Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Spojení a průnik podprostorů. Podprostor vektorového prostoru V v 1, v 2, …, v m jsou vektory vektorového prostoru V v 1, v 2, …, v m jsou generátory.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Spojení a průnik podprostorů. Podprostor vektorového prostoru V v 1, v 2, …, v m jsou vektory vektorového prostoru V v 1, v 2, …, v m jsou generátory."— Transkript prezentace:

1 Spojení a průnik podprostorů

2 Podprostor vektorového prostoru V v 1, v 2, …, v m jsou vektory vektorového prostoru V v 1, v 2, …, v m jsou generátory vektorového prostoru W W je podprostor V

3 Průnik dvou vektorových podprostorů U, W nazýváme množinu těch vektorů, které patří současně do U i do W U  W = {p  V: p  U  p  W }

4 Spojení dvou vektorových podprostorů U, W nazýváme množinu těch vektorů s, které se dají zapsat ve tvaru s = u + w, kde u  U  w  W U + W = {s  V: s = u + w, u  U  w  W }

5 U, W jsou podprostory vektorového prostoru V Potom průnik U  W a spojení U + W jsou také podprostory ve V dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U  W)

6 Příklad Ve vektorovém prostoru R 4 jsou dány podprostory W 1 (generovaný vektory u 1, u 2 ) a W 2 (generovaný vektory v 1, v 2 ), kde u 1 = (1, 1, 1, 0), u 2 = (2, 3, 2, 1), v 1 = (2, 3, 2, 3), v 2 = (1, 1, 1, 2). Nalezněte dimenzi a bázi podprostoru W 1, resp. W 2, resp. W 1 + W 2, resp. W 1  W 2.

7 dim W 1 = 2 bází W 1 jsou vektory u 1, u 2 dim W 2 = 2 bází W 2 jsou vektory v 1, v 2

8 dimenze a báze W 1 + W 2 (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (2, 3, 2, 1) (0, 1, 0, 1) (0, 1, 0, 1) (2, 3, 2, 2) (0, 1, 0, 3) (0, 0, 0, 2) (1, 1, 1, 2) (0, 0, 0, 2) (0, 0, 0, 2) dim (W 1 + W 2 ) = 3 bází W 1 + W 2 jsou např. vektory u 1, u 2, v 1

9 dimenze W 1  W 2 dim (W 1  W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 – dim (W 1 + W 2 ) dim (W 1  W 2 ) = – 3 = 1

10 báze W 1  W 2 x  W 1  W 2 libovolný, potom je: x = a 1 u 1 + a 2 u 2 = a 3 v 1 + a 4 v 2 a 1 (1, 1, 1, 0) + a 2 (2, 3, 2, 1) = = a 3 (2, 3, 2, 2) + a 4 (1, 1, 1, 2)

11 a 1 (1, 1, 1, 0) + a 2 (2, 3, 2, 1) = = a 3 (2, 3, 2, 2) + a 4 (1, 1, 1, 2) a 1 +2a 2 = 2a 3 + a 4 a 1 +3a 2 = 3a 3 + a 4 a 1 +2a 2 = 2a 3 + a 4 a 2 = 2a 3 + 2a 4 volíme a 4 = t x = (–t, –2t, –2t, –t) báze je např. (1, 2, 2, 1)

12 Vektorový prostor se skalárním součinem

13 Skalární součin vektorů u, v u = (u 1, u 2,..., u n ), v = (v 1, v 2,..., v n ) k = u 1 v 1 + u 2 v 2 + …. + u n v n k  R

14 Vlastnosti skalárního součinu u = (1, 2, –1, 0) uu = (–1) uu  0 a uu = 0  u = o u = (1, 2, –1, 0), v = (2, –1, 0, 7) uv = (–1) + (–1) = 0 Je-li uv = 0, nemusí být u = o nebo v = o

15 (uv)w  u(vw) u = (1, 2, 3) v = (1, 1, 1) w = (0, 1, 2) uv = = 6 vw = = 3 (uv)w = 6.(0, 1, 2) = (0, 6, 12) u(vw) = (1, 2, 3).3 = (3, 6, 9)

16 Velikost vektoru v  v  = 1 jednotkový (normovaný) vektor

17 Spočítejte velikost vektoru u = (1, 2, 1)  u  =  6 v = (–1, –1, –1)  v  =  3 udejte příklad vektoru dimenze 3, jehož velikost je 1

18 jednotkový vektor v 0 u = (1, 1, 1)  u  =  3

19 u, v vektory a  R  a.v  =  a .  v 

20 Schwarzova nerovnost

21 úhel vektorů u, v v intervalu existuje jediné číslo 

22 u a v jsou kolmé (ortogonální) u  v  uv = 0 Nulový vektor je kolmý ke všem vektorům z vektorového prostoru se skalárním součinem (v.o = 0). Nenulový vektor nemůže být kolmý sám k sobě (uu > 0). Nulový vektor je jediný, který je kolmý sám k sobě.

23 Jsou zadané vektory ortogonální? (1, 2, 3) a (1, 1, –1) Ano (2, 3, –2) a (1, –1, 3) Ne

24 ortogonální systém vektorů v 1, v 2, …, v n jsou vektory z vektorového prostoru se skalárním součinem v i  v j pro i  j, kde i, j = 1, 2, …, n tedy v i.v j = 0 pro všechna i  j

25 Tvoří vektory u 1, u 2, u 3 ortogonální systém vektorů? u 1 = (2, 1, –1) u 2 = (1, –2, 0) u 3 = (2, 1, 5) (2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0 (2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0 (1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0

26 Nenulové vektory každého ortogonálního systému jsou lineárně nezávislé.

27 Ortogonální báze Ortogonální systém, který obsahuje n nenulových vektorů, tvoří bázi vektorového prostoru, jehož dimenze je n.

28 Příklady ortogonálních bází  Dva vektory v rovině, které jsou na sebe kolmé (v geometrickém slova smyslu)  Tři vektory v prostoru, které jsou navzájem kolmé  Kanonická báze vektorového prostoru

29 Gram – Schmidtův ortogonalizační proces Z každé báze ve vektorovém prostoru se skalárním součinem V lze vytvořit ortogonální bázi.

30 Ortogonalizujte bázi v 1 = (2, 1, –1), v 2 = (5, 0, –2), v 3 = (2, –4, 6) Jedná se skutečně o bázi? (2, 1, –1) (2, 1, –1) (2, 1, –1) (5, 0, –2)  (0, –5, 1)  (0, –5, 1) (2, –4, 6) (0, –5, 5) (0, 0, 4) Vektory v 1, v 2, v 3 jsou lineárně nezávislé a tedy tvoří bázi třírozměrného vektorového prostoru.

31 Hledanou ortogonální bázi označíme u 1, u 2, u 3 Položíme u 1 = v 1 tedy u 1 = (2, 1, –1) u 2 = a 1 u 1 + v 2 u 2 u 1 = a 1 u 1 u 1 + v 2 u 1 0 = 6a a 1 = –2  u 2 = (1, –2, 0)

32 u 3 = b 1 u 1 + b 2 u 2 + v 3 u 3 u 1 = b 1 u 1 u 1 + b 2 u 2 u 1 + v 3 u 1 0 = 6b – 6 b 1 = 1 u 3 u 2 = b 1 u 1 u 2 + b 2 u 2 u 2 + v 3 u 2 0 = 0 + 5b b 2 = –2 u 3 = (2, 1, 5)

33 Tvoří vektory u 1, u 2, u 3 ortogonální bázi? (2, 1, –1) (2, 1, –1) (1, –2, 0)  (0, 5, –1) (2, 1, 5) (0, 0, 6) (2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0 (2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0 (1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0

34 Ortonormální systém vektorů je ortogonální každý její vektor je normovaný

35 Ortonormální báze Ortonormální systém, který obsahuje n vektorů, tvoří bázi vektorového prostoru, jehož dimenze je n.

36 ortogonální množina  ortonormální báze každý vektor u i vydělíme jeho velikostí nulový vektor vynecháme

37 ortogonální množina může obsahovat nulový vektor ortonormální množina nemůže obsahovat nulový vektor ortogonální množina je lineárně nezávislá pouze tehdy, když neobsahuje nulový vektor ortonormální množina je vždy lineárně nezávislá

38 Ortonormální báze Kanonická báze Báze (2, 2, –1), (2, –1, 2), (–1, 2, 2) není ortonormální (je ortogonální) Ortonormální báze vznikne, jestliže každý vektor báze vydělíme jeho velikostí: ⅓(2, 2, –1), ⅓(2, –1, 2), ⅓(–1, 2, 2)


Stáhnout ppt "Spojení a průnik podprostorů. Podprostor vektorového prostoru V v 1, v 2, …, v m jsou vektory vektorového prostoru V v 1, v 2, …, v m jsou generátory."

Podobné prezentace


Reklamy Google