Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4. Metoda nejmenších čtverců Je-li znám explicitní tvar měřené závislosti, používá se obvykle pro interpolaci naměřené závislosti metody nejmenších čtverců.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4. Metoda nejmenších čtverců Je-li znám explicitní tvar měřené závislosti, používá se obvykle pro interpolaci naměřené závislosti metody nejmenších čtverců."— Transkript prezentace:

1 4. Metoda nejmenších čtverců Je-li znám explicitní tvar měřené závislosti, používá se obvykle pro interpolaci naměřené závislosti metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců je metodou početní interpolace. Teoretická závislost nechť má tvar: a,b,c,.. jsou parametry. a,b,c,.. jsou parametry. Mějme k disposici n dvojic naměřených hodnot (xi,yi ), i = 1, 2,.., n. a) přesnost nastavení hodnot nezávisle proměnné x i je řádově větší, než přesnost měření závisle proměnné y i, která má obecně pro každý bod jinou dispersi ( ). b) explicitní tvar funkce f a,b,c,.. (x) je znám. Dále předpokládáme:

2 Vytvoříme veličinu: Optimální hodnoty parametrů a,b,c,.. jsou takové hodnoty pro které je funkce,  2 (a,b,c,..) minimální Speciální případ lineární funkce (y = ax): Podmínkou minima je:

3 a dále: Jsou-li  i =  pro všechna i = 1,...,n, potom: označme dále: potom:

4 4.2. Střední hodnota a disperse odhadu Odhad je nevychýlený ! Disperse odhadu: : Střední hodnota odhadu: jsou-li veličiny: známé, je problém vyřešen

5 Nejsou-li známé, platí-li však: pro všechna i=1,...,n potom: hodnotu odhadneme ze souboru naměřených hodnot (x i, y i ). V analogii s případem jedné proměnné odhadneme: kde R 1 je nejmenší suma čtverců odchylek: Seminární úloha 4.1. Dokažte, že výše uvedený odhad veličiny  y 2 je odhad vychýlený.

6 Pro nevychýlený odhad volíme hodnotu: Celkově je tedy: vzpomeneme si: Výsledek zapisujeme ve tvaru:

7 požadujeme: 4.2. obecná přímka y = a 0 + a 1 x (dva parametry) Funkce  2 :, řešení pro případ: dále: výsledek: Odhad parametrů a 0, a 1 : (Pro druhý případ obdobně)

8 Soustava rovnic: Potom pro odhad parametrů máme: Odhady jsou nevychýlené: Seminární úloha 4.2.: Dokažte výše uvedené tvrzení o středních hodnotách odhadů parametrů a 0 a a 1.

9 Odhad disperse parametrů a 0, a 1 : upravíme: veličina: je v uvažovaném přiblížení konstantou potom:

10 obdobně: Seminární úloha 4.3.: Dokažte výše uvedené tvrzení o dispersi odhadu parametru a 1.

11 Celkově: Veličinu  y 2 odhadneme analogicky s případem jedné proměnné: Výsledky zapisujeme ve formě: Potom:

12 4.3. Semestrální práce k semináři „Úvod do praktické fyziky“ č.měř d [mm] 1,231,201,421,211,261,241,201,271,201,24 Výsledek měření udejte: a) se standardní odchylkou jediného měření b) s pravděpodobnou chybou jediného měření c) se střední kvadratickou chybou aritmetického průměru 1) Mikrometrem byla změřena tloušťka destičky. Byly změřeny tyto hodnoty:

13 2) Při měření viskozity pomocí Mariottovy láhve se nechá kapalina protékat kapilárou o poloměru r a délce l za stálého přetlaku p= h  g, kde h je výška kapaliny,  hustota kapalinu a g tíhové zrychlení. Viskozitu určíme ze vztahu kde V je objem kapaliny, který proteče kapilárou za dobu t. Určete viskozitu vody, jestliže: průměr kapiláry d = (1,29 ± 0,03) mm, délka kapiláry l = (147,4 ± 0,1) mm výška kapalinyh = (6,5 ± 0,2) cm. Měřili jsme čas t, za který proteče kapilárou objem objem V = (100 ± 1) ml č. měření12345 t [s]368,34366,4368,58367,02367,3 Pro stanovení výsledné přesnosti měření času uvažte navíc chybu danou reakční dobou experimentátora (~0,2 s) a spojte ji eventuálně s chybou statistickou. Stanovte viskozitu kapaliny a celkovou nejistotu měření.

14 3)Při určování tuhosti pružiny k statickou metodou vycházíme z Hookova zákona pro pružinu: 3) Při určování tuhosti pružiny k statickou metodou vycházíme z Hookova zákona pro pružinu: kde F je působící síla realizovaná závažím o hmotnosti m a y je prodloužení pružiny. Určete tuhost pružiny k (a její chybu) pro tyto měřené hodnoty m [g] y [cm] 02,54,77,19,411,713,71718,419,722,8 25, 0 27,1 Chybu veličiny y je možno ve všech měřených bodech považovat za stejnou. Výsledky měření zpracujte též graficky.

15 m (g)y (cm)e (cm)

16 4.4. Alternativní řešení funkce s jediným parametrem: Označme: parabola minimum: rozvoj:

17 a 22

18

19 přímka se dvěma parametry: rozvoj v okolí minima:

20 elipsa tečna ׀׀ a 0 ´: obdobně:

21 Speciálně:

22 Obecná funkce se dvěma parametry: - minimum numericky - rozvoj v okolí minima označíme: rovnice elipsy:

23 Semestrální práce č.3

24

25

26

27


Stáhnout ppt "4. Metoda nejmenších čtverců Je-li znám explicitní tvar měřené závislosti, používá se obvykle pro interpolaci naměřené závislosti metody nejmenších čtverců."

Podobné prezentace


Reklamy Google