Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Teorie čísel Prvočíslo Generování prvočísel: Erathosenovo síto Kolik je prvočísel?

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Teorie čísel Prvočíslo Generování prvočísel: Erathosenovo síto Kolik je prvočísel?"— Transkript prezentace:

1 Teorie čísel Prvočíslo Generování prvočísel: Erathosenovo síto Kolik je prvočísel?

2 Eulerova funkce Eulerova funkce φ(n), počet přirozených čísel menších než n a nesoudělných s n. Dodefinujeme φ(1) = 1 První hodnoty funkce φ: 1,1,2,2,4,2,6,3,6,4 Pro a, b nesoudělná φ(ab)= φ(a). φ(b) Snadno spočítáme třeba φ(91)=φ(7.13)=72 p prvočíslo: φ(p)=p-1 a je součin dvou prvočísel a=p.q, pak φ(a)=φ(p).φ(q)=(p-1).(q-1)

3 Vlastnosti prvočísel Binomický koeficient (p nad i) mod p = 0, pro i=1..p-1 (a+b) p mod p=a p +b p Pro c menší než p je c p mod p = c,

4 Malá Fermatova věta Pro c menší než p platí c p-1 mod p = 1 Pierre de Fermat ( )

5 Velká Fermatova věta Neexistuje čtveřice přirozených a,b,c,n, n>2, pro která platí a n +b n =c n Údajně dokázal P.Fermat v 17. století V roce 1900 formulováno jako 7. Hilbertův problém Hilbertovy problémy (23), dnes vyřešeny všechny až na 2. Velká Fermatova věta dokázána v roce 1994 (sir Andrew John Wiles), důkaz má 109 (velmi hutných) stran

6 Čínská věta o zbytcích Sun Tse (snad století) N je součin dvou prvočísel p,q. φ(N)=(p-1)(q-1), c φ(N) mod N = 1

7 Základní pojmy teorie složitosti algoritmů Časová složitost algoritmů –Vyjadřujeme v počtu operací –Složitost algoritmu je funkcí velikosti vstupních dat –Zajímá nás složitost Minimální Průměrná Maximální Složitost limitní

8 Příklady výpočtů složitosti Vyhledání minimální hodnoty O(n) Součet matic O(n 2 ) Součin matic O(n 3 ) Seřazení souboru čísel O(n.log n) Úloha obchodního cestujícího n! Úloha o batohu 2 n

9 Porovnání složitosti algoritmů Podstatný rozdíl je mezi složitostí vyjadřitelnou polynomem a složitostí jinou NN2N2 N8N8 2N2N N!N!

10 Při operací za s. NN2N2 N8N8 2N2N N!N! 1<1s 5 10<1s 15<1s1 s<1s15 min 20<1s10 s<1s31 let 30<1s2 min1 s 100 * Věk vesmíru 50<1s3 h11 dní 100<1s3 měs Věk vesmíru

11 Třídění úloh podle složitosti P-úlohy –Je znám algoritmus, který je řeší a má maximální složitost odhadnutelnou polynomickou funkcí NP-úlohy (nedeterministicky polynomiální) –Není znám algoritmus, který je řeší a má maximální složitost odhadnutelnou polynomickou funkcí –Je znám algortimus s minimální složitostí danou polynomickou funkcí (ověření výsledku)

12 NP – úplné problémy Patří do třídy NP Lze na sebe navzájem převádět. Pokud bude nalezet p-algoritmus pro jeden z nich, bude fungovat i pro všechny ostatní. Otevřená otázka P=NP? Vypsáno nadací Calyjako jeden ze 7 „problémů tisíciletí“ v roce 2000, odměna $ Často řešeny přibližnými a heuristickými metodami

13 Příklady np-úplných problémů Travel Salesman Problem Knapsack problem Problém splnitelnosti formule Problém parketovatelnosti A dalších minimálně 100 problémů

14 Diagram složitosti úloh

15 Další NP problémy Problém faktorizace součinu dvou prvočísel –A=p.q, známe A, třeba určit p a q –Pro přesnou formulaci je třeba si uvědomit, co je zde velikost vstupních dat. Problém modulárních rovnic –f(t) = p t mod q = α –Známe-li p,q a t, snadno určíme α –Známe-li p, q a α, nelze jednoduše určit t


Stáhnout ppt "Teorie čísel Prvočíslo Generování prvočísel: Erathosenovo síto Kolik je prvočísel?"

Podobné prezentace


Reklamy Google