Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc."— Transkript prezentace:

1 © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.

2 © Institut biostatistiky a analýz LITERATURA  Holčík,J.: přednáškové prezentace  Proakis,J.G., Rader,C.M., Ling,F., Nikias,C.L.: Advanced Digital Signal Processing. Macmillan Publ. Comp, New York 1992, 608s.  Kay, S.M., Marple, S.L.: Spectrum Analysis - A Modern Perspective. Proc. IEEE, roč.69, č.11, Nov. 1981, s

3 © Institut biostatistiky a analýz

4 I. CO U Ž UMÍME?

5 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL

6 SIGNÁL DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné materiální povahy, nesoucí informaci o stavu systému, který jej generuje, a jeho dynamice.

7 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL  primární oblast popisu (prostor definovaný nezávislými původními proměnnými)– čas, prostorové souřadnice, pořadí  sekundární oblast popisu – transformace (zobrazení) z primární oblasti – vytváříme obraz (latinsky spectrum) signálu

8 © Institut biostatistiky a analýz FREKVEN Č NÍ SPEKTRUM Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci. ! ZAPAMATOVAT NA VĚKY !

9 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL na vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:  vlastnosti signálu v primární oblasti;  transformační vztah

10 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL na vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:  vlastnosti signálu v primární oblasti;  transformační vztah (je paráda, když je lineární!)

11 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL na vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:  vlastnosti signálu v primární oblasti;  transformační vztah (je paráda, když je lineární!) Co to je, když je lineární?

12 © Institut biostatistiky a analýz INTEGRÁLNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE Je-li jádro transformace a(f,t)=e -j2ft, resp. a kn =e -j2kFnT, pak realizujeme rozklad signálu na jeho harmonické složky  Fourierovské spektrum spojitý signáldiskrétní signál (časová řada)

13 © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM jeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu signálu

14 © Institut biostatistiky a analýz ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT !  spojitý periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum – pro rozklad jsme použili Fourierovu řadu;  spojitý jednorázový signál má spojité frekvenční spektrum– pro rozklad jsme použili Fourierovu transformaci. ! A VĚDĚT PROČ ! FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

15 © Institut biostatistiky a analýz ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT !  diskrétní periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum – diskrétní Fourierova transformace;  diskrétní jednorázový signál z nekonečného časového intervalu má spojité frekvenční spektrum – Fourierova transformace s diskrétním časem transformace;  diskrétní jednorázový signál z konečného časového intervalu má diskrétní frekvenční spektrum – diskrétní Fourierova transformace; ! A VĚDĚT PROČ ! FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

16 © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM jeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu signálu:  Signál -1) periodický 2) neperiodický  s konečnou energií;  s nekonečnou energií

17 © Institut biostatistiky a analýz II. SIGNÁLY DALŠÍ POJMY

18 © Institut biostatistiky a analýz ENERGIE  okamžitá práce vykonaná na odporu R: A(t) = u(t).i(t)  podle Ohmova zákona: U = R.I, a tedy můžeme po dosazení psát A(t) = R.i(t). i(t) = R.i 2 (t) = u(t). u(t)/R = u 2 (t)/R. Když je R = 1 Ω je A(t) = i 2 (t) = u 2 (t) a celková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za čas T na jednotkovém odporu je

19 © Institut biostatistiky a analýz ENERGIE  z té úvahy energie spojitého signálu s(t)  energie diskrétního signálu

20 © Institut biostatistiky a analýz VÝKON  výkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj.

21 © Institut biostatistiky a analýz KORELA Č NÍ FUNKCE  vzájemná či křížová korelační funkce (cross-correlation function) dvou periodických signálů (funkcí) o téže periodě T je definována  popisuje podobnost průběhů obou signálů v závislosti na jejich posunutí  je periodická s periodou T

22 © Institut biostatistiky a analýz KORELA Č NÍ FUNKCE  Vypočtěte vzájemnou korelační funkci signálů s 1 (t)=2cos2t a s 2 (t)=sin2t. Oba signály mají tutéž periodu T=1, takže

23 © Institut biostatistiky a analýz KORELA Č NÍ FUNKCE  výpočet korelační funkce má smysl i v případě, že jsou oba signály totožné – autokorelační funkce  Vypočtěte autokorelační funkci signálu s(t)=C.cos(ωt+φ)

24 © Institut biostatistiky a analýz KORELA Č NÍ FUNKCE  vypočtená korelační funkce je:  sudá;  periodická s periodou T;  R(0) je rovno kvadrátu efektivní hodnoty signálu;   R : R(0)  R().  tyto čtyři vlastnosti mají autokorelační funkce všech periodických signálů.

25 © Institut biostatistiky a analýz KORELA Č NÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCES Ů  korelační funkce R(t 1,t 2 ) je mírou souvztažnosti mezi hodnotami náhodného procesu v okamžiku t 1 a hodnotami náhodného procesu v okamžiku t 2. Může být spočítána pomocí vztahu  kovarianční funkce (covariance function) K(t 1,t 2 ) je mírou souvztažnosti mezi odchylkami náhodného procesu v okamžiku t 1 od m(t 1 ) a odchylkami náhodného procesu v okamžiku t 2 od m(t 2 ). Může být spočítána pomocí vztahu

26 © Institut biostatistiky a analýz  tyto poměrně obecné vztahy se mohou zjednodušit, pokud se zjednoduší vlastnosti náhodných procesů  stacionarita ergodicita KORELA Č NÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCES Ů

27 © Institut biostatistiky a analýz STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU zhruba:  stacionární náhodný proces (stationary random process) je proces se stálým chováním

28 © Institut biostatistiky a analýz přesněji:  stacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách časových intervalů mezi okamžiky t 1 a t 2 ) v tom případě, tj. s  = t 2 – t 1, můžeme funkce p(x 1,x 2,t 1,t 2 ), R(t 1,t 2 ) a K(t 1,t 2 ) nahradit funkcemi p(x 1,x 2,  ), R(  ) a K(  ) STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU

29 © Institut biostatistiky a analýz Ergodický náhodný proces (ergodic random process) se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají stejné statistické vlastnosti (stejné chování) – to umožňuje odhadovat parametry náhodného procesu z jediné libovolné realizace  aritmetický průměr nebo Odhad bude tím věrohodnější, čím bude úsek T delší. ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

30 © Institut biostatistiky a analýz  disperze  autokorelační funkce  křížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a y(t) ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

31 © Institut biostatistiky a analýz  křížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a y(t)  pro diskrétní případ ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

32 © Institut biostatistiky a analýz III. PRINCIPY TOHO, JAK NA TO

33 © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA  opakování  periodický signál

34 © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA  opakování  periodický signálnení to pod vaší úroveň?!

35 © Institut biostatistiky a analýz  opakování  periodický signálFourierova řada  neperiodický signál  s konečnou energií SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA

36 © Institut biostatistiky a analýz SPOJITÝ SIGNÁL  Fourierova transformace Parsevalova věta spektrální hustota energie S xx (f)

37 © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA ENERGIE autokorelační funkce signálu x a (t) obě funkce tvoří Fourierovský pár pro autokorelační funkci a spektrální hustotu energie platí:

38 © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ SIGNÁL X(nT), definovaný na nekonečném intervalu n  -  ;  ; je frekvenčně omezený na pásmo o šířce  B  vzorkovací frekvence F = 1/T > 2B x(nT) = x a (nT) = ? x(n) energie diskrétního signálu

39 © Institut biostatistiky a analýz Vztah spektra analogového a diskrétního signálu: DISKRÉTNÍ SIGNÁL Spektrální vyjádření diskrétního signálu spektrální periodicita

40 © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ SIGNÁL

41 © Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SIGNÁLU

42 © Institut biostatistiky a analýz RAYLEIGHOVA V Ě TA

43 © Institut biostatistiky a analýz WIENER-KHINCHINOVA V Ě TA

44 © Institut biostatistiky a analýz  z toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodického signálu s konečnou energií lze spočítat dvěma způsoby:  přímá metoda: S xx (f) = |X(f)| 2 = |T.Σx(nT).exp(-2πjfnT)| 2  nepřímá metoda: 1) R xx (mT) = T. Σx(nT). x(nT+mT); 2) S xx (f) = ΣR xx (mT).exp(-2πjfmT) DISKRÉTNÍ SIGNÁL

45 © Institut biostatistiky a analýz NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONE Č NOU ENERGIÍ (je to vůbec možné ?!?!?) SPOJITÝ SIGNÁL: není konečná energie  není definována F.T.  není F. spektrum

46 © Institut biostatistiky a analýz VÝKONOVÝ EXKURZ: střední výkon periodického signálu: neperiodický signál je takový periodický signál, jehož perioda T 0   střední výkon neperiodického signálu je-li E< , pak P  0 (nezajímavé); E> , pak P=lim /  = K0, )  =   NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONE Č NOU ENERGIÍ

47 © Institut biostatistiky a analýz  spektrální hustota výkonu:  Wiener-Khinchinovy vztahy: kde AKF náhodných stacionárních ergodických procesů NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONE Č NOU ENERGIÍ

48 © Institut biostatistiky a analýz  odhad pouze z konečného intervalu  odhad spektrální hustoty výkonu ze signálu v konečném intervalu NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONE Č NOU ENERGIÍ

49 © Institut biostatistiky a analýz  DISKRÉTNÍ SIGNÁL  vzorkováním signálu x a (t) vzorkovací frekvencí F > 2f max ;  výsledná posloupnost x nT má N hodnot (0  n  N-1) NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONE Č NOU ENERGIÍ

50 © Institut biostatistiky a analýz  odhad spektrální hustoty výkonu z konečné posloupnosti (nepřímá metoda)  odhady AK posloupnosti: NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONE Č NOU ENERGIÍ

51 © Institut biostatistiky a analýz  periodogram (Schuster 1898) (přímá metoda) NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONE Č NOU ENERGIÍ


Stáhnout ppt "© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc."

Podobné prezentace


Reklamy Google