TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík Elipsa

Elipsu jako kuželosečku tvoří průnik kuželové plochy a roviny, která s osou kužele svírá ostrý úhel ( α ) větší, než je úhel mezi stěnou a osou kužele ( β ), tedy α > β. Elipsa jako kuželosečka β α

X1X1 Elipsu lze definovat i jako množinu bodů v rovině: Elipsa je množina všech bodů, které mají od daných dvou bodů (ohnisek – E, F) stejný součet vzdáleností. Tento součet se rovná délce hlavní osy: |EX| + |FX| = 2a, kde a je kladné konstantní (pro všechny body na elipse) reálné číslo. Elipsa jako množina bodů EF X2X2

Popis elipsy s hlavní osou || s osou x S S – střed elipsy EF E, F – ohniska elipsy AB A, B – hlavní vrcholy C D C, D – vedlejší vrcholy a a a = |AS| = |SB| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EC| = |FC| = |ED| = |FD|) b b = |CS| = |SD| – vedlejší poloosa e e = |ES| = |SF| – excentricita Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e: a 2 = b 2 + e 2

Popis elipsy s hlavní osou || s osou y A, B – vedlejší vrcholy A B C, D – hlavní vrcholy C D S – střed elipsy S E, F – ohniska elipsy E F b = |CS| = |SD| – hlavní poloosa (její délka se zároveň rovná |EA| = |FA| = |EB| = |FB|) b b a = |AS| = |SB| – vedlejší poloosa a e e = |ES| = |SF| – excentricita Z obrázku je patrná platnost Pythagorovy věty pro a, b, e: b 2 = a 2 + e 2

Středová rovnice elipsy y Pro libovolný bod X[x;y] na elipse se středem v počátku lze odvodit pomocí definice elipsy jako množiny bodů následující vztah: X[x;y]X[x;y] x 0 x y X[x;y]X[x;y] S[m;n] y x 0 m x n y × Obdobně pro libovolný bod X[x;y] na elipse se středem v bodě S[m;n] lze odvodit: Protože jsou z rovnice patrné souřadnice středu a délky poloos, nazývá se tato rovnice středovou nebo také osovou rovnicí elipsy.

Odstraňme zlomky a závorky ze středového tvaru rovnice elipsy a převeďme všechny členy na levou stranu: Obecná rovnice elipsy Nahrazením b 2 = A, a 2 = B, –2b 2 m = C, –2a 2 n = D a b 2 m 2 + a 2 n 2 – a 2 b 2 = E lze rovnici zapsat jako Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 Tato rovnice ze nazývá obecná rovnice elipsy. Poznámka: Ne vždy tato rovnice vyjadřuje rovnici elipsy. Jednou z podmínek pro koeficienty A, B, C, D, E je např. stejné znaménko u A a B a zároveň jejich rozdílná hodnota (při stejné hodnotě by se mohlo jednat o kružnici), tedy A · B > 0 ^ A ≠ B.

Obdobně jako má přímka v rovině parametrické vyjádření, má toto vyjádření i elipsa. Souřadnice každého bodu X na elipse lze vyjádřit takto: x = a · cos t + m y = b · sin t + n kde t je parametr vyjadřující úhel (viz obrázek). Může nabývat hodnot z intervalu <0;2 π ). Parametrické vyjádření elipsy X[x;y]X[x;y] S[m;n] y x 0 m x n y × t

Při odvozování obecné rovnice ze středové postupujeme obdobně jako u kružnice. Příklad: Je dána obecná rovnice elipsy 4x 2 + 2y 2 – 4x + 8y – 3 = 0. Určete střed a délky poloos této elipsy. Přerovnáme členy dle neznámých a vytkneme koeficient A, resp. B: 4(x 2 – x) + 2(y 2 + 4y) – 3 = 0 Výrazy v závorkách doplníme na tzv. čtverec (viz vzorec (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 ), nezapomeneme stejné hodnoty přidat i na pravou stranu rovnice: 4(x 2 – x + 0,5 2 ) + 2(y 2 + 4y ) = 4·0, · (x – 0,5) 2 + 2(y + 2) 2 = 12 Střed elipsy má tedy souřadnice [0,5;–2], a = √3 a b = √6. Převod obecné rovnice na středovou

p1p1 Přímka může ležet mimo elipsu (přímka p 1 ), potom s ní nemá žádný společný bod. Takové přímce se říká nesečna. Vzájemná poloha přímky a elipsy p2p2 Pokud přímka elipsu protíná (přímka p 2 ), má s ní dva společné body. Takové přímce se říká sečna. y x 0 × x0x0 y0y0 T[x0;y0]T[x0;y0] p3p3 Pokud se přímka elipsy dotýká (přímka p 3 ), má s ní jeden společný bod. Takové přímce se říká tečna. Rovnice tečny, která se elipsy dotýká v bodě T[x 0 ;y 0 ], je: