Harmonická analýza Součet periodických funkcí s periodami T, T/2, T/3,... je periodická funkce s periodu T má periodu T perioda základní frekvence vyšší harmonické frekvence Platí i naopak?

Harmonická analýza „Každá“ periodická funkce s periodou může být rozložena do řady (Fourierova řada)

Příklad:

Harmonická analýza „Každá“ periodická funkce s periodou může být rozložena do řady (Fourierova řada) Jiné vyjádření

- nejprve si všimneme vztahů pro koeficienty rozkladu Důkaz: - nejprve si všimneme vztahů pro koeficienty rozkladu n - celé číslo (orámované vztahy za chvíli využijeme)

Důkaz: - pak zkontrolujeme, zda obě vyjádření funkce f jsou ekvivalentní

Důkaz: - a nakonec dokážeme tvrzení tím, že odvodíme vztah pro koeficienty ? vynásobíme a integrujeme přes libovolný interval délky T m - celé číslo

Příklad:

Časová (prostorová) závislost čas (poloha) Znázornění ve frekvenční oblasti amplituda frekvence (prostorová frekvence) 1 3 5 7

Co když f není periodická? libovolná spojitá proměnná (označení)

Fourierova transformace (inverzní Fourierova transformace, FT-1) (Fourierova transformace, FT) určuje (spojité) frekvenční spektrum pro (aperiodickou) funkci se nazývá Fourierův obraz funkce

Příklad: obdélníkový pulz Časová (prostorová) oblast Frekvenční oblast

Příklad: gaussovský pulz Časová (prostorová) oblast Frekvenční oblast

Příklad frekvence rotoru = 32 Hz (maximum v nule není vykresleno)

Spektrum: flétna a hoboj astro.pas.rochester.edu/~aquillen/phy103/ Příklad Spektrum: flétna a hoboj astro.pas.rochester.edu/~aquillen/phy103/

Lineární systémy vstup, signál, ... výstup, odezva, ... Systém je lineární pokud splňuje princip superpozice, tj. pokud je odezva na součet dvou libovolných signálů rovna součtu jejich jednotlivých odezev. Často lze vztah mezi vstupem a výstupem popsat rovnicí: vstup, signál, ... lineární operátor výstup, odezva, ...

Příklad: nucený harmonický oscilátor jako lineární systém vstup, signál, ... výstup, odezva, ... Lineární systém Systém je lineární pokud splňuje princip superpozice, tj. pokud je odezva na součet dvou libovolných signálů rovna součtu jejich jednotlivých odezev. síla je libovolná kmitající nosník F(t)/m výchylka Pozn.: dříve jsme psali

Co už víme (o nucených kmitech)? vstup, signál, ... výstup, odezva, ... Lineární systém Odezva lineárního systému na harmonickou funkci je (v ustáleném stavu) opět harmonická funkce. kmitající nosník odezvová funkce Příklad: odezvová funkce pro nucený harmonický oscilátor

Jak najít odezvu na libovolný signál? vstup, signál, ... výstup, odezva, ... Lineární systém ? Rozložíme vstup do jednotlivých harmonických složek síla je libovolná a pak použijeme princip superpozice: odezva na součet harmonických signálů je rovna součtu odezev těchto signálů.

Jak najít odezvu na libovolný signál? časová oblast: frekvenční oblast: FT vstup: krát FT-1 výstup: