Sluneční soustava  Slunce  Planety a jejich měsíce  Trpasličí planety  Planetky (asteroidy)  Komety  Meteoroidy, meziplanetární prach  Transneptunická tělesa  Oortovo mračno

Pohyby ve sluneční soustavě Keplerovy zákony (1609) Newtonův gravitační zákon (1687) Elementy dráhy planety Další pojmy a charakteristiky dráhy, aspekty Titiova-Bodeova řada Rezonance Určování vzdáleností ve sluneční soustavě Určování hmotnosti těles sluneční soustavy

Keplerovy zákony Na základě pozorování Tychona Brahe odvodil Johannes Kepler (1571 – 1630) tři zákony pohybu planet první dva publikoval v roce 1609 v díle Astronomia nova třetí zákon publikoval v roce 1619 v díle Harmonices mundi

První Keplerův zákon Planety obíhají okolo Slunce po eliptických drahách jen málo odlišných od kružnic (s malou výstedností), v jejichž jednom společném ohnisku se nachází Slunce Elipsa je křivka (kuželosečka), definovaná jako množina bodů, jejichž součet vzdáleností od dvou pevných bodů (ohnisek) je konstantní a je roven dvojnásobku velké poloosy. Charakteristiky elipsy: a – velká poloosa b – malá poloosa ε – excentricita (délková výstřednost)

Elipsa – numerická excentricita (výstřednost dráhy)

Dráha planety = elipsa perihel (přísluní, planeta nejblíže ke Slunci): q = a(1− e) afel (odsluní, planeta nejdále od Slunce): Q = a(1+e) rovnice elipsy v polárních souřadnicích –r je vzdálenost planety od Slunce (průvodič planety) –v je úhel mezi planetou, Sluncem a periheliem (pravá anomálie)

Dráha tělesa v gravitačním poli obecně = kuželosečka dráha planety je obecně kuželosečka – parametr dráhy kuželosečky p kružnice: e = 0, p = a elipsa: 0 < e < 1, p = a(1−e 2 ) parabola: e = 1, p = q hyperbola: e > 1, p = a(e 2 −1)

Druhý Keplerův zákon Plochy opsané průvodičem planety (tj. spojnicí Slunce – planeta) za stejnou dobu jsou stejné Jinak řečeno totéž: plošná rychlost planety je konstantní Důsledek: Důsledek: planeta se pohybuje v přísluní rychleji než v odsluní

Třetí Keplerův zákon Druhé mocniny oběžných dob planet P jsou ve stejném poměru jako třetí mocniny velkých poloos a Neboli: Pokud je velká poloosa v AU a perioda v rocích, pak

Newtonovy pohybové zákony Newton je formuloval r ve svých Principiích. Tyto zákony jsou důležité i v nebeské mechanice: 1.Těleso zůstává v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře, pokud na ně nepůsobí vnější síla. (Zavádíme inerciální systém, ve kterém platí Newtonovy zákony) 2.Časová změna hybnosti p je rovna síle, která na těleso působí:F = dp / dt = d(mv) / dt = ma 3.Zákon akce a reakce: v uzavřeném systému těles proti každé působící síle (akci) působí síla stejně veliká a opačně orientovaná (reakce)

Newtonův gravitační zákon též zákon všeobecné přitažlivosti formuloval jej Isaac Newton r v díle Principia Dvě tělesa o hmotnostech m 1 a m 2 se přitahují silou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r síla je centrální pohyb je rovinný

Gravitační konstanta Cavendishův experiment – torzní váhy (1798): vzájemné působení olověných koulí G = 6, −11 N.m 2.kg −2 Pokud určíme gravitační zrychlení na povrchu Země (g = 9,81 m.s −2), můžeme určit hmotnost Země

Důsledky Newtonova gravitačního zákona plynou z něj první dva Keplerovy zákony (pohyb po elipse, zákon ploch), a to přesně v Keplerově znění Třetí Keplerův zákon vyplývá z Newtonova gravitačního z. v přesnějším tvaru: kde M S je hmotnost Slunce a m 1 a m 2 jsou hmotnosti dvou planet, které okolo Slunce obíhají. (hmotnost planet je zanedbatelná vzhledem ke Slunci, proto byl Keplerův vztah pro 3. KZ poměrně přesný – nepřesnosti jsou menší než 0,1 %)

Elementy dráhy planety Jsou to parametry dráhy tělesa sluneční soustavy, které umožňují dráhu jednoznačně popsat v prostoru: 1.velká poloosa a 2.excentricita (výstřednost) e 3.sklon dráhy I 4.argument šířky perihelu ω 5.délka vzestupného uzlu Ω 6.průchod perihelem T

Elementy dráhy planety

Některé pojmy Ekliptika je rovina dráhy Země okolo Slunce Uzel je bod dráhy tělesa, ve kterém protíná ekliptiku Vzestupný (výstupný) uzel je uzel, ve kterém prochází těleso „nad“ ekliptiku (na severní stranu) Sestupný uzel je uzel, ve kterém prochází těleso „pod“ ekliptiku (na jižní stranu) Uzlová přímka je spojnice obou uzlů Přímka apsid je spojnice perihelu a afelu Jarní bod je průsečík ekliptiky a rovníku, ve kterém se nachází Slunce o jarní rovnodennosti (tj. Slunce okolo 21. března vystupuje nad rovník) Retrográdní pohyb – ze severního pólu ekliptiky (či jiné roviny) se takový pohyb jeví jako pohyb ve směru hodinových ručiček. Opačný pohyb (ve kterém se pohybuje většina těles sluneční soustavy, včetně Země) se nazývá přímý.

Elementy dráhy planety – tvar dráhy 1.Velká poloosa dráhy a charakterizuje velikost eliptické dráhu, je to střední vzdálenost planety od Slunce, měří se v AU 2.Excentricita e, přesněji numerická excentricita, nabývá pro elipsu hodnoty od 0 do 1, udává tvar eliptické dráhy. Je to poměr lineární excentricity (vzdálenosti ohniska od středu elipsy) k velké poloose elipsy

Elementy dráhy planety – poloha v prostoru 3.sklon dráhy I je úhel, který svírá rovina dráhy tělesa s rovinou ekliptiky, nabývá hodnot od 0º do 180 º. Pokud je I > 90º, je pohyb tělesa zpětný (retrográdní) 4.Délka vzestupného uzlu Ω se měří od směru k jarnímu bodu k výstupnému uzlu na uzlové přímce, nabývá hodnot od 0º do 360 º

Elementy dráhy planety – orientace dráhy a poloha ve dráze 5.argument šířky perihelu ω je úhel, který svírá uzlová přímka a přímka apsid (měří se od vzestupného uzlu k perihelu), nabývá hodnot od 0º do 360 º 6.okamžik průchodu perihelem T se udává v časových jednotkách (rok, měsíc, den a zlomek dne, nebo juliánské datum). Polohu tělesa ve dráze v čase t pak určíme řešením tzv. Keplerovy rovnice

Další charakteristiky dráhy Oběžná doba P (siderická oběžná doba, doba oběhu, perioda): čas, za který průvodič planety opíše 360º. Můžeme určit z velké poloosy a pomocí 3. Keplerova zákona. Jednotkou jsou většinou roky nebo dny. Střední denní pohyb n: jednotkou jsou stupně za den, je definován vztahem:

Pravá anomálie v úhel mezi průvodičem a přímkou apsid.

Excentrická anomálie E Myšlená kružnice o poloměru a se středem shodným jako je střed elipsy (bod O) Kolmice spuštěná na přímku apsid z bodu B, ve kterém se nachází planeta, protíná kružnici v bodě B‘ Excentrická anomálie je úhel ΠOB‚ mezi přímkou apsid a spojnicí OB. Platí vztahy:

Střední anomálie M Myšlený bod B", který se pohybuje rovnoměrně po kružnici tak, že v perihelu je ve stejném okamžiku jako planeta a má stejnou oběžnou dobu P. Střední anomálie M je úhel mezi přímkou apsid a spojnicí OB", dá se snadno spočítat jakou součin středního denního pohybu n a počtu dní (t−T) uplynulých od průchodu perihelem:

Keplerova rovnice Vztah mezi střední a excentrickou anomálií

Keplerova rovnice Vztah mezi střední a excentrickou anomálií Keplerova rovnice nemá analytické řešení, řeší se pomocí metody postupných aproximací:

Rozdělení planet Podle fyzikálních vlastností: –Planety zemského typu: Merkur, Venuše, Země, Mars –Velké planety: Jupiter, Saturn, Uran, Neptun Podle dráhy: –vnitřní planety: Merkur, Venuše –vnější planety: Mars, Jupiter, Saturn,...

Aspekty Význačné polohy planety vzhledem k Zemi a Slunci konjunkce horní dolní opozice elongace východní západní kvadratura

Siderická a synodická oběžná doba Siderická oběžná doba P = vzhledem ke hvězdám Synodická oběžná doba S = doba mezi dvěma následujícími opozicemi (či konjunkcemi) planety – oběh vzhledem k Zemi Označme P 0 = 365,2425 dní siderickou oběžnou dobu Země. Pak pro vnitřní planety platí: Pro vnější planety platí:

Oskulační elementy Všechna tělesa sluneční soustavy se navzájem ovlivňují gravitační silou – obecně řešíme „problém mnoha těles“ Elementy vztahujeme k jistému okamžiku – epoše, ve kterém jsou vyjádřeny tak, jak by se těleso pohybovalo, kdyby najednou ostatní tělesa (kromě Slunce) zmizela (a my řešili pouze problém dvou těles)

Ekvinokcium V důsledku vzájemného ovlivňování všech těles a dalších fyzikálních příčin není jarní bod stále na stejném místě, ale posouvá se Ekvinokcium (standardní epocha) je okamžik, pro který jsou elementy (nebo jiné souřadnice, např. hvězd) udány v katalogu. Dnes se používá ekvinokcium J2000.0, které odpovídá 1. lednu h TT nebo juliánskému datu JD = ,0 TT.

Titiova – Bodeova řada též Bodeova řada, posloupnost čísel, která odpovídá vzdálenostem planet od Slunce: 1.Merkur−∞0,40,387 2.Venuše00,70,723 3.Země11,01,000 4.Mars21,61,524 5.?32, Jupiter45,25,202 7.Saturn510,09,564 8.Uran619,619,15 9.Neptun738,830,02 10.(Pluto)877,239,69

Dráhy malých těles sluneční soustavy na internetu NASA/JPL stránka Near Earth Object Program – orbit diagram: