Matice.

Prezentace na téma: "Matice."— Transkript prezentace:

1 Matice

2 Matice typu n  m m, n jsou přirozená čísla
aijR pro každé i = 1, …, n a každé j = 1, …, m (aij) =

3 m  n obdélníková matice typu n  m
m = n čtvercová matice řádu n prvek aij stojí v matici na místě ij

4 Totožné matice říkáme, že se rovnají mají stejný typ
jejich prvky na odpovídajících místech jsou stejné

5 řádek matice a sloupec matice
termíny používáme v obvyklém smyslu matice typu n  m má tedy n řádků a m sloupců hlavní diagonála - prvky a11, a22, …, ann

6 Součet dvou matic A = (aij) a B = (bij)
obě matice jsou typu n  m A + B = (aij + bij) je typu n  m na místě ij má součet prvků stojících v maticích A a B na místě ij matice sčítáme po složkách

7 Příklad A = B = C = A + B = B + C, A + C není definováno

8 Součin matic A, B (v tomto pořadí)
A = (ais) je matice typu n  m B = (bsj) matice typu m  k AB = typu n  k na místě ij je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B řádky matice A mají stejný počet prvků jako sloupce matice B (m)

9 Příklad A = AC = = C =

10 Příklad C = CA není definováno A =

11 Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA.
Jsou‑li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a B čtvercové matice stejného řádu. Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích.

12 Matice A a B mají definovaný součet právě tehdy, mají-li matice A a B stejný typ. Součet A + B má potom stejný typ jako matice A a B. Součin AB matic A, B je definován jen tehdy, má-li matice A stejný počet sloupců jako matice B řádků; součin AB má pak stejný počet řádků jako matice A a stejný počet sloupců jako matice B.

13 Pro sčítání a násobení matic platí:
A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C AB  BA A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC

14 Nulová matice typu n  m matice O = (aij), kde aij = 0 pro každé i = 1, …, n a j = 1, …, m O =

15 Opačná matice k matici A = (aij) typu m  n
matice –A = (–aij) stejného typu –A =

16 O je nulová matice typu n  m A je matice typu n  m
A + O = O + A = A A + (–A) = (–A) + A = O

17 Jednotková matice řádu n
matice E = (ij), kde ij = 1 pro i, j = 1, …, n, i = j ij = 0 pro i, j = 1, …, n, i  j E =

18 E je jednotková matice řádu n m je přirozené číslo
pro každou matici A typu n  m EA = A pro každou matici B typu m  n BE = B pro každou čtvercovou matici C řádu n CE = EC = C

19 Násobení matic skaláry
A = (aij) je matice typu n  m c je reálné číslo cA = (c.aij) c-násobek matice A cA je typu n  m na místě ij má c-násobek prvku, který v matici A stojí na místě ij

20 Příklad A = –2A =

21 A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit; c, d  R
Potom platí: c(A + B) = cA + cB (c + d)A = cA + dA (cd)A = c(dA) c(AB) = (cA)B = A(cB)

22 Transponovaná matice k matici A
A = (aij) je matice typu n  m AT = (bji) typu m  n , kde pro každé i = 1, …, n a j = 1, …, m bji = aij

23 Příklad A = AT =

24 A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit, c  R
Potom platí: (A + B)T = AT + BT (AB)T = BTAT (cA)T = cAT (AT)T = A

25 Hodnost matice Elementární úpravy

26 Diagonální matice každá matice, která má mimo hlavní diagonálu samé nuly Př.:

27 odstupňovaná matice každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející (pokud tento existuje) druhý řádek (pokud existuje) začíná alespoň jednou nulou třetí řádek začíná alespoň dvěmi nulami i-tý řádek alespoň (i – 1) nulami

28 Odstupňované matice

29 horní trojúhelníková A = (aij) je čtvercová matice řádu n
pro každé i, j = 1, ..., n, i > j, je aij = 0 Př.:

30 dolní trojúhelníková A = (aij) je čtvercová matice řádu n
pro každé i, j = 1, ..., n, i < j, je aij = 0 Př.:

31 Hodnost matice A Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A
Značíme h(A)

32 h(A) = h(AT) Transponováním se hodnost matice nemění.
Hodnost matice AT h(A) = h(AT) Transponováním se hodnost matice nemění. Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice AT Maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A

33 Řádkové elementární úpravy matice
Výměna dvou řádků. Vynásobení některého řádku nenulovým číslem. Přičtení c-násobku jednoho řádku k jinému řádku (c  R). Podobně definujeme sloupcové elementární úpravy.

34 ekvivalentní matice A, B
jednu z nich lze převést v druhou konečným počtem elementárních úprav Označujeme: A  B h(A) = h(B) Provádění řádkových a sloupcových elementárních úprav nemění hodnost matice.

35 Hodnost matice A typu n  m
h(A)  min(n, m)

36 Regulární matice čtvercová matice řádu n h(A) = n

37 Singulární matice čtvercová matice řádu n h(A) < n

38 Praktický výpočet hodnosti matice:
Pomocí elementárních úprav převedeme danou matici na odstupňovaný tvar. Vynecháme nulové řádky. Počet nenulových řádků v této matici je roven její hodnosti (řádky v odstupňované matici jsou lineárně nezávislé).

39 Praktický výpočet hodnosti matice:
Jestliže je hodnost h matice A stejná jako počet řádků matice n (h = n), jsou řádky matice A lineárně nezávislé. Jestliže h < n, jsou řádky lineárně závislé a lze mezi nimi vybrat nejvýše h lineárně nezávislých řádků.

40 Inverzní matice

41 Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA.
Jsou‑li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a B čtvercové matice stejného řádu. Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích. Je-li navíc AB = BA = E, říkáme, že matice B je inverzní k matici A a značíme ji A-1.

42 Inverzní matice Inverzní maticí k matici A budeme rozumět matici A-1, pro kterou je AA-1 = A-1A = E. Matice A, ke které inverzní matice existuje, se nazývá invertibilní. Inverzní matice k invertibilní matici A je maticí A určena jednoznačně.

43 Invertibilní matice A-1 = A = B-1 = B =

44 Matice není invertibilní:
Invertibilní matice čtvercová řádu n regulární h(A) = n Matice není invertibilní: obdélníková singulární h(A) < n

45 (AB)-1 = B-1 A-1 A, B jsou invertibilní matice řádu n. Potom rovněž matice AB je invertibilní a je (AB)-1 = B-1 A-1 Důkaz: (AB).(B-1 A-1) = A(BB-1)A-1 = AEA-1 = AA-1 = E a podobně (B-1 A-1).AB = E Matice AB a B-1 A-1 jsou tedy navzájem inverzní.

46 (AT)-1 = (A-1)T Jestliže je A čtvercová invertibilní matice, potom je matice AT rovněž invertibilní a je (AT)-1 = (A-1)T

47 Praktický výpočet inverzní matice:
Převedeme-li řádkovými elementárními úpravami matici A v jednotkovou matici E, pak tytéž elementární úpravy převedou jednotkovou matici E v matici inverzní A-1.

48 Praktický výpočet inverzní matice:
Zapíšeme vedle sebe danou matici A a matici jednotkovou E. Postupně provádíme takové řádkové elementární úpravy, které nám převedou matici A na jednotkovou matici E. Každou úpravu, kterou provedeme v matici A, provedeme také v matici E. Nejprve postupujeme směrem shora dolů a snažíme se, abychom v matici A na hlavní diagonále dostali samé jedničky a pod hlavní diagonálou samé nuly. Poté postupujeme zdola nahoru tak, aby i nad hlavní diagonálou byly samé nuly. Takto získáme na místě matice A jednotkovou matici E. Na místě původní jednotkové matice E je potom hledaná inverzní matice A-1.

49 K matici A najděte matici inverzní
 

50   

51 maticová rovnice AX = B AX = B A-1AX = A-1B AXA-1= BA-1 EX = A-1B
zkouška: l = AA-1B = EB = B p = B

52 maticová rovnice XA = B XA = B XAA-1 = BA-1 A-1XA= A-1B XE = BA-1
X = BA-1 zkouška: l = BA-1A = BE = B p = B

53 Určete matici X, která vyhovuje rovnici XA = B, kde
XA = B  X = B A-1 X = = A-1 =