Sčítáme, odčítáme hodně velká čísla Páťáci a matematika II + 1 000 000 3 000 000 000 + 200 - 60 2 000 000 040 2 001 000 040 2 001 000 240 2 000 594 000 n 2 000 500 000 5 MA 1 TE 2 TI 3 KA 4 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je PaedDr. Marie Janků. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV). Téma Sčítáme, odčítáme hodně velká čísla navazuje na 1. téma kolekce Páťáci a matematika, v němž se žáci seznámili s čísly třídy miliard i většími a na téma X, kolekce Čtvrťáci a matematika, v němž se žáci naučili sčítat a odčítat pamětným i písemným postupem čísla do miliónu. V tomto tématu se obdobným způsobem naučí sčítat a odčítat miliardy. V aplikačních úlohách poznají že je i v běžném životě potřeba ovládat sčítání a odčítání takto velkých čísel. Žáci pracují s pracovními listy, po spuštění prezentace si mohou řešení úloh opravovat samostatně podle tabule. .

876 239 906 154 786 986 564 222 678 754 653 745 284 192 674 589 053 Řada přirozených čísel je nekonečná. To znamená, že ke každému přirozenému číslu je možno přičíst číslo 1. K zapsaným číslům určete čísla o 1 větší. n + 1 n 799 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 154 986 564 678 754 745 284 192 589 053 986 675 964 385 664 389 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 713 786 988 343 675 121 998 675 325 809 876 200 458 900 800 765 986 700 876 239 906 154 786 986 564 222 678 754 653 745 284 192 674 589 054 154 986 564 678 754 745 284 192 589 053 986 675 964 385 664 390 713 786 988 343 675 121 998 675 325 809 876 200 458 900 800 765 986 701 Vyučující probírá uvedené úkoly pouze na tabuli. Při tom podněcuje žáky, aby i sami napsali hodně velké číslo a určovali k němu i číslo o jednu větší. 800 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

1.Sčítání odčítání pamětným postupem (stamilióny) Zapište znázorněné příklady sčítání a odčítání. 600 000 0000 400 000 0000 970 000 0000 30 000 0000 1 000 000 0000 1 000 000 0000 600 000 0000 + 400 000 000 = 400 000 0000 + 600 000 000 = 1 000 000 0000 - 400 000 000 = 1 000 000 0000 - 600 000 000 = 1 000 000 000 600 000 000 400 000 000 970 000 0000 + 30 000 000 = 30 000 000 + 970 000 0000 = 1 000 000 0000 - 30 000 000 = 1 000 000 0000 - 970 000 000 = 1 000 000 000 970 000 000 30 000 000 (1) Na těchto příkladech žáci poznávají, že v určitých případech lze sčítat a odčítat pamětným postupem i hodně velká čísla (2) Vypočítejte 999 999 999 + 1 = 350 000 000 + 110 000 000 = 840 000 000 + 10 000 000 = 1 000 000 0000 + 3 000 = 2. 1 000 000 000 1 000 000 000 - 5 = 999 999 995 460 000 000 1 000 000 500 - 200 = 1 000 000 300 850 000 000 5 000 000 800 - 2 000 000 100 = 3 000 000 700 1 000 003 000 7 000 000 000 - 2 = 6 999 999 998

Vypočítejte a doplňte tabulku. Přičítání 1 až 1 000 000 000 280 960 258 2 157 439 969 509 867 532 9 000 000 100 x +1 x +10 x +100 x +1 000 x x +10 000 x +100 000 x +1 000 000 x +10 000 000 x +100 000 000 x +1 000 000 000 748 415 263 Vypočítejte a doplňte tabulku. 1. 9 000 000 101 9 000 000 110 9 000 000 200 9 000 001 100 9 000 010 100 509 867 533 509 867 542 509 867 632 509 868 532 509 877 532 280 960 259 280 960 268 280 960 358 280 961 258 280 970 258 2 157 439 970 2 157 439 979 2 157 440 069 2 157 440 969 2 157 449 969 748 415 264 748 415 273 748 415 363 748 416 263 748 425 263 9 000 100 100 9 001 000 100 9 010 000 100 9 100 000 100 10 000 000 100 509 967 532 510 867 532 519 867 532 609 867 532 1 509 867 532 281 060 258 281 960 258 290 960 258 380 960 258 1 280 960 258 2 157 539 969 2 158 439 969 2 167 439 969 2 257 439 969 3 157 439 969 748 515 263 749 415 263 758 415 263 848 415 263 1 748 415 263 (3) Na těchto příkladech si žáci upevňují poznatky o řádu číslice.

Vypočítejte a doplňte tabulku. Odčítání 1 až 1 000 000 000 20 196 053 478 3 007 495 281 1 932 687 240 5 000 000 100 x - 1 x - 10 x - 100 x - 1 000 x x - 10 000 x - 100 000 x - 1 000 000 x - 10 000 000 x - 100 000 000 x - 1 000 000 000 1 000 764 000 Vypočítejte a doplňte tabulku. 1. 5 000 000 099 5 000 000 090 5 000 000 000 4 999 999 100 4 999 990 100 1 932 687 239 1 932 687 230 1 932 687 140 1 932 686 240 1 932 677 240 20 196 053 477 20 196 053 468 20 196 053 378 20 196 052 478 20 196 043 478 3 007 495 280 3 007 495 271 3 007 495 181 3 007 494 281 3 007 485 281 1 000 763 999 1 000 763 990 1 000 763 900 1 000 763 000 1 000 754 000 4 999 900 100 4 999 000 100 4 990 000 100 4 900 000 100 4 000 000 100 1 932 587 240 1 931 687 240 1 922 687 240 1 832 687 240 932 687 240 20 195 053 478 20 195 953 478 20 096 053 478 20 186 053 478 19 196 053 478 2 007 495 281 3 007 395 281 3 006 495 281 2 997 495 281 2 907 495 281 1 000 664 000 999 764 000 990 764 000 764 000 90 764 000 (4) Na těchto příkladech si žáci upevňují poznatky o řádu číslice.

Sčítání, odčítání, nejvýše dvě číslice různé od 0 + 1 000 000 3 000 000 000 + 200 - 60 1 000 000 000 + 15 + 3 000 - 500 5 000 000 + 7 000 000 + 8 000 000 + 50 000 000 1. Počítejte a výsledky doplňte do rámečků. + 200 000 - 500 000 200 000 000 - 100 300 000 1 000 000 015 1 000 003 015 1 000 002 515 2 999 999 940 3 000 999 940 3 001 000 140 199 500 000 199 700 000 99 400 000 20 000 000 70 000 000 12 000 000 15 000 000 - 6 000 000 = 60 000 000 - 30 000 000 = 100 000 000 - 20 000 000 = 72 000 200 - 200 = 7 000 000 000 - 4 000 000 000 = 8 000 000 250 - 250 = 2 000 008 000 - 1 000 003 000 = 2. Vypočítejte 28 000 000 + 15 = 52 000 000 + 4 000 000 = 45 000 000 + 45 000 000 = 93 000 000 + 7 000 000 = 5 000 000 000 + 3 000 000 000 = 2 000 000 000 + 35 000 = 1 000 001 000 + 3 000 005 000 = (5) Žáci si uvědomují, že i s některými velkými čísly lze pracovat stejně jako s čísly malými, která sčítají a odčítají pamětným postupem. (6) 56 000 000 9 000 000 90 000 000 30 000 000 100 000 000 80 000 000 28 000 015 72 000 000 8 000 000 000 3 000 000 000 2 000 035 000 8 000 000 000 4 000 006 000 1 000 005 000

Sčítání, odčítání miliard, miliónů 8 000 002 001 + 1 000 200 005 = 200 100 300 + 200 100 300 = 800 000 000 + 500 000 000 = 1 500 000 000 + 1 500 000 000 = 2 400 000 003 + 1 000 000 020 = 5 000 000 008 + 3 000 000 002 = Vypočítejte 1. 3 800 000 000 + 200 000 500 = 7 200 200 200 + 1 200 200 200 = 2 008 000 000 + 3 001 000 000 = 600 000 000 + 400 000 000 = 4 000 000 000 + 600 000 000 = 3 800 000 000 + 200 000 000 = 4 600 000 000 1 000 000 000 4 000 000 000 1 300 000 000 400 200 600 3 000 000 000 5 009 000 000 4 000 000 500 8 400 400 400 3 400 000 023 8 000 000 010 9 000 202 006 800 000 008 - 600 000 004 = 1 600 000 000 - 300 000 000 = 5 000 000 000 - 2 500 000 000 = 7 000 000 800 - 200 = 6 000 000 040 - 4 000 000 020 = 3 000 008 053 - 1 000 003 053 = 2. 5 030 000 000 - 2 030 000 000 = 6 000 000 000 - 400 000 000 = 5 000 000 320 - 5 000 000 000 = 7 976 321 052 - 7 000 000 000 = 9 000 002 000 - 6 000 001 000 = 1 000 000 000 - 200 000 000 = Vypočítejte 320 976 321 052 800 000 000 1 300 000 000 2 500 000 000 200 000 004 (7) Žáci si upevňují poznání že i s některými velkými čísly lze pracovat stejně jako s čísly malými, která sčítají a odčítají pamětným postupem. (8) 3 000 001 000 3 000 000 000 5 600 000 000 7 000 000 600 2 000 000 020 2 000 005 000

Součet, rozdíl/ doplňování číslic 57 + 32 = 57 - 32 = Rozdíl čísel 57 a 32 je o menší než jejich součet. Oč menší je rozdíl čísel 57 a 32 než jejich součet? 1. 89 25 89 - 25 = 64 64 Oč menší je rozdíl čísel 4 800 000 a 2 100 000 než jejich součet? 4 800 000 + 2 100 000 = 4 800 000 - 2 100 000 = Rozdíl čísel 4 800 000 a 2 100 000 je o menší než jejich součet. 6 900 000 6 900 000 - 2 700 000 = 4 200 000 2 700 000 4 200 000 b) co největší.........7_ _ - _ 4 _ = co nejmenší.........7_ _ - _ 4 _ = c) co největší.........2 000 009 0_ _ - _ 000 004 _ _6 = co nejmenší.........2 000 009 0_ _ - _ 000 004 _ _6 = V zápisech čísel doplňte na volná místa čísllice tak, aby rozdíl čísel byl: co nejmenší.........6_ - 3 _ = a) co největší......... 6_ - 3 _ = 2. 9 39 (9) Žáci poznávají na příkladech s menšími čísly postupy řešení úkolů, které budou provádět s čísly velkými. (10) 21 9 1 4 7 659 9 1 2 1 000 005 093 4 004

Rozdíl nejmenšího, největšího n - ciferného trojciferného jednociferného čtyřciferného dvouciferného pěticiferného trojciferného šesticiferného čtyřciferného sedmiciferného pěticiferného osmiciferného šesticiferného devíticiferného sedmiciferného deseticiferného osmiciferného Určete rozdíl dvou čísel: nejmenšího a největšího čtyřciferného jednociferného 100 - 9 = 1 000 - 99 = 10 000 - 999 = 100 000 - 9 999 = 1 000 000 - 99 999 = 10 000 000 - 999 999 = 100 000 000 - 9 999 999 = 1 000 000 000 - 99 999 999 = 91 901 90 001 9 001 900 001 9 000 001 90 000 001 900 000 001 10 000 - 99 = 100 000 - 999 = 1 000 - 9 = 1 000 000 - 9 999 = 10 000 000 - 99 999 = 100 000 000 - 999 999 = 1 000 000 000 -9 999 999 = 9 901 99 001 991 990 001 9 900 001 99 000 001 990 000 001 pěticiferného dvouciferného šesticiferného trojciferného sedmiciferného čtyřciferného osmiciferného pěticiferného devíticiferného šesticiferného deseticiferného sedmiciferného (11) Vyučující nepožaduje na žácích, aby zapsali všechny příklady, ale vede je k tomu aby přišli na to, jak je možno úkol vyřešit bez velkého počítání. (Připisujeme nuly mezi poslední devítku a číslici jedna.)

Určete rozdíl dvou čísel: nejmenšího a největšího pěticiferného jednociferného sedmiciferného trojciferného osmiciferného čtyřciferného devíticiferného pěticiferného šesticiferného dvouciferného deseticiferného šesticiferného šesticiferného jednociferného sedmiciferného dvouciferného osmiciferného trojciferného devíticiferného čtyřciferného deseticiferného pěticiferného sedmiciferného jednociferného osmiciferného dvouciferného devíticiferného trojciferného deseticiferného čtyřciferného 10 000 - 9 = 100 000 - 99 = 1 000 000 - 999 = 10 000 000 - 9 999 = 100 000 000 - 99 999 = 1 000 000 000 - 999 999 = 9 991 99 901 999 001 9 990 001 999 000 001 9 990 000 001 100 000 - 9 = 1 000 000 - 99 = 10 000 000 - 999 = 100 000 000 - 9 999 = 1 000 000 000 - 99 999 = 99 991 999 901 9 999 001 99 990 001 999 900 001 (12) 1 000 000 - 9 = 10 000 000 - 99 = 100 000 000 - 999 = 1 000 000 000 - 9999 = 999 991 9 999 901 99 999 001 999 990 001

Doplňování číslic do příkladů sč. odč. osmiciferného jednociferného deseticiferného trojciferného devíticiferného dvouciferného Určete rozdíl dvou čísel: nejmenšího a největšího 1. devíticiferného jedociferného deseticiferného dvouciferného deseticiferného jednociferného 10 000 000 - 9 = 100 000 000 - 99 = 1 000 000 000 - 999 = 9 999 991 99 999 901 999 999 001 100 000 000 - 9 = 1 000 000 000 - 99 = 99 999 991 999 999 901 1 000 000 000 - 9 = 999 999 991 2. Na volná místa doplňte číslice tak, aby rovnosti byly pravdivé. 1. (12) 2. (13) 20 000 000 + 85_ = 20 000 _ _7 7 5 8 9 000 200 4_4 - 200 3 4_ = _ 000 000 _24 9 6 1 3 000 000 1_1 + _0 = 3 000 000 19 _ 5 4 1 70 000 6_ _ - _0 = 70 000 648 8 7 3 7 000 _34 + 1 000 040 =_ 000 000 5_ _ 7 4 8 5 2 000 _48 - 2 000 09_ = _55 3 2

Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je 2. Rovnice, digram Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je 780 324 80 324 x 2 000 594 000 n 2 000 500 000 80 324 + x = 780 324 780 324 - x = 80 3424 x + 80 324 = 780 324 780 324 - 80 3424 = x n + 2 000 500 000 = 2 000 594 000 2 000 594 000 - n = 2000 500 000 2 000 500 000 + n = 2 000 594 000 n = 2 000 594 000 - 2 000 500 000 x = 780 324 - 80 324 x = 700 000 (14) Žáci si uvědomují, že při řešení rovnic s velkými čísly se postupuje stejně, jako když řešili rovnice s čísly jednocifernými n = 2 000 594 000 - 2 000 500 000 n = 94 000

Zapište a vyřešte rovnice znázorněné úsečkami. Rovnice, úsečky Zapište a vyřešte rovnice znázorněné úsečkami. 1. s 3 000 500 210 1 000 000 200 960 000 809 r 740 000 509 740 000 509 + r = 960 000 809 r + 740 000 509 = 960 000 809 3 000 500 210 + 1 000 000 200 = s 1 000 000 200 + 3 000 500 210 = s 960 000809 - 740 000 509 = r 960 000809 - r = 740 000 509 s - 1 000 000 200 = 3 000 500 210 s - 3 000 500 210 = 1 000 000 200 220 000 300 = r s = 4 000 500 410 Rovnice vyřešte 2. 7 500 002 006 - m = 1 300 002 003 8 000 700 090 - z = 3 000 200 050 v + 2 000 790 000 = 5 000 800 000 4 561 879 230 = 4 561 879 230 + n v = 5 000 800 000 - 2 000 790 000 4 561 879 230 - 4 561 879 230 = n v = 3 000 010 000 (15) Žáci si uvědomují, že při řešení rovnic s velkými čísly se postupuje stejně, jako když řešili rovnice s čísly jednocifernými. (16, 17) 0 = n 7 500 002 006 = 1 300 002 003 + m 8 000 700 090 = 3 000 200 050 + z 7 500 002 006 - 1 300 002 003 = m 8 000 700 090 - 3 000 200 050 = z 6 200 000 003 = m 5 000 500 040 = z

Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je. 5 600 000 000 2 400 000 000 8 000 000 070 Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je. 1. 21 000 000 39 000 000 1 000 060 000 n 21 000 000 + n + 39 000 000 = 1 000 060 000 5 600 000 000 + 2 400 000 000 + r = 8 000 000 070 60 000 000 + n = 1 000 060 000 8 000 000 000 + r = 8 000 000 070 n = 1 000 060 000 - 60 000 000 r = 8 000 000 070 - 8 000 000 000 n = 940 060 000 r = 70 (18) Žáci si uvědomují, že při řešení rovnic s velkými čísly se postupuje stejně, jako když řešili rovnice s čísly jednocifernými. (19) Vyřešte rovnice (150 000 601 - 90 000 100) - s = 21 000 100 2. (78 300 000 - 28 150 000) + v = 71 150 000 60 000 501 - s = 21 000 100 50 150 000 + v = 71 150 000 60 000 501 = 21 000 100 + s v = 71 150 000 - 50 150 000 60 000 501 - 21 000 100 = s v = 21 000 000 39 000 401 = s

jižní 6 900 000 Kč severní 1 200 000 Kč západní 334 000 000 Kč celem x Apl. Úloha V okolí města byla dokončena výstavba silnic, která stála na jižní straně 6 900 000 Kč, na severní 1 200 000 Kč a na západní straně 334 000 000 Kč. Kolik stála výstvba silnic celkem? jižní severní západní celem Výstavba silnic v okolí měta stála celkem 6 900 000 Kč 1 200 000 Kč 334 000 000 Kč x 1 200 000 334 000 000 6 900 000 x (20) Žáci si uvědomují, že v běžné praxi je potřeba zvládnout počítání s velkými čísly x = 334 000 000 + 1 200 000 + 6 900 000 6 900 000 1 200 000 334 000 000 x = 342 100 000 342 100 000 342 100 000 Kč.

Na opravu silnic v České republice bylo v jednom roce věnováno Apl. úloha Na opravu silnic v České republice bylo v jednom roce věnováno 10 200 000 000 Kč, což je o 4 400 000 000 Kč více než v předcházejícím roce. Kolik stála oprava silnic v předcházejícím roce? V předcházejícím roce stála oprava silnic tento rok tento rok více o minulý rok 10 200 000 000 Kč 4 400 000 000 Kč x x 10 200 000 000 4 400 000 000 (21) Žáci si uvědomují, že v běžné praxi je potřeba zvládnout počítání s velkými čísly. Celkem má letos do oprav silnic směřovat zhruba 10,2 miliardy korun, což je ve srovnání s loňským rokem výrazně více. Nárůst o zhruba 4,4 miliardy korun je způsobený penězi, které ministerstvo slíbilo převést na jednotlivé kraje, aby mohly opravit komunikace druhých a třetích tříd. Částka na opravy silnic prvních tříd, dálnic a rychlostních silnic je zhruba totožná s loňskem. x + 4 400 000 000 = 10 200 000 000 x = 10 200 000 000 - 4 400 000 000 x = 5 800 000 000 5 800 000 000 Kč.

Závorky se psát nemusí. Sčítance je možno libovolně zaměňovat. Význam závorek ? (10 - 6) - 3 = 10 - (6 - 3) = 740 - (25 - 10) = (740 - 25) - 10 = 3. (10 + 6) - 3 = 10 + (6 - 3) = 740 + (25 - 10) = (740 + 25) - 10 = 4. 10 + (6 + 3) = (10 + 6) + 3 = (740 + 25) + 10 = 740 + (25 + 10) = 1. Vypočítejte a přemýšlejte o tom, kdy je nutné závorky psát a kdy je to zbytečné. (10 - 6) + 3 = 2. 10 - (6 + 3) = 740 - (25 + 10) = (740 - 25) + 10 = 16 + 3 = 19 765 + 10 = 775 10 + 9 = 19 740 + 35 = 775 Závorky se psát nemusí. Sčítance je možno libovolně zaměňovat. 4 + 3 = 7 715 + 10 = 725 1 10 - 9 = 740 - 35 = 705 Závorky se psát musí. Jestliže jedno číslo odečteme a druhé přičteme je výsledek jiný, než když odečteme součet. 4 - 3 = 1 715 - 10 = 705 740 - 15 = 10 - 3 = 7 725 Závorky se psát musí. Jestliže odečteme nejdříve číslo a pak druhé je výsledek jiný, než když odečteme rozdíl dvou čísel. (22.) 16 - 3 = 13 765 - 10 = 755 10 + 3 = 13 740 + 15 = 755 Výsledek se sice nezmění, jestliže jedno číslo přičteme a druhé odečteme nebo jestliže přičteme rozdíl dvou čísel, ale závorky je vhodné zapsat.

Rovnice, závorky Vyřešte rovnice 58 000 000 - (28 000 000 + n) = 0 95 000 000 - (28 000 000 - r) = 75 000 000 58 000 000 - 0 = 28 000 000 + n 58 000 000 = 28 000 000 + n 58 000 000 - 28 000 000 = n 30 000 000 = n 58 000 000 - (28 000 000 + 30 000 000) = 0 58 000 000 - 58 000 000 = 0 K: 0 = 0 95 000 000 = 75 000 000 + (28 000 000 - r) 95 000 000 - 75 000 000 = 28 000 000 - r (23) 20 000 000 = 28 000 000 - r r = 28 000 000 - 20 000 000 r = 8 000 000 95 000 000 - (28 000 000 - 8 000 000) = 75 000 000 K: 95 000 000 - 20 000 000 = 75 000 000 75 000 000 = 75 000 000

Číslo 26 000 350 je o menší než číslo 260 000 350. O n větší, menší O kolik je číslo 26 000 350 menší než číslo 260 000 350? 2. Štěpán si myslí číslo 1. Myslím si číslo , které je o 200 menší než největší šesticiferné číslo. n 999 999 n 200 - 200 + 200 n 999 999 n = 999 999 - 200 999 799 n = 999 799. + r - r 260 000 350 26 000 350 26 000 350 260 000 350 r 1.(24) 2. (25) 26 000 350 + r = 260 000 350 26 000 350 + r = 260 000 350 r = 260 000 350 - 26 000 350 r = 234 000 000 Číslo 26 000 350 je o menší než číslo 260 000 350. 234 000 000

Vypočtěte číslo, které je o 5 000 000 větší než rozdíl čísel O několik větší Vypočtěte číslo, které je o 5 000 000 větší než rozdíl čísel 200 000 800 a 100 000 400. 1. Vypočtěte číslo, které je o 60 000 000 menší než největší deseticiferné číslo. Kontrola: 2. r - 5 000 000 = 200 000 800 - 100 000 400 r - 5 000 000 = 100 000 400 r = 100 000 400 + 5 000 000 r = 105 000 400 105 000 400 - 5 000 000 = 200 000 800 - 1 000 000 400 100 000 400 = 100 000 400 Kontrola: (26) 2. (27) v + 60 000 000 = 9 999 999 999 v = 9 999 999 999 - 60 000 000 v = 9 939 999 999 9 939 999 999 + 60 000 000 = 9 999 999 999 9 999 999 999 = 9 999 999 999

Rovnice o dvou neznámých 5 n 1 r s 1 200 050 5 200 280 Zapište rovnice znázorněné diagramy a vyřešte je. m = 1 + n m + n = 5 r = 1 200 050 + s r + s = 5 200 280 1 + n + n = 5 1 200 050 + s + s = 5 200 280 1 + 2n = 5 1 200 050 +2 s = 5 200 280 m = 1 + 2 2n = 5 - 1 2s = 5 200 280 - 1 200 050 m = 3 2n = 4 2s = 4 000 230 (28) Žáci sestavují soustavy dvou rovnic podle daných diagramů obdobně jako sestavovali podle diagramů jednouché rovnice. Vhodně volenými otázkami vyučující vede žáky k tomu, aby přišly na to, jak budou postupovat při řešení. (V dosazovací metodě vyjádříme jednu z neznámých v jedné rovnici a tento výsledek poté vložíme do druhé rovnice.) n = 4 : 2 r = 1 200 050 + 2 000 115 s = 4 000 230 : 2 n = 2 r = 3 200 165 s = 2 000 115 3 + 2 = 5 Kontrola: 3 200 165 + 2 000 +115 = 5 200 280

Rovnice o dvou neznámých Dvojici rovnic znázorněte a vyřešte. x = 1 000 000 + y x + y = 5 000 000 x y 1 000 000 5 000 000 1 000 000 + y + y = 5 000 000 1 000 000 + 2 y = 5 000 000 2 y = 5 000 000 - 1 000 000 2 y = 4 000 000 (29) x = 1 000 000 + 2 000 000 y = 4 000 000 : 2 x = 3 000 000 y = 2 000 000 Kontrola: 3 000 000 + 2 000 000 = 5 000 000 3 000 000 = 1 000 000 + 2 000 000

Rovnice o dvou neznámých 10 1 200 000 x y Zapište rovnice znázorněné diagramy a vyřešte je. v = 0 + z v + z = 10 x = y + 0 x + y = 1 200 000 v + v = 10 v = z x + x = 1 200 000 x = y 2 v = 10 2 x = 1 200 000 v = 10 : 2 x = 1 200 000 : 2 z = 5 (30) v = 5 y = 600 000 x = 600 000 5 - 5 = 0 0 = 0 5 + 5 = 10 10 = 10 600 000 + 600 000 = 12 000 000 600 000 - 600 000 = 0

Bartůňkovi kupují dva byty. Pro babičku byt 1 + 1 a pro sebe 3 +1. Apl. úloha Bartůňkovi kupují dva byty. Pro babičku byt 1 + 1 a pro sebe 3 +1. Za oba byty zaplatí 4 800 000 Kč. Třípokojový byt je o 2 400 000 Kč dražší než jednopokojový. Kolik stojí každý z bytů? třípokojový jednopokojový oba byty Třípokojový byt stojí Kč a jednopokojový Kč. y 2 400 000 4 800 000 x y x y 4 800 000 o 2 400 000 více x = 2 400 000 + y x + y = 4 800 000 2 400 000 + y + y = 4 800 000 2 400 000 + 2 y = 4 800 000 x = 2 400 000 + 1 200 000 2 y = 4 800 000 - 2 400 000 (31) Žáci poznávají, že je i v běžném životě potřeba umět sčítat a odčítat velká čísla. x = 3 600 000 2 y = 2 400 000 y = 2 400 000 : 2 y = 1 200 000 3 600 000 1 200 000

Když číslo, které si myslím sečteme s číslem, Myslím si číslo Věra Radek Myslím si číslo. Když k němu přičtu 3 000 a odečtu 600, dostanu číslo, které je o 2 400 větší než číslo 6 000 000. Když číslo, které si myslím sečteme s číslem, které si myslíš ty, bude součet 10 000 000. r + 3 000 - 600 = 6 000 000 + 2 400 v + r = 10 000 000 (32) Vyučující podněcuje žáky, aby se pokusili sami sestavit obdobnou úlohu. r + 3 000 - 600 = 6 002 400 v + 6 000 000 = 10 000 000 r + 2 400 = 6 002 400 v = 10 000 000 - 6 000 000 r = 6 002 400 - 2 400 v = 4 000 000 r = 6 000 000 Radek si myslí číslo 6 000 000. Věra si myslí číslo 4 000 000.

Součet více čísel, jak se změní Vyřešte Součet pěti čísel, z nichž jedno je 76, je 92. Číslo 76 změníme na 29. Jak se změní součet? Součet se změní na číslo a + b + 76 + d + e = 92 76 - 29 = 47 a + b + 29 + d + e = x 92 - 47 = 45 92 45. Součet pěti čísel, z nichž jedno je 100 009 876, je 200 012 345. Číslo 100 009 876 změníme na 100 006 789. Jak se změní součet? Součet 200 012 345 se změní na číslo a + b + 100 009 876 + d + e = 200 012 345 100 009 876 - 100 006 789 = 3 087 (33) Uvedená úloha je velmi náročná a je obdobná jako úlohy, které se vyskytují v různých matematických soutěžích a IQ testech. a + b +100 006 789 + d + e = x 200 012 345 - 3 087 =200 009 258 200 009258.

3.Písemný postup, odhad výsledku Zaokrouhlete na miliardy, odhadněte výsledek a pak vypočítejete 52 147 543 291 49 623 786 648 45 918 609 342 32 786 341 576 704 509 682 173 - 402 639 179 128 639 509 218 473 - 31 864 957 205 46 000 000 000 + 33 000 000 000 = 79 000 000 000 78 704 950 918 52 000 000 000 + 50 000 000 000 = 102 000 000 000 101 771 329 939 705 000 000 000 - 403 000 000 000 = 302 000 000 000 (34) Žáci poznávají, že se i hodně velká čísla jednoduše sčítají a odčítají písemnými postupy. 301 870 503 045 640 000 000 000 - 32 000 000 000 = 608 000 000 000 607 644 261 268

Na volná místa doplňte čísla tak, aby výpočty byly správné. Psemný postup 1. Vypočítejte 39 295 741 606 63 415 607 891 450 982 716 459 - 363 198 367 854 12 654 321 876 - 8 723 965 049 8 723 965 049 4 7_ _ 09_ 705 3 _67 3_7 6_5 _ 699 _84 _3_ 2 051 _8_ _06 _ _94 2_3 7_5 11 4_ _ 252 11_ 6 _57 9_1 73_ _ 9_1 46_ 4_2 9 81_ _11 _70 1 8 7 4 1 6 2 5 8 8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9 9 6 3 4 6 2 5 2 3 102 711 349 497 87 784 348 605 21 378 286 925 3 930 356 827 2. Na volná místa doplňte čísla tak, aby výpočty byly správné. 3 2 6 8 6 9 1 4 9 6 8 9 4 8 3 1 9 8 2 9 6 4 3 2 8 9 8 9 2 5 3 9 8 4 3 7 51_ 03_ _05 - _ 8_6 9_6 1_9 4 _41 _88 51_ 9 _82 4_5 31_ - _ 8_1 98_ 8_8 2 76_ _77 _19 7 1_9 _46 1_3 - 2 _8_ 9_8 _67 _ 701 61_ 05_ 1 _06 _35 _54 - 92_ 8_1 07_ 8_8 07_ 3_5 8 7 6 (35) (36) 4 6 8 7 2 5 4 7 6 7 9 4 4 7 8 5 8 2 6 2 8 7 6 4 9 7 9 4 2 6 4

Více sčítanců 1. Vypočítejte 3 257 416 894 + 1 679 234 111 + 4 160 719 333 = (9 257 416 894 - 1 679 234 111) - 4 160 719 333 = 2 986 654 879 + 3 659 124 654 + 8 375 567 876 = (15 785 495 350 - 7 765 126 086) - 3 678 987 769 = 9 097 270 338 3 417 463 450 3 257 416 894 1 679 234 111 4 160 619 333 9 257 416 894 - 1 679 234 111 7 578 182 783 - 4 160 719 333 7 578 182 783 3 417 463 450 9 097 270 338 15 021 347 409 (37) Na uvedených příkladech si žáci uvědomují, že při sčítání a odčítání hodně velkých čísel je potřeba umět přepsat pamětný postup na písemný. 4 341 381 495 8 020 369 264 -3 678 987 769 2 986 654 879 3 659 124 654 8 375 567 876 15 785 495 350 - 7 765 126 086 8 020 369 264 4 341 381 495 15 021 347 409

Pevnina na Zemi tvořená světadíly má rozlohu Jakou rozlohu má na Zemi pevnina tvořená světadíly? Antarktida Afrika Australie Evropa Asie Jižní Amerika Severní Evropa 10 382 000 km Asie 44 410 000 km Afrika 30 329 000 km Amerika 42 205 000 km Australie 8 910 000 km Antarktida 12 272 800 km pevnina x km 2 2 2 2 2 2 2 10 382 000 44 410 000 30 329 000 42 205 000 8 910 000 12 272 800 x 10 382 000 44 410 000 30 329 000 42 205 000 8 910 000 12 272 800 (38) Uvedenou úlohu je vhodné propojit s vyučováním zeměpisného charakteru. Údaje o rozlohách jednotlivých světadílů se v různých zdrojích poněkud liší a na to je třeba žáky upozornit. http://www.cestoval.cz/svetadily-podle-velikosti/ 148 508 800 148 508 800 km. 2 Pevnina na Zemi tvořená světadíly má rozlohu

Apl. úl. Počet lidí na Zemi Počty obyvatel jednotlivých světadílů jsou zaokrouhleny na milióny. Určete, kolik lidí nejméně a kolik nejvýše žije na Zemi. 743 000 000 37 000 000 Evropa Asie Amerika Austrálie Afrika Antarktida Země počty obyvatel zaokrouhleny na milióny nejméně nejvýše 1 111 000 000 964 000 000 4 437 000 000 Na zemi pravděpodobně žije nejméně a nejvýše lidí. 743 000 001 4 437 000 001 964 000 001 37 000 001 1 111 000 001 1 743 499 999 4 437 499 999 964 499 999 37 499 999 499 999 1 111 499 999 7 292 000 000 7 292 000 006 7 294 999 994 (39) (Odhad světové populace ke 3. 2. 2015 je 7 292 450 750 lidí. [1]) 7 292 000 006 7 294 999 994

Rovnice r + 2 786 850 = 45 386 221 s - 8 068 235 = 22 186 543 62 352 218 - v = 43 987 659 Vyřešte rovnice 45 386 221 - 2 786 850 r = 45 386 221 - 2 786 850 r = 42 599 371 42 599 371 22 186 543 8 068 235 s = 22 186 543 + 8 068 235 s = 30 254 778 30 254 778 (40) 62 352 218 - 43 987 659 62 352 218 = 43 987 659 + v 62 352 218 - 43 987 659 = v 18 364 559 18 364 559 = v

znázorněno. Zapište alespoň některé z nich. Tři sčítanci ? Kolik různých příkladů sčítání, odčítání i s použitím závorek je diagramem znázorněno. Zapište alespoň některé z nich. 21 100 809 93 000 140 44 287 652 158 388 601 21 100 809 + 93 000 140 + 44 287 652 = 158 388 601 44 287 652 + 21 100 809 + 93 000 140 = 158 388 601 93 000 140 + 44 287 652 + 21 100 809 = 158 388 601 (158 388 601 - 93 000 140) - 21 100 809 = 44 287 652 (158 388 601 - 21 100 809) - 44 287 652 = 93 000 140 (158 388 601 - 44 287 652) - 21 100 809) = 93 000 140 (41) (158 388 601 - 93 000 140) - 44 287 652 = 21 100 809 158 388 601 - (44 287 652 + 21 100 809) = 93 000 140 (158 388 601 - 44 287 652) - 93 000 140 = 21 100 809 158 388 601 - (44 287 652 + 93 000 140) = 21 100 809 158 388 601 - (93 000 140 + 21 100 809) = 44 287 652 (158 388 601 - 21 100 809) - 93 000 140 = 44 287 652

Tatínek Jirky vydělá měsíčně 34 250 Kč, jeho maminka vydělá 28 560 Kč. Apl. úloha tatínek maminka celkem nájemné zbývá Tatínek Jirky vydělá měsíčně 34 250 Kč, jeho maminka vydělá 28 560 Kč. Nájemné platí 14 200 Kč měsíčně. Kolik jim zůstane na ostatní výdaje? (elektřina, voda, potraviny, oděvy, spoření na dovolenou) Rodičům Jirky zbývá na ostatní výdaje po zaplacení nájemného 34 250 28 560 c 34 250 Kč 28 560 Kč 14 200 Kč c z c z 14 200 34 250 + 28 560 = c 34 250 28 560 z + 14 200 = c 62 810 - 14 200 62 810 = c z + 14 200 = 62 810 (42) 62 810 z = 62 810 - 14 200 48 610 z = 48 610 48 610 Kč.

Celkový povrch naší planety Země je 510 066 000 km. Tvoří ho pevnina a vodní plocha. Rozloha pevniny je 148 647 000 km. Jakou rozlohu má vodní plocha na Zemi? 2 Větší rozlohu má pevnina nebo vodní plocha? O kolik km se liší? Antarktida Afrika Australie Evropa Asie Jižní Amerika Severní 148 647 000 n v 148 647 000 510 066 000 v povrch pevnina vodní plocha 510 066 000 km 2 148 647 000 km 2 větší o n km 2 v v = 148 647 000 + n v + 148 647 000 = 510 066 000 v = 510 066 000 - 148 647 000 361 419 000 = 148 647 000 + n v = 361 419 000 361 419 000 - 148 647 000 = n (43) Uvedenou úlohu je vhodné propojit se zeměpisným vyučováním. 212 772 000 = n 510 066 000 - 148 647 000 361 419 000 - 148 647 000 361 419 000 212 772 000 Vodní plocha na Zemi má rozlohu 361 419 000 km 2 Rozloha je o větší než rozloha vodní plochy 2 212 772 000 km pevniny.

bylo v pokladně přijala vydala za platy vydala za zboží odeslala Účetní v jedné firmě vydala z pokladny za platy zaměstnancům 379 000 Kč, za dodané zboží 4 070 690 Kč a přijala za prodané zboží 7 155 000 Kč. Do banky odeslala všechny peníze z pokladny a to 2 712 560 Kč. Kolik korun měla původně v pokladně? bylo v pokladně přijala vydala za platy vydala za zboží odeslala Účetní měla původně v pokladně 379 000 + 4 070 690 + 2 712 560 379 000 4 070 690 2 712 560 7 155 000 x 379 000 Kč 4 070 690 Kč 7 155 000 Kč 2 712 560 Kč x x + 7 155 000 = 379 000 + 4 070 690 + 2 712 560 379 000 4 070 690 2 712 560 7 162 250 - 7 155 000 x + 7 155 000 = 7 162 250 (44) Uvedená úloha je poměrně náročná. Vyučující vede žáky vhodně volenými otázkami k tomu, že je potřeba nejdříve určit celkovou finanční částku, kterou měla účetní k dispozici. Žáky je možno vést i k tomu, aby našli i jiný možný postup řešení. x = 7 162 250 - 7 155 000 7 250 x = 7 250 7 162 250 7 250 Kč.