Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Matice D.: Matice je systém m.n čísel, uspořádaný do m řádků a n sloupců. Je to jenom symbol, nemá to žádnou číselnou hodnotu! Označení: řádek, řádkový.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Matice D.: Matice je systém m.n čísel, uspořádaný do m řádků a n sloupců. Je to jenom symbol, nemá to žádnou číselnou hodnotu! Označení: řádek, řádkový."— Transkript prezentace:

1 Matice D.: Matice je systém m.n čísel, uspořádaný do m řádků a n sloupců. Je to jenom symbol, nemá to žádnou číselnou hodnotu! Označení: řádek, řádkový vektor sloupec, sloupcový vektor dvojice (m,n) … typ matice Zkrácený zápis : Když m=n … čtvercová matice Prvky tvoří tzv. hlavní diagonálu, tyto prvky vedlejší diagonálu.

2 Př.: Je typu (2, 3). je první řádek, je třetí sloupec, Na hlavní diagonále leží čísla 1, 1na vedlejší čísla 0 a 3. Není čtvercová, je obdélníková. Je čtvercová typu (2, 2).

3 Operace s maticemi Mějme dvě matice téhož typu Rovnost:pro všechna i a j Rovnost matic se tedy realizuje m x n rovnicemi mezi čísly! Součet: pro všechna i a j Sčítají se prvky na stejných místech..

4 Násobek číslem: je-li k konstanta, potom pro všechna i a j Násobí se tím číslem všechny prvky… Př.: Vypočtěme matici X=2A-3B, kde Jsou obě typu (3, 2)…

5 Protože podobně jako u vektorů se maticové operace realizují pomocí operací s reálnými čísly, mají tyto operace stejné vlastnosti, tedy platí: komutativní zákon asociativní zákon distributivní zákony Přitom k,l jsou libovolná reálná čísla a A a B libovolné matice téhož typu. To vše se automaticky využívá při počítání s maticemi ….

6 Násobení matic mezi sebou Matice se násobí mezi sebou trochu komplikovaně, vzniklo to ze skládání zobrazení, to ale neděláme…. Tedy: mějme matici A typu (m, n) A m n a matici B typu (n, p). B n p Výsledkem bude matice C typu (m, p). C p m = Jsou-li potom je skalární součin i-tého řádku matice A i i j a j-tého sloupce matice B j matematicky zapsáno

7 Př.: A je typu (2, 3), B je typu (3, 2), násobit to jde a výsledná matice bude typu (2, 2) (-1).3, 1.(-1)+3.(-1)+(-1) (-2).3, 0.(-1)+1.(-1)+(-2).0

8 A je typu (2, 3),B je typu (3, 2), násobit to jde i obráceněa výsledná matice bude typu (3, 3) 1.1+(-1).0, 1.3+(-1).1,1.(-1)+(-1).(-2) 2.1+(-1).0,2.3+(-1).1, 2.(-1)+(-1).(-2) , , 3.(-1)+0.(-2)

9 Vidíme, že násobení matic mezi sebou není komutativní! Máme-li tedy matici A, je toto násobení zprava maticí B A B a toto násobení zleva maticí B B A A pravolevo C=A.B D=B.A a obecně Matice pro které platí rovnost, se nazývají komutativní.

10 Násobení matic není komutativní, ale jiné vlastnosti běžného násobení má. asociativní zákon distributivní zákony Přitom k je libovolné reálné číslo a A a B libovolné matice, které jdou mezi sebou násobit. Platí tedy: levý pravý násobení číslem

11 Př.: Znásobme ještě další matice. Víme, že v součinu je na místě ij skalární součin i-tého řádku první matice s j-tým sloupcem druhé. Běžný postup je ten, že vezmu první řádek první matice a udělám jeho součiny se všemi sloupci druhé matice. Tak vytvořím první řádek součinu. Totéž udělám s dalšími řádky první matice a je to… teď obráceně: Matice nejsou komutativní…

12 teď zas obráceně: nakonec něco, co nebude čtvercový… Výsledek bude typu (2, 4)… teď to obráceně nejde…

13 Pro n=2 je Pro n=3 je Matice E funguje při maticovém násobení jako jednička … V.: Platí pro každou čtvercovou matici A a matici E téhož typu: vůbec násobení neovlivňuje…. Př.: Jednotková matice D.: Čtvercová matice se nazývá jednotková, má-li na hlavní diagonále jedničky a jinde nuly. Značí se E.

14 Transponování matic D.: Transponovaná matice k matici A typu (m, n) je matice typu (n, m), která má za řádky sloupce matice A. Značí se A m n n m Transponovaná matice vznikne z matice původní překlopením přes hlavní diagonálu. A

15 Př.: Transponování má tyto vlastnosti vzhledem k maticovým operacím:

16 Symetrická matice D.: Čtvercová matice A, pro niž platí se nazývá symetrická. Př.:je symetrická. Podobně Symetrická matice je souměrná podle hlavní diagonály…..

17 Hodnost matice Není to žádná její hodnota, je to vlastnost jejích řádků (nebo sloupců). D.: Hodnost matice je maximální počet jejích lineárně nezávislých řádků (nebo sloupců, je to totéž). Značíme ji h(A). Je zřejmě Je –li matice A typu (m, n), platí pro hodnost jasně Počítat, kolik je v dané skupině lineárně nezávislých vektorů umíme, je to to dávání nul pod diagonálu. Teď postup, který už umíme, trochu zformalizujeme….

18 D.: Matice A je tzv. horní trojúhelníková (ozn. HT), jestliže: 1. všechny její prvky na hlavní diagonále jsou nenulové 2. všechny její prvky pod hlavní diagonálou jsou nulové. Takže: je HT…není HT… HT matice neobsahuje nikdy nulový řádek a má vždycky nejvýše tolik řádků jako sloupců….. musí být nuly a to nejde…

19 V.: Hodnost HT matice se rovná počtu jejích řádků. Ukažme ne jednoduchém příkladu, proč to tak je: Hodnost h(A)=2, musíme ukázat (z definice), že má nezávislé řádky. Připomeňme definiční rovnici, ze které počítáme ta áčka… Tedy: v souřadnicích: Všechna áčka vyšla nulová, vektory jsou nezávislé.

20 Ta naše technika tedy spočívá na tom, že libovolnou matici převedeme na HT matici a její hodnost poznáme snadno…. Během toho převodu to ale nesmíme nějak zkazit…. Používáme k tomu tzv. ekvivalentní úpravy matic, které nemění hodnost matic, tj. nemění závislost nebo nezávislost vektorů. D.: Ekvivalentní úpravy matice jsou: 1. Přehození dvou řádků (nebo sloupců) 2. Vynásobení řádku (nebo sloupce) nenulovým číslem 3.Přičtení násobku nějakého řádku nebo sloupce k jinému řádku (nebo sloupci) 4. Vynechání nulového řádku (nebo sloupce) Vznikne-li matice B z matice A provedením několika ekvivalentních úprav, má stejnou hodnost jako matice A, Matice se nazývají ekvivalentní a značí se

21 Teď to finále….. V.: Každá matice jde postupně pomocí ekvivalentních úprav převést na HT matici. Ten postup už známe … je to to dávání nul pod diagonálu… Př.: Jakou hodnost má matice ? Děláme s jejími řádky totéž, co jsme dělali s vektory… přehodíme druhý a třetí řádek a máme HT matici má tři řádky, její hodnost je tři, je tedy i h(A)=3.

22 Soustavy lineárních rovnic Lineární soustava m rovnic pro n neznámých je toto: Označíme-li: matice soustavy vektor pravých stran vektor neznámých potom: maticový zápis soustavy A má typ (m,n) má typ (n,1) má typ (m,1) neznámé

23 Př.: 2x+3y-z=2 x+y-2z=0 3x-y+z=-1 A= násobení matic vektor pravých stran vektor neznámých matice soustavy Vektory musíme brát vždy jako sloupce, aby to šlo násobit, ale z důvodu snazšího zápisu je píšeme často jako řádky…

24 Mějme tedy soustavu když je je to soustava homogenní když je je to soustava nehomogenní jako u diferenciálních rovnic – homogenní vznikne z nehomogenní tak, že vyhodím všechno, kde není neznámá…. ………… y´+ a(x)y=b(x) ………… y´+ a(x)y=0 uvidíme zanedlouho, že podobná analogie je i ve struktuře řešení….. když je m=n, je to soustava čtvercová když je m=n, je to soustava obdélníková Dále:

25 Řešení soustavy je vektor takový, že když jeho souřadnice do soustavy dosadíme za neznámé, soustava je splněna, tedy Př.: 2x-y=2 x+y=1 Řešení je jasně x=1, y=0. Čili je vektor řešení: Když ho do soustavy dosadíme,je splněna… Matice zkráceně se nazývá rozšířená matice soustavy

26 2x-y=2 x+y=1 U soustavyjea Př.: Teď: je –li nehomogenní soustava, nazýváme soustavu se stejnou maticí A homogenní soustavou, přiřazenou této nehomogenní. Označme dále nehomogenní soustavy, a množinu všech řešení přiřazené homogenní soustavy. množinu všech řešení Jsou to vždy nějaké podmnožiny prostoru.

27 Řešení soustav má vždy řešení má řešení, jen když platí tzv. Frobeniova věta: Soustava má řešení právě když platí: buď n počet neznámých a hodnost matice h(A)=h Dále pak platí pro oba typy soustav: 1. je-li h=n, soustava má jen jedno řešení. 2. je-li h

28 Poznámky k předchozímu: 1. víme, že h >n není možné… 2. Frobeniova věta říká, že soustava má řešení jestliže se dá sloupec pravých stran vytvořit ze sloupců matice A…. hodnost je totiž také (jak víme) maximální počet nezávislých sloupců a rozšířená matice má o jeden víc než matice A… ukažme si to na konkrétním příkladě: 2x-y=2 x+y=1 Mají-li být x a y řešení, musí soustavě vyhovovat, čili musí platit tohle, a to mohu napsat taky takhle a to je právě to… 3. Je jasněprotože matice A je menší než ta rozšířená…. 0 1 to je ta kombinace…

29 Homogenní soustavy Konkrétní postup při hledání všech řešení je zase to známé dávání nul pod diagonálu… Tedy: a) homogenní soustava 1. má vždy řešení 2. vypočteme hodnost matice soustavy h(A)=h 3. Je-li h=n … počtu neznámých, má soustava jenom to jedno řešení a žádné jiné! 4. Je-li h

30 Schematicky pak vypadá soustava takto: h n n-h Potom: n-h neznámých zvolíme za parametry (ty budou u nezávislých řešení) a dáme členy s nimi na druhou stranu… = h h z takto vzniklé soustavy vypočteme jednoznačně zbylých h neznámých jako kombinace těch zvolených za parametry.

31 Parametry jsou libovolná reálná čísla, řešení je tudíž nekonečně mnoho... Soustava je v HT tvaru, na diagonále nejsou nuly. Z poslední rovnice spočítáme poslední neznámou, tu dosadíme do předposlední rovnice a z ní vypočteme předposlední neznámou, atd. až k první neznámé… = h Tomuto postupu se někdy říká zpětný chod… h

32 2 3 1 =- 2 2 Př.: x+2y+2z=0 x+3y+4z=0 x -2z=0 Je jasné že řešení jsou x=0, y=0, z=0. Vypočtěme h(A): h(A)=2=h neznámé jsou n=3 Čili h

33 Takže: Pomocí tohoto vektoru vytvořím kterékoliv řešení, je to ta báze prostoru řešení,jeho dimenze je jedna (báze je jen jeden vektor), množina řešení je vlastně přímka, která prochází počátkem…(pro t=0)

34 Př.: x+2y+3z=0 2x-y+2z=0 x- y+ z=0 Homogenní soustava, má vždy řešení x=y=z=0 Jde vždy o to, zda má i jiná…. To záleží na tom, jakou hodnost má matice A… h(A)=3,počet neznámých n=3,tedy h=n…. Soustava má tedy jen jedno řešení a to to nulové. Pro žádnou trojici nenulových čísel soustava není splněná…. h(A)=h=3

35 Nehomogenní soustavy b) nehomogenní soustava 1. má řešení pouze tehdy, když platí Vypočteme proto hodnost rozšířené matice soustavy, z ní určíme hodnost matice A a rozhodneme, zda platí. Rovnost neplatí, jestliže má rozšířená matice řádek, který je celý z nul až na poslední místo, které odpovídá sloupci pravých stran… (0, 0, …., 0 nenula) Když rovnost neplatí, soustava nemá žádné řešení a jsme hotovi.

36 Př.: Řešme soustavu x+2y+3z=1 x–y +2z=0 x+5y+4z=-2 Spočtěme nejdřív hodnost rozšířené matice: h(A)=2 A soustava nemá žádné řešenía je to …

37 2. Je-li h=n … počtu neznámých, má soustava jenom jedno řešení tentokrát nenulové. Když rovnost =h platí, postupujeme stejně jako v homogenním případě: Soustavu napíšeme v HT tvaru a zpětným chodem spočítáme všechny neznámé, počínaje poslední.. = n n

38 Př.: Řešme soustavu x+2y+3z=1 x+y +2z=0 x+5y+z= h(A)=3 A soustava má řešeníh(A)=h=n=3 Spočtěme hodnost rozšířené matice: řešení je jenom jedno, jedna trojice čísel. x+2y+3z=1 -y-z=-1 -5z=-5 z=1 y=0 x=-2 Řešení: Napišme ji v HT tvaru.

39 3. Je-li h

40 Př.: Řešme soustavu x+y+4z=3 x-y=1 3x- y+4z=5 Spočtěme hodnost rozšířené matice: h(A)=2 A soustava má řešení, a protože h

41 Napíšeme zase soustavu v HT tvaru 2 1 = x+y+ 4z= 3 -2y -4z= Zvolíme z=t dáme členy s ním na druhou stranu a uděláme zpětný chod x+y = 3 – 4t 2y= 2 -4t Řešení je tedy

42 Takže: Toto je pevný bod a toto je zase báze prostoru řešení, jeho dimenze je jedna (báze je jen jeden vektor), množina řešení je vlastně přímka, která prochází bodem (pro t=0) t=2 t=1 t=-1 atd….

43 Toto jsou všechna řešení nehomogenní soustavy, jako u diferenciálních rovnic se tomu říká obecné řešení. Podívejme se teď na vektory a z jiného hlediska: naše soustava přiřazená homogenní Vektor je řešením naší soustavy. Co řeší vektor ? x+y+4z=3 x-y=1 3x- y+4z=5 x+y+4z=0 x-y=0 3x- y+4z= =3 2-1= =5 Je to řešení naší soustavy Co teď vektor ? Udělejme totéž. Dosaďme ho sem: =0 -2+2=0 3.(-2)-(-2)+4=0 Je to řešení přiřazené homogenní soustavy Je tedy vidět, jaká je struktura všech řešení nehomogenní soustavy:

44 To je ta nejteoretičtější věc, kterou se v tomto kurzu dovíte: Struktura řešení všech lineárních rovnic je stejná: obecné řešení nehomogenní rovnice jedno řešení nehomogenní rovnice obecné řešení homogenní rovnice diferenciální rovnice lineární soustavy nehomogenní rovnice homogenní rovnice obecné řešení y´+ a(x)y=b(x) y´+ a(x)y=0

45 Poslední poznámka k řešení soustav: a má jakýkoliv rozměr, Ať je soustava homogenní nebo nehomogenní, zpětný chod se dělá vždy pro čtvercovou soustavu která má rozměr h X h! = h h Na to navážeme při řešení soustav pomocí determinantů.

46 Př.: Jakou hodnost má matice ? Máme HT matici, má dva řádky, tedy h(B)=2. Př.: Jakou hodnost má matice ? h(A)=3


Stáhnout ppt "Matice D.: Matice je systém m.n čísel, uspořádaný do m řádků a n sloupců. Je to jenom symbol, nemá to žádnou číselnou hodnotu! Označení: řádek, řádkový."

Podobné prezentace


Reklamy Google