Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY

Harmonický oscilátor Kinematika Rychlost oscilátoru a případně i zrychlení získáme snadno využitím diferenciálního počtu. Znaménko mínus vyjadřuje směr zrychlení proti okamžité výchylce. Veličina y m značí maximální výchylku, amplitudu. Mechanický oscilátor Mechanický oscilátor je soustava, která vykonává kmitavý pohyb. harmonického oscilátoru Okamžitá výchylka harmonického oscilátoru je v čase popsána funkcí sinus.

Harmonický oscilátor Dynamika Zavěsíme-li na volnou pružinu závaží, pružina se prodlouží. Síla, kterou je pružina napínána, má podle Hookova zákona velikost přímo úměrnou tomuto prodloužení. Konstanta úměrnosti se nazývá tuhost pružiny. Po vychýlení z rovnovážné polohy a následném uvolnění začne oscilátor harmonicky kmitat. V každém bodě charakterizovaném okamžitou výchylkou y působí na oscilátor výsledná síla směrem zpět do rovnovážné polohy přímo úměrná okamžité výchylce.

Harmonický oscilátor Spojením vztahů z prvních dvou stran lze získat vztahy pro úhlovou frekvenci a tudíž pro periodu či frekvenci harmonického oscilátoru. Doba kmitu závisí pouze na hmotnosti kmitajícího závaží a na tuhosti pružiny.

Harmonický oscilátor Úloha Příliv a odliv vyvolává v přístavu změny výšky hladiny moře. Maximální rozdíl výšek hladiny je d. Pohyb hladiny lze považovat za harmonický s periodou T = 12,5 h. Za jak dlouho dojde k poklesu hladiny o vzdálenost d / 4 od její nejvyšší úrovně? Začneme-li měřit čas ve chvíli, kdy začíná hladina klesat od své nejvyšší úrovně, lze její výšku nad střední polohou popsat funkcí kosinus. Potom nás bude zajímat, kdy je okamžitá výchylka rovna polovině amplitudy.

Harmonický oscilátor Úloha Hranol o výšce 10 cm z dubového dřeva o hustotě 900 kg.m -3 plove na hladině vody. Hranol poněkud zatlačíme do vody a pustíme. Určete periodu kmitání hranolu. Na ponořenou část hranolu působí vztlaková síla, jejíž velikost je rovna velikosti síly tíhové. Po dalším zatlačení se rovnováha poruší a na hranol působí vztlaková síla větší o výraz, který způsobí kmitavý pohyb.

Harmonický oscilátor Úloha Dvě výzkumná střediska A a B na Měsíci, jejichž povrchová vzdálenost je s = km, má spojit podzemní rychlodráha vybudovaná v přímém tunelu. Pohon rychlodráhy obstará gravitační síla Měsíce, která vlak v první polovině tunelu vlak urychlí a v druhé polovině zabrzdí. Vlak se pohybuje ve vakuu na magnetickém polštáři, takže odporové díly můžeme zanedbat. Měsíc považujte za homogenní kouli o poloměru R = 1, m. Gravitační zrychlení na povrchu má velikost g = 1,62 m.s -2. Následující úloha je spíše z kategorie sci-fi, ale velmi pěkně ilustruje, které všechny jevy lze považovat za harmonický oscilátor.

Harmonický oscilátor Gravitační síla působící na vlak v libovolném místě M jeho dráhy ve vzdálenosti x od rovnovážné polohy a r od středu měsíce je přímo úměrná gravitační síle působící na povrchu. Změnu rychlosti však má za následek pouze její složka, která uděluje vlaku zřejmě zrychlení přímo úměrné „výchylce“.

Harmonický oscilátor Srovnáním vyjádření zrychlení v závislosti na okamžité výchylce získáme vztah pro úhlovou frekvenci. Doba jízdy je poloviční, tedy 54 minut.

Matematické kyvadlo Matematické kyvadlo Matematické kyvadlo je hmotný bod na nehmotném závěsu. Odvození vztahů pro matematické kyvadlo vychází z přiblížení, že při malé výchylce do přibližně 5° je směr pohybu a směr působení výsledné síly na kyvadlo stejný. Srovnáním se vztahy pro zrychlení získáme vzorec pro úhlovou frekvenci a následně pro periodu a frekvenci kyvadla. Zajímavé je, že doba kyvu závisí jen na délce závěsu. Velmi snadno tak lze spočítat délku kyvadla hodin.

Fyzické kyvadlo Fyzické kyvadlo Fyzické kyvadlo je tuhé těleso otočné bez tření kolem vodorovné osy neprocházející těžištěm. Označíme-li l vzdálenost osy otáčení O od těžiště T, lze velikost momentu M působícího na kyvadlo vyjádřit pomocí momentu setrvačnosti J a úhlového zrychlení  takto: Srovnáním se vztahy pro harmonický oscilátor, pro který je zrychlení, resp. velikost výsledné působící síly úměrná výchylce dostáváme:

Fyzické kyvadlo Úloha Kruhová homogenní deska kmitá kolem vodorovné osy kolmé k rovině desky. Osa prochází jejím obvodem. V jaké vzdálenosti od středu desky by mohla být osa, aniž by se doba kmitu změnila? Vyjdeme ze vztahů pro periodu fyzického kyvadla T a ze Steinerovy věty pro moment setrvačnosti J vzhledem k ose procházející ve vzdálenosti h od těžiště.

Fyzické kyvadlo V následujícím výpočtu označíme indexem 1 veličiny týkající se původní polohy osy otáčení, indexem 2 pak veličiny týkající se nové hledané polohy. Hledanou vzdálenost označíme x. Chceme, aby se perioda T nezměnila. Z výsledku je patrné, že matematiku člověk neošálí. Jeden z kořenů totiž ukazuje, že perioda je stejná jako při zavěšení na obvodě je právě opět na obvodě Druhé řešení potom dává výsledek v polovině poloměru.

Fyzické kyvadlo Úloha Určete dobu kmitu kotouče znázorněného na obrázku kolem vodorovné osy procházející bodem O kolmo k rovině kotouče. Plná část kotouče je homogenní. Nejprve je třeba určit moment setrvačnosti J zkoumaného tělesa. Abychom našli moment setrvačnosti, musíme znát polohu těžiště x (od osy otáčení). Označme m hmotnost celého kruhu před vyříznutím otvoru a použijme na jeho části momentovou větu.

Fyzické kyvadlo Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející bodem O je dán Steinerovou větou, přičemž od momentu plného kotouče odečteme moment vyřízlého kotouče. Nyní již můžeme dosazovat do vztahu pro periodu.

Na závěr Úloha Tučňák na obrázku se vyzná ve vodních sportech. Právě se chystá ke skoku z homogenního skokanského prkna, které se volně otáčí kolem čepu a na druhém konci je spojeno s pružinou. Délka prkna je l = 2,0 m, jeho hmotnost je m = 12 kg a tuhost pružiny činí k = N.m -1. Skok tučňáka do vody vyvolá kmity prkna, které je dostatečně pevné a neprohýbá se. Nalezněte periodu kmitů.

Na závěr Pružina a prkno na sebe působí proměnným momentem síly M. Tento moment vyjádříme pomocí úhlového zrychlení  a momentu setrvačnosti J. Snažíme se vyjádřit velikost zrychlení a a porovnat nalezenou závislost se známým vztahem okamžitou výchylkou y. Příklad je netradiční ukázkou aplikace známých vztahů na netradičních problémech takříkajíc „ze života“.

Použitá literatura David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker – Fyzika 1 – Mechanika Oldřich Lepil – Mechanické kmitání a vlnění Karel Bartuška – Sbírka řešených úloh z fyziky 2

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Tato prezentace byla vytvořena v rámci projektu OBZORY Autor: Michal Schovánek Předmět: Fyzika Datum: 30.března 2011