Experimentální fyzika I. 2

Prezentace na téma: "Experimentální fyzika I. 2"— Transkript prezentace:

1 Experimentální fyzika I. 2
Chyby měření Zpracování měření

2 Druhy chyb Měřené veličině odpovídá JEDINÁ správná hodnota (pokud se nejedná o měření v kvantové oblasti) Při realizacích měření však dostáváme různé hodnoty Chyba absolutní - X=X-X´, kde X je správná hodnota a X´ hodnota naměřená. X má rozměr měřené veličiny Chyba relativní - X = X/X, je to veličina bezrozměrná, udává se často v % a lépe vystihuje přesnost měření Chyby náhodné Chyby systematické – vyskytující se pravidelně ve všech realizacích měření. Jsou důsledkem použité měřicí metody nebo vlastností měřicího přístroje Chyby hrubé –např. omyl experimentátora, měření je třeba vyřadit Obvyklé vyjádření výsledku s uvedením chyb

3 Systematická chyba a náhodný rozptyl
Teorie nahodilých chyb elementární chyby x m elementárních chyb n v kladném směru, m-n v záporném pravděpodobnost chyby p nezávislé procesy počet kombinací výsledná pravděpodobnost výsledná chyba Binomické rozdělení nespojité (diskrétní)

4 Binomické rozdělení m=5,p=0.2 m=20,p=0.2 m=40,p=0.2
Výskyt kladných a záporných elementárních chyb stejně pravděpodobný Výskyt větších chyb pravděpodobný méně než výskyt chyb menších Střední hodnota Rozptyl m=5,p=0.2 m=20,p=0.2 m=40,p=0.2

5 Binomické rozdělení II
p=0.5 m=5 m=12 m=17

6 Poissonovo a Gaussovo rozdělení
pravděpodobnost jednoho jevu malá (p << 0.1) Počet pokusů velký (m >> 30) Přechod binomické-Poissonovo r. m   a x  0 Přechod ke Gaussovu (normálnímu) rozdělení Hustotu pravděpodobnosti každé náhodné veličiny, jejíž hodnoty lze vyjádřit jako součet mnoha nezávislých ale jinak libovolně rozdělených náhodných veličin lze vyjádřit normálním rozdělením = Centrální limitní teorém

7 Poissonovo rozdělení =2  =5 =7

8 Gaussovo (normální) rozdělění

9 Gaussovo rozdělení II

10 Zpracování přímých měření
Z n hodnot naměřených za stejných podmínek stanovíme průměr Stanovíme odchylky jednotlivých měření od průměru Stanovíme střední kvadratickou chybu (směrodatnou odchylku) Stanovíme relativní chybu měření Pro N rovnost platí

11 Určení chyby nepřímých měření
Sledovaná veličina W je funkcí několika dalších, jejichž chyby známe Změna W při změně parametrů je dána totálním diferenciálem Maximální chyba je dána sumou chyb způsobených jednotlivými parametry Kvadrát střední chyby je dána kvadratickou sumou jednotlivých chyb

12 Přehled vyjádření absolutních chyb
Součtu Součinu Podílu Mocniny Odmocniny

13 Přehled vyjádření relativních chyb
Součtu Součinu Podílu Mocniny Odmocniny

14 Zpracování výsledků měření početními metodami
Optimální využití naměřených dat (metoda postupných měření) Stanovení stupně mnohočlenu charakterizujícího empirickou závislost Stanovení jeho koeficientů (skupinová a eliminační metoda) Metody početní interpolace (lineární interpolace, Newtonův vzorec)

15 Metoda postupných měření

16 Stanovení stupně mnohočlenu charakterizujícího empirickou závislost

17 Stanovení stupně mnohočlenu charakterizujícího empirickou závislost

18 Stanovení stupně mnohočlenu charakterizujícího empirickou závislost

19 Stanovení koeficientů mnohočlenu
Skupinová metoda

20 Stanovení koeficientů mnohočlenu
Skupinová metoda 3 neznámé koeficienty Provedeme seskupení do 3 skupin a v rámci skupin rovnice sečteme Algebraickým řešením obdržíme Hodnoty koeficientů Z možných seskupení vybereme to, které má nejmenší sumu kvadrátů odchylek hodnoty naměřené od hodnoty vypočtené z polynomu

21 Stanovení koeficientů mnohočlenu
Eliminační metoda Sudý počet rovnic Odečteme první od druhé atd…. Tak postupujeme až jsou eliminovány všechny koeficienty až na poslední Zpětně dosadíme a zjistíme hodnoty zbývajících koeficientů Pak přejdeme zpět od t

22 Početní interpolace Lineární interpolace Newtonův interpolační vzorec
Určování hodnot veličiny mezi Změřenými hodnotami jestliže jsou si veličiny x a y přímo úměrné dá-li se závislost přímkou aproximovat je-li interval x dostatečně malý N měření (x,y) Ekvidistantně v x s krokem d

23 Zpracování výsledků měření grafickými metodami
Správné a nesprávné proložení čáry měřenými body

24 Zpracování výsledků měření grafickými metodami
Vynesení funkce dvou proměnných

25 Vyrovnání jednoduchých závislostí
Nalezení nejpravděpodobnější hodnoty a přesnosti jejího určení na základě měření zatížených chybou Grafická metoda těžišť skupin měření

26 Metoda nejmenších čtverců
Pro nejpravděpodobnější a nejsprávnější výsledek je součet čtverců odchylek od měřených hodnot minimální. Předpokládejme lineární závislost veličin Odchylky pak můžeme vyjádřit následovně Kvadráty odchylek obdržíme umocněním, sečteme

27 Metoda nejmenších čtverců II
Parciální derivace podle parametrů a,b položíme = 0 Řešením obdržíme Pokud vhodně transformujeme proměnné lze na obdobný problém převést i řešení závislostí exponenciálních, mocninných a.p.

28 Některé vzorce pro přibližný výpočet