Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 09 Matice II Matematika I. KIG / 1MAT1.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 09 Matice II Matematika I. KIG / 1MAT1."— Transkript prezentace:

1 Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 09 Matice II Matematika I. KIG / 1MAT1

2 O čem budeme hovořit: Jednotková matice Inverzní matice Struktura regulárních matic Maticové vyjádření soustavy lineárních rovnic Maticové řešení regulární soustavy lineárních rovnic

3 Jednotková matice

4 Tvar jednotkové matice Mějme libovolnou matici A typu (m,p) a hledejme takovou matici E, pro kterou platí: A. E = A. Typ matice E musí být (p,p), je to tedy čtvercová matice. Proč? Abychom splnili požadovanou rovnost, prvky inverzní matice na hlavní diagonále budou rovny číslu 1 a všechny ostatní prvky budou rovny číslu 0. Proč? Jaký tvar bude mít matice E, pro kterou má platit, že E. A = A ?

5 Inverzní matice

6 Typ a existence inverzní matice Součin matic typů (m,p) a (p,n) je matice typu (m,n). Matice A a její inverzní matice A -1 musí splňovat vztahy A. A -1 = E a A -1. A = E, kde E je jednotková (čtvercová matice). Odtud plyne, že m = p = n. Inverzní matice tedy může existovat jen ke čtvercové matici, a má stejný typ. Lze dokázat větu: Čtvercová matice má inverzní matici právě tehdy, když je regulární.

7 Postup výpočtu inverzní matice Nechť je dána regulární matice A typu (n,n). Její inverzní matice A -1 vypočítáme tímto způsobem: Vytvoříme matici A  E typu (n, 2n). Tuto matici budeme upravovat pomocí těchto úprav: řádek vynásobit libovolným nenulovým číslem, k řádku přičíst nenulový násobek jiného řádku. Cílem je získat „vlevo“ jednotkovou matici E. Výsledná matice má pak tvar E  A -1.

8 Příklad výpočtu inverzní matice Začneme upravovat matici: Po úpravách získáme matici: Jednotkovou matici budeme získávat po sloupcích a vždy začneme vytvořením jedničky na diagonále. O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit násobením (v obojím pořadí). Inverze matice.xlsInverze matice.xls

9 Struktura regulárních matic

10 Struktura regulárních čtvercových matic typu (n,n) s operací násobení je nekomutativní grupa. Poznámka: Je nerozumné hovořit u regulárních matice o struktuře s dvěma operacemi, protože sečtením dvou regulárních matic můžeme získat singulární matici. (Zkonstruujte si příklad.)

11 Maticové vyjádření soustavy lineárních rovnic

12 Příklad Soustavou lineárních rovnic je například: 2x + 3u – v = 2 x – 2y + 2u – 4v = 0 u – v = – 2 Této soustavě odpovídá matice soustavy (koeficienty u neznámých) a matice (sloupec) pravých stran:

13 Maticová formulace soustavy Snadno se přesvědčíme se, že tuto soustavu 2x + 3u – v = 2 x – 2y + 2u – 4v = 0 u – v = – 2 můžeme vyjádřit pomocí násobení matic takto:

14 Maticové řešení regulární soustavy lineárních rovnic

15 Řešení regulární soustavy Nechť má soustava tvar A. X = B, kde matice A je regulární, což znamená, že má inverzní matici A -1. Řešme maticovou rovnici: A. X = B A -1. (A. X) = A -1. B (A -1. A). X = A -1. B E. X = A -1. B Řešení soustavy.xls X = A -1. BŘešení soustavy.xls Aplikace.xls

16 Co je třeba znát a umět? Pojem jednotkové matice, pojem inverzní matice, její výpočet, vlastnosti, vlastnosti struktury regulárních matic, znát maticový zápis soustavy lineárních rovnic, rozumět maticovému řešení regulární soustavy.

17 Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 09 Matice II Matematika I. KIG / 1MAT1."

Podobné prezentace


Reklamy Google