Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1 Diferenciální rovnice Lineární diferenciální rovnice –Metoda separace proměnnýchMetoda separace proměnných –Metoda substitučníMetoda substituční –Metoda.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1 Diferenciální rovnice Lineární diferenciální rovnice –Metoda separace proměnnýchMetoda separace proměnných –Metoda substitučníMetoda substituční –Metoda."— Transkript prezentace:

1 1 Diferenciální rovnice Lineární diferenciální rovnice –Metoda separace proměnnýchMetoda separace proměnných –Metoda substitučníMetoda substituční –Metoda variace konstantyMetoda variace konstanty Diferenciální rovnice n- tého řádu - homogenní Diferenciální rovnice n- tého řádu - s pravou stranou

2 2 Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice prvního řádu rovnice tvaru : y´= f (x,y) jiný zápis F(x,y,y´) = 0 Def: Říkáme, že funkce y =  (x) definovaná na intervalu J  R je řešením diferenciální rovnice y´= f(x,y), jestliže a)  x  J  vlastní  ´(x) b) bod [x,  (x)]  D(f) c)  ´(x) = f (x,  (x))

3 3 Př. Ukažte, že každá funkce  (x) = C. e -2x + 1/3e x je řešením diferenciální rovnice y´= e x - 2y na intervalu ( - ,  ). Ukážeme, že fce  má vlastnosti a - c. a)fce  i  ´jsou spojité na R pro libovolnou konstantu C. b) pro každé x  R je [x, C. e -2x + 1/3e x ] pro libovolnou C c) f (x,  (x)) = e x -2C. e -2x - 2/3e x neboli po úpravě f (x,  (x)) = -2C e -2x + 1/3e x, tedy platí  ´(x) = f (x,  (x))

4 4 Existenční věta f : R 2  R je spojitá na J  R 2 Jednoznačnost řešení Fce  je řešením diferenciální rovnice na intervalu J, pak také fce  1, která je zúžením funkce  na interval J 1  J, je řešením diferenciální rovnice. Maximální řešení - není zúžením žádného jiného řešení Graf maximálního řešení - integrální křivka

5 5 Př. Zakreslete integrální křivky rovnice y´= y/x. Řešením je a)  = cx pro x  ( - , 0 ), je-li D(f) = (- , 0 ) x (- ,  ) b)  = cx pro x  ( 0,  ), je-li D(f) = ( 0,  ) x (- ,  ) Integrální křivky: b) x y 0 a) -x y 0

6 6 Def. Řešení  rovnice y´= f(x,y) vyhovuje počáteční podmínce y (x 0 ) = y 0, jestliže platí  (x 0 ) = y 0. tj. integrální křivka prochází bodem[ x 0,y 0 ] Úlohu určit takovou fci , aby byla řešení dif. rovnice y´=f(x,y) a splňovala podmínku y (x 0 ) = y 0, nazýváme Cauchyovou úlohou Př. y´= y, poč.podm. y (x 0 ) = y 0 řešení rovnice y´= y je  (x) = c. e x C  R, x  R hledáme řešení  (x 0 ) = c. e x 0 = y 0 c = y 0. e -x 0 tedy  (x) = y 0. e -x 0. e x = y 0. e x-x 0

7 7 x y 0 x0x0 y0y0 řešení Cauchyovy úlohy integrální křivky Graficky Pozn. Řešení Cauch. úlohy je jednoznačné, prochází-li bodem [x 0,y 0 ] právě jedna integrální křivka Má-li dif. rovnice y´= f(x,y) pouze jednoznačná řešení, nazýváme množinu všech řešení obecným řešením této rovnice Řešení, které splňuje počáteční podmínku, se nazývá partikulární řešení

8 8 Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu 1) Separace proměnných pro dif. rovnice typu y´= g(x).h(y) …… rovnice se separovanými proměnnými g,h jsou spojité, h(y)  0 Postup: y´= g(x).h(y) F(y) + C1 = G(x) + C2 F(y) = G(x) + C

9 9 Př. Najděte všechna řešení rovnice y´= 1 + y 2  = tg( x + C) integrální křivku získáme posouváním tangentoidy y = tg x pro poč. podmínku y(x 0 ) = y 0 je y 0 = tg( x 0 + C) arctgy 0 = x 0 + C C = arctg y 0 - x 0

10 10 Př. Najděte všechna řešení rovnice y´= y(y-1)/xx  0 volíme-li např. y  (1,  ) a x  (0,  ),pak (y-1)/y = Cx y = 1/(1-Cx)

11 11 Geometrický význam rovnice y´= f(x,y) -každému bodu [x,y]  D(f) přiřadí směrnici tečny int. křivky y =  (x), tj. rovnice definuje směrové pole v rovině. Nalézt řešení diferenciální rovnice znamená nalézt takovou křivku, aby její tečna v každém bodě měla směr splývající se směrem pole. Př. y´= y Izoklina - přímka spojující body stejné směrnice 0 x y Pozn.: Úloha nalézt k soustavě křivek v rovině soustavu ortogonálních trajektorií ( křivek, které každou křivku protínají pod pravým úhlem)

12 12 Př. Nalezněte soustavu ortogonálních trajektorií k soustavě kružnic x 2 + ( y -c) 2 = c 2 c … parametr 2x + 2yy´- 2cy´ = 0 y´( 2y - 2c) = - 2x Dosadíme za y´= -1/y´ Řešením této dif. rovnice je (x-k) 2 + y 2 = k 2 Užití: elektrostatické pole- silokřivky + ekvipotenciální pole = soustava ortogonálních trajektorií

13 13 2) Metoda substituční a)Rovnice tvaru y´= f(ax + by + c), a,b,c … konstanty b  0 zavedeme novou funkci z = ax + by + c y = 1/b.( z - ax -c) y´= 1/b.(z´- a) dosadíme do původní funkce 1/b.(z´- a) = f (z) z´= b.f(z) + a dále postupujeme stejně jako při řešení diferenciální rovnice metodou separace proměnných.

14 14 Př. y´= ( x + y ) 2 z = x + y z´= 1 + y´ y´= z´- 1 z´- 1 = z 2 z´= z z = 2 tg2 ( x + c) 4x + y = 2 tg 2 ( x + c) Př.y´= ( 4x + y ) 2 z = 4x + y z´= 4 + y´  y´= z´- 4 po dosazení z´- 4 = z 2

15 15 b)Rovnice homogenní, jenž lze převést na tvar y´= f (x/y) Pozn. Převést lze homogenní funkce stupně 1, tj. takové, pro které g (tx,ty) = g(x,y) Př. Do tohoto vztahu dosadíme t = 1/x Zvolíme proměnnou z = y/x Dosazením do původní rovnice

16 16 Př.( x + y ) dx + x dy = 0 x dy = - ( x + y ) dx z = y/x y´= z´x + z x 2 + 2yx = c 1

17 17 Př. RozkladDosazením a úpravou integrálními křivkami je soustava kružnic se středem na ose y

18 18 Př.y´=cos(y-x)substituce z = y-x z´= y´-1  y´= z´+ 1 dosazením z´+ 1 = cos z

19 19 3) Metoda variace konstanty tvar rovnice y´= p(x)y + g(x) postup řešení:a) řešíme rovnici homogenní y´= p(x).y separací proměnných b) dosadíme do původní rovnice derivaci řešení

20 20 c) výsledek dosadíme do řešení homog.rovnice Př.

21 21 Př.Řešte rovnici y´= xy + x 3 a) homogenní rovnice y´= xy b) řešení homog. rovnice zderivujeme c) dosadíme do rovnice s pravou stranou

22 22 d)rovnici integrujeme v´= u=x 2 u´=2x e) dosadíme do řešení homog.rovnice

23 23 Př. y´= 2x(x 2 + y) y´- 2xy = 0 substitucí t = -x 2 a per partes

24 24 Př.

25 25 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a) s konstantními koeficienty - homogenní rovnice tvaru y (n) + a 1 y (n-1) + a 2 y (n-2) +…+ a n-1 y´+a n y=0, kde a 1,a 2,…a n jsou reálné konstanty. Tvrzení: Jsou-li y,z řešení homogenní diferenciální rovnice, je libovolná jejich lineární kombinace  y +  z též řešením dif.rovnice. Tj.množina řešení tvoří lineární prostor. Každá n-tice y 1,y 2,…y n lin.nez. řešení ( baze tohoto prostoru) se nazývá fundamentální systém řešení příslušné rovnice.

26 26 Obecné řešení má tvar y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + …c n y n, kde c 1,c 2,…cn jsou libovolné konstanty. Charakteristická rovnice diferenciální rovnice L(y)=0 je rovnice tvaru n + a 1 n-1 +…+a n-1 + a n = 0, kde je neznámá Výpočet fundamentálního systému: a) Spočteme všechny kořeny charakteristické rovnice b) Je-li k - násobný reálný kořen charakteristické rovnice, utvoříme k lin.nez. funkcí tvaru e x, xe x, x 2 e x, …, x k-1 e x

27 27 c) Je-li =  +  i nebo =  -  i p násobný komplexní kořen charakteristické rovnice, utvoříme 2p lin.nez. funkcí tvaru e  x cos  x, x e  x cos  x, …, x p-1 e  x cos  x e  x sin  x, x e  x sin  x, …, x p-1 e  x sin  x d) Hledaný fundamentální systém je taková množina funkcí, kdy v bodech b),c) volíme za postupně všechny kořeny charakteristické rovnice. Př.Vypočtěte obecné řešení rovnice y´´´-3y´´ + 4y´- 2y = 0. Charakteristická rovnice =0 Kořeny: ( -1) ( ) = 0 1 = 1 2 = 1+i, 3 = 1-i

28 28 Fundamentální systém: 1  e 1 x 2  e  x cos  x, e  x sin  x, (e x,e x cosx, e x sinx) Obecné řešení y = c 1 e x + c 2 ex cosx+ c 3 e x sinx Př. Určete obecné řešení rovnice y´´ - 8y´+ 16y = 0 Charakteristická rovnice = 0 1,2 = 4 ….. kořen dvojnásobný reálný Obecné řešeníy = c 1. e 4x + c 2. x. e 4x

29 29 Př. Řešte rovnici y´´´- 8y = 0s poč. podm. y (0) = 0, y´ (0) =6, y´´ (0) = = 0 1 = 2 2 = -1 + i  3 3 = -1 - i  3 y = c 1 e 2x + c 2 e -x.cos(  3x) + c 3 e -x. sin (  3x) y´ =c 1 2e 2x + c 2 e -x.(-1)cos(  3x) -c 2 e -x  3 sin(  3x) + c 3 e -x.(-1) sin (  3x)+ +c 3 e -x.  3 cos (  3x) y´´ = c 1 4e 2x + c 2 e -x.cos(  3x) +c 2 e -x  3sin(  3x) - -(c 2 e -x  3 sin(  3x)(-1) + c 2 e -x 3 cos(  3x)) + c 3 e -x sin (  3x)+ c 3 e -x.(-1)  3cos (  3x)+ c 3 e -x (-1).  3 cos (  3x)- c 3 e -x.3 sin (  3x) y (0) = c 1 + c 2 =0 y´ (0) =2c 1 -c 2 +  3 c 3 =6 y´´ (0) = 4c 1 + c 2 -3c 2 -  3c 3 -  3c 3 =0

30 30 Řešením soustavy tří lin. rovnic o třech neznámých dostáváme: c 1 = 1, c 2 = -1, c 3 =  3 Obecné řešení: y = e 2x - e -x.cos(x  3) +  3 e -x.sin(x  3) Př. Řešte dif. rovnici čtvrtého řádu y (IV) - 16y = = 0 ( 2 - 4)( 2 +4) = 0 1 = 2, 2 = -2, 3 = 2i, 4 = -2i y = c 1 e 2x + c 2 e -2x + c 3 sin2x + c 4 cos2x

31 31 Lineární diferenciální rovnice n - tého řádu s konstantními koeficienty a nenulovou pravou stranou rovnice tvaru y (n) + a 1 y (n-1) + a 2 y (n-2) +…+ a n-1 y´+a n y= b Metoda pro speciální pravé strany a) b = P(x) e 0 x b) b = P 1 (x) e  0 x cos  0 x + P 2 (x) e  0 x cos  0 x Partikulární řešení existuje ve tvaru a) x k Q(x)e 0 x kde k je násobnost jako kořene charakteristické rovnice Q je polynom, který má stupeň menší nebo roven jako P

32 32 b)x k Q 1 (x) e  0 x cos  0 x + Q 2 (x) e  0 x cos  0 x kde  0 +  0 i je k násobný kořen charakteristické rovnice Q 1,Q 2 polynomy, jejichž stupeň je menší nebo roven P 1,P 2 Obecné řešení je dáno součtem obecného řešení s nulovou pravou stranou a partikulárního řešení. Př. Najděte řešení rovnice y´´ - y´= 1s poč podm.y (0) =2,y´ (0) =0 ch.r. 2 - =1 1 = 1 2 = 0 obecné řeš.y H = c 1 e x +c 2 pravá stranab = 1 …… polynom P je stupně 0 jiný zápisb = (e 0 sin0x + e 0 cos0x), 0 = 0  y p = x.Q(x)e 0x =xa

33 33 Celkové řešení y = y H + y p y = c 1 e x + c 2 + ax Výpočet konstanty y p = ax y´ p = a y´´ p =0 Dosazení do původní rovnice 0 - a = 1 a = -1 tedyy p = -x y = c 1 ex + c 2 - x Dosazení počátečních podmínek y(0) = c 1 + c 2 = 2 y´(0) = c 1 -1 = 0 c1 = c2 = 1 Řešení vyhovující podmínce y = e x x

34 34 Př. Řešte úlohuy´´ + y = x sin x ch.r = 0 1 = i 2 = -i řešení homog. rovnicey H = c 1 cosx + c 2 sin x pravá stranab = x sin x ….. polynom stupně 1 a 0 …..  0 = 0,  0 = 1 partikulární řešeníy p =( ax + b)x cosx + ( cx + d) x sinx řešení konstant y p = ( ax 2 + bx) cosx + ( cx 2 + dx) sinx y´ p = (2ax + b+cx 2 + dx) cos x + ( -ax 2 - bx+ 2cx + d) sinx y´´ p =(2a+2cx +d+2cx+d-ax 2 -bx)cosx + (- 2ax - b + 2c-2ax-b-cx 2 -dx)sinx

35 35 Po dosazení do původní rovnice a vypočtení konstant c = 0,b = 0,a = - 1/4, d = 1/4 y p = -1/4 x 2 cos x + 1/4 x sinx Obecné řešení y = y p + y H = -1/4 x 2 cos x + 1/4 x sinx + c 1 cos x + c 2 sinx Př. y´´ + 3y´+ 2y = x 2 ch.r = 0 1 = -2 2 = -1 y H = c 1 e -x + c 2 e -2x pravá strana: polynom st. 2, 0 = 0, k = 0 y p = ax 2 + bx + c y´ p = 2ax + b y´´ p = 2a Dosazením a = 1/2, b = -3/2, c= 7/4  y = c 1 e -x + c 2 e -2x + 1/2x2 - 3/2x + 7/4

36 36 Některé další metody řešení diferenciálních rovnic vyšších řádů a) Tvar rovnicey (n) = f(x) postupná integrace Př.y´´´= x + 2

37 37 b)snížením řádu diferenciální rovnice Tvar rovniceF(x,y (k),y (k+1),…y (n) ) = 0 substituce tvaru p = y´ Př.xy (IV) + y´´´=0 p = y´´´xp´+ p =0 Řešíme separací proměnných Po dosazení do rovnice y´´´=c/x, dostáváme výsledek postupnou integrací

38 38 y´´=c 1 lnx + c 2 y´= c 1 ( lnx - x) + c 2 x + c 3 y = c 1 x 2 (1/2lnx - 3/4) + c 2 x 2 /2 + c 3 x + c 4


Stáhnout ppt "1 Diferenciální rovnice Lineární diferenciální rovnice –Metoda separace proměnnýchMetoda separace proměnných –Metoda substitučníMetoda substituční –Metoda."

Podobné prezentace


Reklamy Google