Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Vektory Práce s vektory Př.: Mějme dva vektory z (1, 3, -2, -1, 6) (0, -3, 2, 0, -1) Udělejme kombinace, skalární součin =(3, 15, -10,-3, 20) =-19 a velikosti.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Vektory Práce s vektory Př.: Mějme dva vektory z (1, 3, -2, -1, 6) (0, -3, 2, 0, -1) Udělejme kombinace, skalární součin =(3, 15, -10,-3, 20) =-19 a velikosti."— Transkript prezentace:

1 Vektory Práce s vektory Př.: Mějme dva vektory z (1, 3, -2, -1, 6) (0, -3, 2, 0, -1) Udělejme kombinace, skalární součin =(3, 15, -10,-3, 20) =-19 a velikosti obou vektorů. =(1, -6, 4,-1, 3)

2 Př.:Mějme dva vektory z (2, -1, 3, 0) Vypočtěme skalární součin =-10 a velikosti obou vektorů. = =

3 Kvůli fyzice - jednotkový vektor a pravoúhlý průmět a složka Př.: Mějme vektory Vytvořme jednotkové vektory, jdoucí jejich směrem: (1, -2, -1) (3, 0, -1) z prostoru 1

4 Teď vypočtěme pravoúhlý průmět vektoru do. Nyní pravoúhlou složku:. P =(1, -2, -1). (1, -2, -1)

5 Lineární nezávislost Ověřme, jestli skupina daných vektorů je lineárně nezávislá nebo ne a je-li závislá, kolik ve skupině je nezávislých. (1, 2, 0) (-2, 0, 1) (4, -1, 3) (-2, 2, 0) (-1, 1, 1) (3, -3, 1) (1, 2, 0) (0, 4, 1) (0, -9, 3) (1, 2, 0) (0, 4, 1) 9 4 (0, 0, 21) (-1, 1, 1) (0, 0, -2) (0, 0, 4) (-1, 1, 1) (0, 0, -2) (0, 0, 0) LN LZ, dva LN

6 (1, 5, -1, 4) (2, -1, 1, -2) (-1, 0, -1, 2) (1, 4, -2, 6) (-1, 0, 1, 2) (2, 1, -1, 0) (-3, -1, 0, -2) (1, 1, -1, 0) (1, 5, -1, 4) (0, -11, 3, -10) (0, 5, -2, 6) (0,-1, -1, 2) (1, 5, -1, 4) (0,-1, -1, 2) (0, 0, -7, 16) (0, 0, 14, -32) (1, 5, -1, 4) (0,-1, -1, 2) (0, 0, -7, 16) (0, 0, 0, 0) (-1, 0, 1, 2) (0, 1, 1, 4) (0, -1, -3, -8) (0, 1, 0, 2) (-1, 0, 1, 2) (0, 1, 1, 4) (0, 0, -2, -4) (0, 0, -1, -2) LZ, 3 LN

7 Maticová algebra

8 X= A= B=

9 Násobení matic

10

11 Hodnost matice h(B)= h(A)=3

12 h=2 h=3

13 Soustavy rovnic x + 2y - z = 0 -2x + y - 2z = 0 3x +y + z = h=2, n=3, soustava má nekonečně mnoho řešení volíme n-h=1 parametr x + 2y - z = 0 5y - 4 z = 0 x + 2y = t 5y = 4t

14 x + 2y + z = 0 -2x – y -2z = 0 -x +3y + z = h=3, n=3, soustava má jen jedno řešení x=y=z=0.

15 x + 3y + z - 2v = 1 -2x -2y -2z + v = 2 -x +y -z - v = –2 1 řešení má, n=4 takže volíme n-h=4-2=2 parametry… x + 3y + z - 2v = 1 4y -3v = 4 x + 3y = 1- s + 2t 4y =4 +3t

16 x + 2y + z = 1 -2x – y -2z = 0 -x + y -z = Soustava nemá žádné řešení.

17 Determinanty = = 18 = (6+0+0)=

18 = ( )= 15 = ( 0 = (0+0+4)= )=

19 Rozvoj podle řádku nebo sloupce = -2 +(-4) 2 =-2-8 = = (-1) = =2.7 +(-1).1=13 je minor … determinant, který vznikne z původního vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce je algebraický doplněk prvku

20 = k=1 0. (-1) (-2) = =-1.(-1).(-1) +(-2).1.(-6)=11 = i=3 0+(-1) = =-1.(-1).(1) +3.1.(-6) =-17

21 Cramerovo pravidlo x + 2y = 1 2x - y = -1 det 1 2 =-5 matice je regulární…

22 x +2y + z = 1 2x – y + 2z = 2 x – 2y - 2z =-1 det =2-4+4-(-1-4-8) = 15 matice je regulární… = 5 = 0 = 10 det

23 Kvůli fyzice – vektorový součin = = jsou jednotkové vektory souřadnicových os výsledek vyjde jako lineární kombinace báze

24 Vypočtěme obsah trojúhelníka ABC A=(2, 1, -3) B=(0,-1, 2) C=(1,-2, 1) B-A=(-2,-2, 5) C-A=(-1,-3, 4) =

25 Nová věc – inverzní matice Matice umíme sčítat a odčítat, násobit číslem a mezi sebou, ale co dělení? Motivace: řešme rovnici a.x=b, a,b jsou čísla. inverzní prvek k a je definován pro takto: neboli Podobně: Budiž A čtvercová regulární matice. Víme: Roli jedničky pří násobení matic hraje jednotková matice E… D.: Inverzní matice k takové matici A je matice (ozn. ), definovaná vztahem Tedy:

26 Můžeme si tedy myslet, že ale tohle označení se nezavádí!! Inverzní matice se může vypočítat dvěma způsoby: a) pomocí vzorce, který používá determinanty a jejich vlastnosti b) Gauss-Jordanovou eliminační metodou

27 a) vzorec pomocí determinantů je minor … determinant, který vznikne z původního vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce je algebraický doplněk prvku T kde

28 Př.: matice je regulární Že je to dobře: transponovaná matice doplňků Porovnáme-li transponovanou matici doplňků s původní maticí, je vidět jednoduchá souvislost (platí jen pro matice 2x2)

29 Pro matice 2x2 je tedy možno postupovat velice jednoduše: potom Př.: Že je to dobře:

30 Podobně:

31 Matice 3x3 1 =-1 =1 =-1 =2 =-3 =1 =0 =-1 =0 =

32 Že je to dobře: =

33 Znaménka se pravidelně střídají,takže postup můžeme zmechanizovat takto: 1. Poté do matice vyplníme znaménka 2. Nakonec dopočítáme ty minory…. 0. Nejprve vypočteme determinant – když je roven nule, inverzní matice neexistuje (-1) T = 1 1

34 Podobně: (-1) 1 T =

35 b) Gauss-Jordanova eliminace Postup: napíšeme vedle sebe do jednoho schematu danou matici A a matici jednotkovou E A EE a dáváme nuly pod i nad diagonálu (kombinacemi řádků nebo křížovým násobením) tak dlouho dokud nezískáme nalevo místo matice A matici jednotkovou E napravo na místě jednotkové matice pak vyjde matice inverzní….

36 Př.: ´

37 Proč to tak je? Technika je založena na tom, že hledáme sloupce inverzní matice (např. 3x3), označme je třeba z definiční rovnice Tato maticová rovnice jsou vlastně tři soustavy rovnic pro tři sloupce, které mají všechny stejnou matici soustavy A a jejich pravé strany jsou sloupce matice E: Předchozí postup je vlastně řešení všech těchto tří soustav najednou… na pravé straně vyjdou neznámé sloupce….

38 Ještě jednou: Že je to dobře: =

39 Maticové rovnice Teď již máme všechen potřebný aparát k tomu, abychom mohli řešit lineární maticové rovnice. Jen je třeba dát pozor na to, že násobení matic není komutativní a rozlišovat násobení zleva a zprava. Př.: Vypočtěme matici X z rovnice A.X + B = A – X,kde matice A a B jsou tyto: Rovnici nejprve vyřešíme obecně a pak do ní dosadíme dané konkrétní matice.

40 Tedy: A.X + B = A – X nejdříve dáme členy s neznámou nalevo a ostatní napravo… + X - B A.X + X = A – B Teď vytkneme X… (A + E).X = A – B Nakonec vydělíme maticí A + E, tj. rovnici vynásobíme maticí k ní inverzní….. zleva (A + E).X = (A – B) E a protože E.X=X, je nakonec X= (A – B) tzn. přičteme k oběma stranám rovnice X a odečteme B protože stojí napravo od A, musíme ho vytknout také napravo… když ho vytkneme ze sebe sama, zbyde po něm jednička.. čili E.. protože A + E stojí nalevo od X, musíme obě strany rovnice vynásobit maticí zleva.

41 X= (A – B) Nyní konkrétně: det(A + E)=-3

42 Podobně: najděme matici X, která je řešením rovnice kde matice A je tato: Nejprve opět obecně: na levé straně vytkneme X, tentokrát doleva obě strany rovnice vynásobíme maticí tentokrát zprava zprava E a protože E.X=X, je nakonec

43 Konkrétně: det(A - E)=1 Samozřejmě záleží na pořadí….

44 Je třeba si uvědomit, že: ze vztahu XA + XB = X(A + B) vytýkáme X doleva ze vztahu AX + BX = (A + B)X vytýkáme X doprava ze vztahu AX + X B nejde vytknout X ani na jednu stranu rovnice s takovým výrazem nejde obecně řešit…. Vyřešme pouze obecně další příklady. AX – B = CX + D AX – CX = B + D (A – C)X = B + D zleva (A – C)X = (B + D) X = (B + D)

45 C – XB = XA + F -XA – XB = F - C X(-A – B )= F - C zprava X(-A – B ) = (F – C) X = (F – C)


Stáhnout ppt "Vektory Práce s vektory Př.: Mějme dva vektory z (1, 3, -2, -1, 6) (0, -3, 2, 0, -1) Udělejme kombinace, skalární součin =(3, 15, -10,-3, 20) =-19 a velikosti."

Podobné prezentace


Reklamy Google