Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 18. PŘEDNÁŠKA.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 18. PŘEDNÁŠKA."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 18. PŘEDNÁŠKA Březen 2010 Teorie doprav. probl.

2 Březen 2010 ….. oblastí je Systémy dopravní obsluhy neboli Distribuční úlohy – dopravní problém (DP) …. ☺ POKRAČOVÁNÍ

3 Součástí formulací základních úloh LP jsou i dopravní a přiřazovací úlohy. Tyto modely by bylo teoreticky možné řešit sim- plexovou metodou, bylo by to však zdlouhavé a vzhledem k rozsahu úloh složitě řešitelné. Využívají se tzv. distribuční metody řešení apliko- vané pro řešení dopravního problému. Obdobně lze řešit i problém přiřazovací, i když pro něj existují i další, efektivnější metody. Březen 2010 Dopravní úlohy

4 Obecný dopravní problém Obecný dopravní problém Jedná se o určení plánu přepravy od dodavatelů, kteří mají dané kapacity možných dodávek k odběratelům, kteří poptávají určité množství. Zpravidla se požaduje, aby přeprava byla usku- tečněna s minimálními náklady. Březen 2010 Dopravní úlohy

5 Obecný DISTRIBUČNÍ PROBLÉM Obecný DISTRIBUČNÍ PROBLÉM Jedná se o složitější úlohy. Potřeba rozdělení sortimentu rozdělí procesy do více skupin. Úrovně procesů můžeme číslovat dvoj-indexovou proměnou, nebo průběžně. Březen 2010 Dopravní úlohy

6 Dopravní problém Dopravní problém Matematický model je shrnout do problému „hledání matice“ Březen 2010 Dopravní úlohy

7 vyhovující vlastním omezením ve tvaru Březen 2010 Dopravní úlohy

8 podmínky nezápornosti Březen 2010 Dopravní úlohy minimalizující funkci

9 Nebo obecně: - obecně lze DP zapsat ve tvaru: minimalizované funkce Březen 2010 Dopravní úlohy při dodržení podmínek kde: …..

10 kde: c ij vyjadřují náklady spojené s přepravou jednotky produkce od i-tého dodavatele k j-tému spotřebiteli, x ij neznámé objemy přepravované produkce od i- tého dodavatele k j-tému spotřebiteli a i kapacita i-tého dodavatele b j požadavky j-tého spotřebitele. Březen 2010 Dopravní úlohy

11 Při formulaci dopravního problému se používají: - v kapacitních omezeních nerovnosti typu  a - v požadavkových omezeních nerovnosti typu  a Jestliže platí Březen 2010 Dopravní úlohy musí být všechna omezení splněna jako rovnice. dopravní problém je vyrovnaný. Pak …, že dopravní problém je vyrovnaný.

12 Březen 2010 Dopravní úlohy Nevyrovnaný dopravní problém Není-li podmínka splněna, musí se - formálně pro účely výpočtu - vyrovnat součty kapacit a požadavků tím, že do problému je přidán jeden nereálného, fiktivního dodavatel nebo odbě- ratel.

13 Březen 2010 Dopravní úlohy Fiktivní odběratel Existuje dopravní problém. Vyrovnají se součty kapacit a požadavků a stanoví se optimální program dopravy.

14 Březen 2010 Dopravní úlohy Problém je doplněn fiktivním odběratelem a tím je dosaženo vyrovnání součtu kapacit a součtu požadavků. Otázkou je, jaké mají být přepravní sazby. Je zřejmé, že fiktivní odběratel představuje dodá- vané zboží, které odběrateli zůstává například na skladě. Přepravní sazby se proto odvozují dle ekonomického modelu.

15 Březen 2010 Dopravní úlohy Pokud dodavateli vznikají skladovací náklady D k, bude sazba rovna těmto nákladům (na jednotku). Pokud dodavatel musí vydat veškeré zboží, volí se sazba, která zamezí dodávce fiktivnímu odběrateli c iF = M kde M je prohibitivní sazba, t.j. řádově relativní vysoká sazba, která zamezí do- dávce od D k fiktivnímu odběrateli OF. V ostatních případech je rovna 0.

16 Březen 2010 Dopravní úlohy Fiktivní dodavatel Je dán základní vztah Pokud bude požadavek některého odběratele neuspokojen … Pokud odběratel musí být zásoben v plné výši … - pak se volí opět prohibitivní sazba. Pokud se penalizuje nebo se použije pro danou jednotku penalizační sazba cFj, pak se použije stejná (tato) sazbu.

17 Březen 2010 Dopravní úlohy V ostatních případech je sazba nulová. Většinou označujeme prohibitivní sazby pouze symbolem M a nedosazujeme konkrétní hodnotu: m znamená pak dostatečně vysokou sazbu (1000, , atd.)

18 Březen 2010 Dopravní úlohy V ostatních případech je sazba nulová. Většinou označujeme prohibitivní sazby pouze symbolem M a nedosazujeme konkrétní hodnotu: m znamená pak dostatečně vysokou sazbu (1000, , atd.)

19 Březen 2010 Dopravní úlohy Řešení vyrovnaného dopravního problému Algoritmus řešení dopravního problému má obecné kroky shodné se simplexovou metodou. Zahrnuje tyto kroky: - nalezení výchozího základního řešení - test optimality - transformace řešení

20 Březen 2010 Dopravní úlohy Každému prvku x ij matice X je vyhrazeno jedno pole tabulky, x ij se píší do středu polí. V pravém rohu nahoře každého pole je zapsán odpovídající koeficient c ij z účelové funkce. Do levého rohu dole se zapisují čísla c ij ´, s jejichž významem se čtenář seznámí později. Prvních m rovnic soustavy představuje v tabulce řádkové součty hodnot x ij, dalších n rovnic pak sloupcové součty.

21 Březen 2010 Dopravní úlohy V souladu s ekonomickou interpretací pro- měnných a koeficientů matematického modelu v dopravním problému nazývají se: x ij přepravami c ij sazbami c ij ´ nepřímými sazbami a i kapacitami b j požadavky.

22 Březen 2010 Dopravní úlohy celkový součetbnbn … b2b2 b1b1 Sloupcov é součty x mn … x m2 x m1 amam c mn c m2 c m1 m.... … x 2n … x 22 x 21 a2a2 c 2n c 22 c 21 2 x 1n … x 12 x 11 a1a1 c 1n c 12 c 11 1 Ř á dkov é součty n … 21

23 Březen 2010 Dopravní úlohy Nejprve se odvodí, jaké vlastnosti má základní řešení distribuční úlohy. Počet proměnných v modelu je m.n, počet rovnic (omezení) je m+n. Ukáže se nyní, že pouze m+n-1 je lineárně nezávislých. Podmínka vyrovnanosti způsobuje, že součet prvních m rovnic je roven součtu dalších n rovnic. Obsazení pole nesmí tvořit uzavřený okruh (cyklus).

24 Březen 2010 Dopravní úlohy Skupina vektorů je lineárně závislá tehdy a jen tehdy, když jejich lineární kombinace aspoň s jedním nenulovým koeficientem je rovna nulovému vektoru. Jestliže ve skupině vektorů tvořených řádky matice /aij/ vždy dvojice vektorů obsahuje jedničku na stej- ném místě, pak je možno utvořit jejich lineární kom- binaci rovnou nulovému vektoru tak, že vždy jednomu z dvojice se přiřadí koeficient +1 a druhému –1.

25 Březen 2010 Dopravní úlohy Taková dvojice vektorů odpovídá vždy dvěma polím tabulky v jednom řádku nebo sloupci. Tvoří-li obsazená pole uzavřený obvod, pak se tato obsazená pole vyskytují v řádcích a sloupcích tabulky po dvojicích. Jim odpovídající vektory pak tvoří lineárně závislou skupinu.

26 Březen 2010 Dopravní úlohy Jestliže naopak obsazená pole netvoří uzavřený obvod, nelze vektory jim odpovídající seskupit v lineární kombinaci rovnou nulovému vektoru, a jsou tedy lineárně nezávislé.

27 Březen 2010 Dopravní úlohy Metody nalezení výchozího základního řešení V teorii existuje celá řada metod. Základem jsou následující tři metody - nejčastěji používané. Jsou to metody: severozápadního rohu indexní Vogelova aproximační

28 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Spočívá v tom, že se obsazuje pole od SZR (nejvyšší levý roh) postupně nejvyšší možnou přepravou, bez ohledu na přepravní sazby. Postup ilustruje příklad:

29 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Ze tří lomů (dodavatelé) jsou zásobovány tři staveniště (odběratelé) pískem [ t ]. 3 dodavatelé  výrobní kapacita (v tunách písku): 50, 60, 90 3 odběratelé  požadavky (v tunách písku): 34, 46, 120.

30 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Dopravní náklady v Kč na 1 tunu: - cílem je minimalizovat celkové dopravní náklady. Matice dopravních nákladů:

31 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Veškeré výpočty se provádí v tabulce dodavatel označen Di, odběratel označen Oj. Nejdříve se zapíší do tabulky požadavky a kapacity a zkontroluje se, zda jsou si rovny jejich součty. Dále se obsazuje pole tabulky (počínaje např. zleva nahoře) nejvyššími možnými hodnotami proměn- ných, tak aby řádkové a sloupcové součty hodnot proměnných dávaly požadovaná čísla a i,b j.

32 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Začne se polem D 1 O 1, které ze obsadit nejvýše hodnotu x 11 = 34. Tím je splněn požadavek, že součet hodnot prv- ního sloupce – O 1 – musí být 34 a dále se již první sloupec neobsazuje.

33 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) O102O3 Kapacity D D D Požadavky /120

34 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Pokračuje se polem D 1 O 2, do něhož lze dosadit nejvýše x 12 = 16. Tím je splněn požadavek, aby součet hodnot prvního řádku byl 50, a dále se již neobsazuje ani první řádek. Dále se pokračuje stejným způsobem a konečná varianta řešení …..

35 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) O102O3Kapacity D D D Požadavky /120

36 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) z = 34*8 + 16*4 + 30*4 + 30*5 + 90*6 = Kč Dále se pokračuje výpočtem efektů:

37 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Vypíše se matici řešení:

38 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Prvky matice X jsou nezáporné, řešení splňuje podmínku nezápornosti. Splňuje i omezující podmínky, neboť bylo sestaveno s ohledem na ně. Je to tedy přípustné řešení. Obsahuje m + n – 1 nenulových prvků a lze se přesvědčit, že sloupcové vektory koeficientů u těchto nenulových proměnných v soustavě jsou lineárně nezávislé. Je to tedy základní přípustné řešení.

39 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Spojí-li se obsazená pole v tabulce vodorovnými a svislými čárami, vznikne graf. Podle tvaru tohoto grafu lze spolehlivě určit vlast- nosti řešení v tabulce. Platí tato poučka: tvoří-li graf (třeba jen svou částí) uzavřený obvod, není řešení v tabulce základní.

40 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR)  D3  D2  D1 O302O1

41 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda severozápadního rohu nepřihlíží k sazbám c ij. Nelze tedy očekávat, že by získané základní řešení bylo blízké optimu, nebo dokonce přímo optimální. Často je třeba toto řešení postupně zlepšovat v mnoha krocích, než se dojde k optimu. Existují i jiné metody, jak nalézt výchozí základní řešení, které vedou k řešením již blízkým opti- málnímu. Metoda indexní

42 Březen 2010 Dopravní úlohy Dalšími metodami jsou metody patřící do tzv. aproximačních metod. Patří mezi ně i metoda indexní. Postup ilustruje příklad: Metoda indexní

43 Březen 2010 Dopravní úlohy Postup je následovný: Nalezne se políčko s nejnižším koeficientem c ij, které není dosud proškrtnuto, indexy tohoto pole dosadíme do i a j. Je-li více polí se shodnou minimální sazbou c ij, vybere se to, které lze obsadit vyšší hodnotou x ij. Metoda indexní

44 Březen 2010 Dopravní úlohy Obsadíme pole i,j hodnotou x ij = min (a i, b j ) a) je-li x ij = a i, vyškrtne se i-tý řádek, a i = 0, b j = b j - a i b) je-li x ij = b j, vyškrtne se j-tý sloupec, b j = 0, a i = a i - b j c) je-li x ij = a i = b j, vyškrtne se j-tý sloupec a i-tý řádek, a i = b j = 0. Metoda indexní

45 Březen 2010 Dopravní úlohy Jsou-li všechny kapacity a požadavky rovny 0, výpočet končí, jinak se vrací na bod 1. Je vhodné vypsat předem všechny koeficienty do řady vzestupně a indexy vyčerpaných polí se vy- škrtávají. Zabrání se tak chybám v řešení. Metoda indexní

46 Březen 2010 Dopravní úlohy Pokračování příkladu již probraného. Metoda indexní O102O3Kapacity Rozd í l D D D Požadavky /120 Rozd í l prvního kroku Výchozí tabulka prvního kroku :

47 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda indexní druhého kroku Výchozí tabulka druhého kroku : O102O3Kapacity Rozd í l D D D Požadavky /120 Rozd í l 04670

48 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda indexní třetího kroku Výchozí tabulka třetího kroku : O102O3Kapacity Rozd í l D D D Požadavky /120 Rozd í l 0070

49 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda indexní čtvrtého kroku Výchozí tabulka čtvrtého kroku : O102O3Kapacity Rozd í l D D D Požadavky /120 Rozd í l 0044

50 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda indexní pátého kroku Výchozí tabulka pátého kroku : O102O3Kapacity Rozd í l D D D Požadavky /120 Rozd í l 000

51 Březen 2010 Dopravní úlohy V malých problémech dává často přímo optimum, ve větších pak řešení tak blízké optimálnímu, že se někdy lze dokonce spokojujit s tímto přibližným řešením. Pro získání optimálního řešení je základní řešení získané metodou VAM výchozí a pokračuje se dis- tribuční metodou až k optimu, které je obvykle získáno již po malém počtu kroků. Vogelova Aproximační metoda – VAM

52 Březen 2010 Dopravní úlohy Princip spočívá v tom, že jsou porovnávány druhá nejnižší a nejnižší sazby v řádku nebo sloupci. Rozdíl těchto dvou sazeb udává nárůst přepravních nákladů na jednotku v případě, že není obsazeno pole s nejnižší sazbou. Vogelova Aproximační metoda – VAM

53 Březen 2010 Dopravní úlohy Pravidla VAM: Nejprve se stanoví pro každý řádek a sloupec dife- rence mezi nejmenší a druhou nejmenší sazbou v tomto řádku nebo sloupci (jsou-li dvě nejmenší sazby stejné, pak diference je nula). Vybere se řada (tj. řádek nebo sloupec) s největší diferencí. V této řadě se obsadí největší možnou přepravou pole s nejmenší sazbou. Vogelova Aproximační metoda – VAM

54 Březen 2010 Dopravní úlohy V této řadě se obsadí největší možnou přepravou pole s nejmenší sazbou. Řadu s vyčerpanou kapacitou nebo požadavkem se vyškrtne a v dalším postupu se s ní nepočítá. Znovu se stanoví diference (pro sloupce, jestliže jsme škrtli řádek, a naopak) a postupujeme dále stejným způsobem. Vogelova Aproximační metoda – VAM

55 Březen 2010 Dopravní úlohy Jestliže je největší diference stejná u více řad, hledá se v těchto řadách s největší diferencí „sedlový bod“ = pole s nejmenší sazbou z hlediska řádku i sloupce. Pak je obsazen tento „sedlový bod“ (mezi několika „sedlovými body“ se rozhodneme pro ten, pro který je součet řádkové a sloupcové diference největší). Vogelova Aproximační metoda – VAM

56 Březen 2010 Dopravní úlohy Neexistuje-li v řadách s největší diferencí ani jediný sedlový bod, pak jsou pro tyto řady stanoveny druhé diference. Druhá diference je rozdíl mezi druhou nejmenší sazbou v řadě a mezi nejmenší sazbou v řadě kolmé na původní. Vogelova Aproximační metoda – VAM

57 Březen 2010 Dopravní úlohy Středem kříže těchto dvou na sebe kolmých řad je druhá nejmenší sazba v řadě, pro niž druhou diferenci určujeme. Vybere se řada s největší druhou diferencí a v ní pak se osadí pole s nejmenší sazbou. Vogelova Aproximační metoda – VAM

58 Březen 2010 Dopravní úlohy I zde je pokračování příkladu již probraného. Metoda indexní Prvního Prvního - - výchozí tabulka : O102O3Kapacity Diference D , D , D , Požadavky /120 Diference2,1,3,

59 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda indexní druhého kroku Tabulka druhého kroku : O102O3Kapacity Diference D , X D , 2 D , 1 Požadavky /120 Diference2, 21, 13, 1

60 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda indexní třetího kroku Tabulka třetího kroku : O102O3Kapacity Diference D , X D , 2, 1 D , 1, 3 Požadavky /120 Diference2, 2, X1, 1, 13, 1, 1

61 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda indexní čtvrtého kroku Tabulka čtvrtého kroku : O102O3Kapacity Diference D , X D , 2, 1, X D , 1, 3, X Požadavky /120 Diference2, 2, X1, 1, 1,X3, 1, 1,1

62 Březen 2010 Dopravní úlohy Metoda indexní pátého kroku Tabulka pátého kroku : O102O3Kapacity Diference D , X D , 2, 1, X D , 1, 3, X Požadavky /120 Diference2, 2, X1, 1, 1,X3, 1, 1,1,X

63 Březen 2010 Dopravní úlohy z = 50*2 + 34*2 + 26*5 + 46*3 + 44*6 = 700 Kč Dále se pokračuje výpočtem efektů: Metoda indexní

64 Březen 2010 Dopravní úlohy Pro další řešení je zapotřebí, aby v dopravní úloze bylo obsazeno právě m + n – 1 polí. degenerované Má-li úloha méně nenulových přeprav, je základní řešení degenerované. Narazí-li výpočet na degenerované řešení, je nutno degeneraci formálně odstranit, aby výpočet mohl pokračovat. Degenerace základního řešení

65 Březen 2010 Dopravní úlohy Postup: Vhodné neobsazené pole se obsadí zanedbatelně malou přepravou, tak malou, že řádkové a sloup- cové součty se prakticky nemění. Tato přeprava se označí jako nulová na rozdíl od prázdných, neobsazených polí. Degenerace základního řešení

66 Březen 2010 Dopravní úlohy Pole obsazené nulou se považuje za obsazené pole. Doplňuje se počet obsazených polí na (m + n – 1) a odstraní se tím degenerace. Nulovou přepravou je třeba obsadit takové pole, které netvoří s ostatními obsazenými poli uzavřený obvod. Degenerace základního řešení

67 Březen 2010 Dopravní úlohy V případě tzv. dvojnásobné nebo vícenásobné degenerace se doplňují nulové přepravy na více polích tak, aby celkový počet obsazených polí byl vždy m + n – 1. Degenerace základního řešení

68 Březen 2010 Dopravní úlohy MODI - modifikovaná distribuční metoda Pro text optima a transformaci řešení se používá MODI – modifikovaná distribuční metoda. Je založena na dualitě lineárních modelů. Protože dopravní úloha má vždy 2 skupiny ome- zení – kapacitní a požadavky – přiřadíme 1. sku- pině omezení duální proměnnou u i a 2. skupině v j..

69 Březen 2010 Dopravní úlohy Duálně sdružená omezení: Každé podmínce nezápornosti primárního problé- mu x ij  0 odpovídá duální omezení u i + v j  c ij u 1 + v 1  c 11 u 1 + v2  c 12. u i + v j  c ij MODI - modifikovaná distribuční metoda

70 Březen 2010 Dopravní úlohy Test optima řešení dopravního problému MODI - modifikovaná distribuční metoda Vychází z věty o rovnováze. Důsledkem této věty je skutečnost, že pro duálně sdružená omezení platí: je-li jedno z duálně sdružených omezení splněno jako ostrá nerovnost, je druhé splněno jako rovnice.

71 Březen 2010 Dopravní úlohy Test optima řešení dopravního problému MODI - modifikovaná distribuční metoda V optimálním řešení dopravního problému platí: - pro obsazená políčka - pro neobsazená políčka

72 Březen 2010 Dopravní úlohy Test optima řešení dopravního problému MODI - modifikovaná distribuční metoda Úloha má m + n proměnných a m * n omezení. Proměnné u i jsou nazývány řádkové proměnné a v j sloupcové proměnné. Proměnné c ij jsou již námi známé náklady spoje- né s přepravou jednotky produkce od i-tého do- davatele k j-tému spotřebiteli.

73 březen 2010 …..… cw05 – 18 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …… Systémy …… Systémy ……


Stáhnout ppt "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 18. PŘEDNÁŠKA."

Podobné prezentace


Reklamy Google