrum C A0 O ● B0 ● vb vc va ● A C0 B

Těžnice  ? velikosti úseček = úsečka spojující vrchol a střed protější strany Platí: všechny těžnice se protínají v jediném bodě - těžiště těžiště rozděluje těžnici v poměru 2:1 ? velikosti úseček C |AT| = ⅔ta |BT| = ⅔tb |CT| = ⅔tc tc A1 B1 T tb ta C1 A B

Příklad: Vypočítejte strany pravoúhlého  ABC, jsou-li dány těžnice ta = 12 cm, tb = 15 cm. Řešení: B A C A1 tb ta ● B1

Kružnice trojúhelníku vepsaná = kružnice dotýkající se všech stran  střed kružnice = průsečík os vnitřních úhlů  poloměr kružnice = vzdálenost středu od lib. strany  označujeme  C Poznámka: Střed kružnice vepsané je vždy vnitřním bodem .  ● Sv A B

Kružnice trojúhelníku opsaná = kružnice procházející všemi vrcholy  střed kružnice = průsečík os stran  poloměr kružnice = vzdálenost středu od lib. vrcholu  označujeme r B A C B1 A1 C1 C Poznámka: Je-li  ostroúhlý, je střed kružnice opsané jeho vnitřním bodem. ● So ● r ● A B

Cvičení: Příklad 1: V rovnostranném  o straně délky a vypočítejte výšku, poloměr kružnice opsané a vepsané. Příklad 2: V ABC sestrojte střední příčky. Měřením si ověřte jejich vlastnosti. Příklad 3: Kružnice je rozdělena na 2 oblouky tak, že obvod. úhel většího oblouku je roven střed. úhlu menšího oblouku. Určete velikost obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům. Příklad 4: Vypočtěte velikost vnitřních úhlů v , který dostanete spojením čísel 1, 5, 8 na ciferníku hodin