Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Matice. Matice typu n  m m, n jsou přirozená čísla a ij  R pro každé i = 1, …, n a každé j = 1, …, m (a ij ) =

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Matice. Matice typu n  m m, n jsou přirozená čísla a ij  R pro každé i = 1, …, n a každé j = 1, …, m (a ij ) ="— Transkript prezentace:

1 Matice

2 Matice typu n  m m, n jsou přirozená čísla a ij  R pro každé i = 1, …, n a každé j = 1, …, m (a ij ) =

3 m  n obdélníková matice typu n  m m = n čtvercová matice řádu n prvek a ij stojí v matici na místě ij

4 Totožné matice říkáme, že se rovnají mají stejný typ jejich prvky na odpovídajících místech jsou stejné

5 řádek matice a sloupec matice termíny používáme v obvyklém smyslu matice typu n  m má tedy n řádků a m sloupců hlavní diagonála - prvky a 11, a 22, …, a nn

6 Součet dvou matic A = (a ij ) a B = (b ij ) obě matice jsou typu n  m A + B = (a ij + b ij ) je typu n  m na místě ij má součet prvků stojících v maticích A a B na místě ij matice sčítáme po složkách

7 Příklad A = B = C = A + B = B + C, A + C není definováno

8 Součin matic A, B (v tomto pořadí) A = (a is ) je matice typu n  m B = (b sj ) matice typu m  k AB = typu n  k na místě ij je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B řádky matice A mají stejný počet prvků jako sloupce matice B (m)

9 Příklad A = AC = = C =

10 Příklad CA není definováno A =

11 Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA. Jsou ‑ li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a B čtvercové matice stejného řádu. Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích.

12 Matice A a B mají definovaný součet právě tehdy, mají-li matice A a B stejný typ. Součet A + B má potom stejný typ jako matice A a B. Součin AB matic A, B je definován jen tehdy, má-li matice A stejný počet sloupců jako matice B řádků; součin AB má pak stejný počet řádků jako matice A a stejný počet sloupců jako matice B.

13 Pro sčítání a násobení matic platí: 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. AB  BA 4. A(BC) = (AB)C 5. A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC

14 Nulová matice typu n  m matice O = (a ij ), kde a ij = 0 pro každé i = 1, …, n a j = 1, …, m O =

15 Opačná matice k matici A = (a ij ) typu m  n matice – A = ( – a ij ) stejného typu –A =

16 O je nulová matice typu n  m A je matice typu n  m A + O = O + A = A A + (–A) = (–A) + A = O

17 Jednotkov á matice řádu n matice E = (  ij ), kde  ij = 1pro i, j = 1, …, n, i = j  ij = 0pro i, j = 1, …, n, i  j E =

18 E je jednotková matice řádu n m je přirozené číslo pro každou matici A typu n  m EA = A pro každou matici B typu m  n BE = B pro každou čtvercovou matici C řádu n CE = EC = C

19 N á soben í matic skal á ry A = (a ij ) je matice typu n  m c je reálné číslo cA = (c.a ij ) c-násobek matice A cA je typu n  m na místě ij má c-násobek prvku, který v matici A stojí na místě ij

20 Příklad A = –2A =

21 A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit; c, d  R Potom platí: 1. c(A + B) = cA + cB 2. (c + d)A = cA + dA 3. (cd)A = c(dA) 4. c(AB) = (cA)B = A(cB)

22 Transponovaná matice k matici A A = (a ij ) je matice typu n  m A T = (b ji ) typu m  n, kde pro každé i = 1, …, n a j = 1, …, m b ji = a ij

23 Příklad A = A T =

24 A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit, c  R Potom platí: 1. (A + B) T = A T + B T 2. (AB) T = B T A T 3. (cA) T = cA T 4. (A T ) T = A

25 Hodnost matice Elementární úpravy

26 Diagonální matice každá matice, která má mimo hlavní diagonálu samé nuly Př.:

27 odstupňovaná matice každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející (pokud tento existuje) druhý řádek (pokud existuje) začíná alespoň jednou nulou třetí řádek začíná alespoň dvěmi nulami i-tý řádek alespoň (i – 1) nulami

28 Odstupňované matice

29 horní trojúhelníková A = (a ij ) je čtvercová matice řádu n pro každé i, j = 1,..., n, i > j, je a ij = 0 Př.:

30 dolní trojúhelníková A = (a ij ) je čtvercová matice řádu n pro každé i, j = 1,..., n, i < j, je a ij = 0 Př.:

31 Hodnost matice A Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A Značíme h(A)

32 Hodnost matice A T h(A) = h(A T ) Transponováním se hodnost matice nemění. Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A T Maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A

33 Řádkové elementární úpravy matice Výměna dvou řádků. Vynásobení některého řádku nenulovým číslem. Přičtení c-násobku jednoho řádku k jinému řádku (c  R). Podobně definujeme sloupcové elementární úpravy.

34 ekvivalentní matice A, B jednu z nich lze převést v druhou konečným počtem elementárních úprav Označujeme: A  B h(A) = h(B) Provádění řádkových a sloupcových elementárních úprav nemění hodnost matice.

35 Hodnost matice A typu n  m h(A)  min(n, m)

36 Regulární matice čtvercová matice řádu n h(A) = n

37 Singulární matice čtvercová matice řádu n h(A) < n

38 Praktický výpočet hodnosti matice: Pomocí elementárních úprav převedeme danou matici na odstupňovaný tvar. Vynecháme nulové řádky. Počet nenulových řádků v této matici je roven její hodnosti (řádky v odstupňované matici jsou lineárně nezávislé).

39 Praktický výpočet hodnosti matice: Jestliže je hodnost h matice A stejná jako počet řádků matice n (h = n), jsou řádky matice A lineárně nezávislé. Jestliže h < n, jsou řádky lineárně závislé a lze mezi nimi vybrat nejvýše h lineárně nezávislých řádků.

40 Inverzní matice

41 Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA. Jsou ‑ li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a B čtvercové matice stejného řádu. Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích. Je-li navíc AB = BA = E, říkáme, že matice B je inverzní k matici A a značíme ji A -1.

42 Inverzní matice Inverzní maticí k matici A budeme rozumět matici A -1, pro kterou je AA -1 = A -1 A = E. Matice A, ke které inverzní matice existuje, se nazývá invertibilní. Inverzní matice k invertibilní matici A je maticí A určena jednoznačně.

43 Invertibilní matice A = A -1 = B -1 = B =

44 Invertibilní matice čtvercová řádu n regulární h(A) = n Matice není invertibilní: obdélníková singulární h(A) < n

45 (AB) -1 = B -1 A -1 A, B jsou invertibilní matice řádu n. Potom rovněž matice AB je invertibilní a je (AB) -1 = B -1 A -1 Důkaz: (AB).(B -1 A -1 ) = A(BB -1 )A -1 = AEA -1 = AA -1 = E a podobně (B -1 A -1 ).AB = E Matice AB a B -1 A -1 jsou tedy navzájem inverzní.

46 (A T ) -1 = (A -1 ) T Jestliže je A čtvercová invertibilní matice, potom je matice A T rovněž invertibilní a je (A T ) -1 = (A -1 ) T

47 Praktický výpočet inverzní matice: Převedeme-li řádkovými elementárními úpravami matici A v jednotkovou matici E, pak tytéž elementární úpravy převedou jednotkovou matici E v matici inverzní A -1.

48 Praktický výpočet inverzní matice: Zapíšeme vedle sebe danou matici A a matici jednotkovou E. Postupně provádíme takové řádkové elementární úpravy, které nám převedou matici A na jednotkovou matici E. Každou úpravu, kterou provedeme v matici A, provedeme také v matici E. Nejprve postupujeme směrem shora dolů a snažíme se, abychom v matici A na hlavní diagonále dostali samé jedničky a pod hlavní diagonálou samé nuly. Poté postupujeme zdola nahoru tak, aby i nad hlavní diagonálou byly samé nuly. Takto získáme na místě matice A jednotkovou matici E. Na místě původní jednotkové matice E je potom hledaná inverzní matice A -1.

49 K matici A najděte matici inverzní  

50   

51 maticová rovnice AX = B AX = B A -1 AX = A -1 B AXA -1 = BA -1 EX = A -1 B X = A -1 B zkouška: l = AA -1 B = EB = B p = B

52 maticová rovnice XA = B XA = B XAA -1 = BA -1 A -1 XA= A -1 B XE = BA -1 X = BA -1 zkouška: l = BA -1 A = BE = B p = B

53 Určete matici X, která vyhovuje rovnici XA = B, kde A = B = XA = B  X = B A -1 A -1 = X = =


Stáhnout ppt "Matice. Matice typu n  m m, n jsou přirozená čísla a ij  R pro každé i = 1, …, n a každé j = 1, …, m (a ij ) ="

Podobné prezentace


Reklamy Google