Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

CW – 13 LOGISTIKA Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2014 13. PŘEDNÁŠKA Teorie.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "CW – 13 LOGISTIKA Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2014 13. PŘEDNÁŠKA Teorie."— Transkript prezentace:

1 CW – 13 LOGISTIKA Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. Březen PŘEDNÁŠKA Teorie front + HO

2 SYSTÉMY HROMADNÉ OBSLUHY – teorie front březen 2014 ☼☺☼☺ Teorie front - HO ….. další oblastí jsou

3 březen 2012 Zkoumají se systémy, ve kterých dochází k realizaci obsluhy požadavků přicházejících do systému na obslužných zařízeních (linkách, stanicích). Ty mají omezenou kapacitu obsluhy. Požadavky vstupují do systému s různou intenzitou. Teorie front - HO

4 březen 2010 V závislosti na vztahu kapacity obslužných zařízení a intenzity příchodu požadavku muže docházet před obslužnými linkami k hromadění požadavku, k vytváření front. Odtud alternativní název této disciplíny teorie front Teorie front - HO

5 březen 2012 Úvodem trochu o jiném: Multiagentní sociální simulace někdy také Multiagentní modely sociálních organizací (Agent Based Social Simulation (ABSS)) je vědecká disciplína zabývající se simula- cemi sociálních fenoménů prostřednictvím multiagentních modelů za využití počítačů. Teorie front - HO

6 březen 2012 Multiagentní sociální simulace (ABSS) vznikají jako kombinace tří vědeckých přístupů: - sociálních věd - počítačového simulování - multiagentních simulací (MAS). Teorie front - HO

7 březen 2012 Princip multiagentní simulace Princip multiagentní simulace spočívá ve využití tzv. agentů, což jsou (v tomto případě softwarové a typicky také heterogenní) autonomní entity s relativně jednoduchým chováním, reprezentující reálné jednotky sle- dovaného systému, situované do definované- ho kontextu prostředí, ve kterém jednají a reagují (zpravidla agenti reagují mezi sebou skrze prostředí, kterému se mohou v čase adaptovat). Teorie front - HO

8 březen 2014 Jinými slovy jde o obor využívající multia- gentní modelování k sociálním simulacím. Lidský jedinec je modelován jako agent, implementovaný většinou v podobě soft- warového agenta. Teorie front - HO Agent či agentka (franc. činitel, jednatel, pověřenec, z lat. agere = jednat, působit) **** **** agent (teorie systémů) – celek schopný samo- statného jednání v závislosti na okolních podnětech. (WIKIPEDIA) Několik vysvětlujících poznámek

9 březen 2014 Multiagentní systém (Multi-agent system = MAS) je simulované prostředí se síťovým charakterem, v němž dochází k interakci určitých typů aktérů (agentů) mezi sebou a/nebo s prostředím, ve kterém se nacházejí. Agenti řeší společně problémy, které přesahuji možnosti a znalosti každého z nich. Teorie front - HO (WIKIPEDIA)

10 březen 2012 Multiagentní modelování je jednou z výpočetních forem vědeckého modelování, kterou umožnil až rozvoj moderní výpočetní techniky především v posledních dvou desetiletích 20. století. Teorie front - HO (WIKIPEDIA)

11 březen 2012 Multiagentní modely tedy výstupy modelovacích činností, spadající do obecnější kategorie multiagentních systémů, slouží především k simulaci komplexních systémů v různých zájmových oblastech (ekonomie, biologie, sociální vědy), které jsou jinými způsoby výzkumu těžko uchopitelné. Teorie front - HO (WIKIPEDIA)

12 březen 2014 prostředím Tímto prostředím mohou být různé formy sítí a mřížek, vybrané podle sledovaného cíle a zvolených předpokladů, které by měly odpovídat simulované realitě. Simulace je pak spuštěna a sledována v diskrétním čase. A v každém časovém kroku se vyhodnocuje chování všech agentů a stav prostředí v závislosti na jejich výchozích parametrech, případně jsou parametry ovlivňovány přímo v průběhu simulace. Teorie front - HO (WIKIPEDIA)

13 březen 2014 Teorie front - HO Toto modelování je tzv. bottom-up = přístup tvorby „odspoda nahoru“ (z mikro na makro úroveň) – tj., že místo předem plá- novaného chování modelu systému jako celku může z poměr- ně jednoduchého chování množství agentů dojít k emergenci neplánovaného globálního chování, které se jeví jako cílově orientované (někdy označováno jako reaktivní plánování). Emergence (z lat. e-mergere, vynořovat se, vyvstávat) zna- mená spontánní vznik makroskopických vlastností a struktur složitých systémů = nesnadné odvození z vlastností složek (WIKIPEDIA)

14 březen 2012 Teorie front - HO Jednou z hlavních výhod multiagentního modelování je fakt, že (na rozdíl od klasických analytických modelů) umožňuje simulaci včetně sledování vývoje systému. Analytické modely sestávají především z diferenčních a di- ferenciálních rovnic, které popisují systém jako celek – s jejich pomocí jsou hledány rovnovážné body. V případě multiagentních modelů je možné sledovat také trajektorii systému vypovídající mnohem více i o chování. (WIKIPEDIA)

15 březen 2012 Teorie front - HO Možnosti využití multiagentních modelů u systémů: - které nemají rovnovážné stavy, tedy ani analytické řešení, případně tam, kde by musel být systém popsán řádově příliš mnoha rovnicemi na to, aby je bylo možné vyřešit. - které lze popsat a řešit analyticky a multiagentní model se stává pouze doplňkovým nástrojem, sloužícím k ověření a prezentaci výsledků, získaných klasickým způsobem - kdy sice můžeme získat klasickými metodami rovnovážné stavy, ale z hlediska zkoumání nás více zajímá samotná dynamika systému - můžeme tak lépe objasnit strukturu stavového prostoru (WIKIPEDIA)

16 březen 2011 Teorie front - HO

17 březen 2011 Teorie front - HO Schéma multia- gentní sociální simulace

18 březen 2012 A jak to souvisí s tématem Teorie front – Hromadné ovládání ….. ? Teorie front - HO mimo klasické, že VŠE souvisí se VŠÍM, …….. tak pro svou ujasněnou koncepci a systémovost při tvorbě a používání modelů i simulací.

19 březen 2014 Takže se vraťme „ke kořenům“ ……. k teorii front a k hromadné obsluze Teorie front - HO co přináší a jak s ní pracovat ……. A začneme s jejím klasickým zobrazením

20 březen 2013 Cílem zkoumání systémů hromadné obsluhy (HO) jsou systémy, ve kterých dochází k realizaci obsluhy požadavků vstupujících do systému s různou intenzitou a přicházejících do systému obslužných zařízení (linky, stanice) s omezenou kapacitou obsluhy. V závislosti na vztahu kapacity obslužných zařízení a intenzity příchodu požadavků může docházet před obslužnými linkami k hromadění požadavků = k vytváření front. Teorie front - HO

21 březen 2014 Cílem zkoumání systému hromadné obsluhy (HO) je jejich analýza s ohledem na efektivní fungování systému, tj. aby se před obslužnými linkami nevytvářely příliš velké fronty čekajících požadavku a na druhé straně, aby nedocházelo k prostojům obslužných linek. V některých případech lze prostoje linek/stanic, jejich provoz nebo i čekání požadavků nákladově ohodnotit. Pak lze celý systém optimalizovat vzhledem k jeho celkovým nákladům. Teorie front - HO

22 březen 2010 Schéma systému hromadné obsluhy Teorie front - HO

23 březen 2010 systém hromadné obsluhy – vícefázový - paralelní kanály obsluhy fáze 2 zdroj poža- davků fáze 1 μ0μ0 μ0μ0 λ0λ0 Teorie front - HO

24 březen 2011 Příklady systémů hromadné obsluhy systém obslužné linky požadavky ordinace lékař pacienti banka úředníci klienti hypermarket pokladny zákazníci benzínová pumpa čerpací stojany vozidla telefonní centrála telefonní linky volající výrobní hala výrobní linky výrobky podniková údržba údržbáři stroje Teorie front - HO

25 březen 2010 Prvky charakterizující systémy hromadné obsluhy Zdroj požadavku Příchod požadavku do systému Doba trvání obsluhy Sít obslužných linek Režim fronty Teorie front - HO

26 březen 2010 Zdroj požadavku Např. u lékaře v nemocnici nebo v hyper- marketu je počet pacientu nebo zákazníku sice konečný, ale vzhledem k tomu, že se jedná o stovky nebo dokonce o tisíce, pova- žujeme jej za neohraničený. Naopak, má-li např. nějaká firma 10 strojů, které je třeba udržovat a opravovat, je zdroj požadavku ohraničený. Teorie front - HO

27 březen 2010 Příchod požadavku do systému Příchody lze popsat buď pomocí intenzity příchodu (počet poža- davku, které do systému přijdou za časovou jednotku), nebo pomocí intervalu mezi příchody (čas mezi dvěma po sobe následujícími příchody). Obě veličiny spolu úzce souvisejí. Systém HO

28 březen 2010 Např.: pokud přijde do systému za hodinu prů- měrně 10 požadavků, pak průměrný interval mezi příchody je 1/10 hodiny = 6 minut. Systém HO

29 březen 2010 Veličiny mohou být deterministické – deterministické = intervaly jsou stále stejné, např. u automatické výrobní linky lze fixní intervaly zabezpečit stochastické – stochastické = intervaly jsou proměnlivé, ostatní příklady, kdy fixní časy zabezpečit nelze. Systém HO

30 březen 2010 pravděpodobnostního rozdělení intervalu Určení pravděpodobnostního rozdělení intervalu mezi příchody je nezbytné pro- vádět na základě statistické analýzy em- pirických dat. exponenciální V mnoha praktických aplikacích vyhovuje exponenciální rozdělení charakterizované jediným parametrem. Systém HO

31 březen 2012 pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnosti lze chápat jako zobrazení, které každému elementár- nímu jevu přiřazuje určité reálné číslo, které charakterizuje pravděpodobnost tohoto jevu. Pravděpodobnost Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, které je mírou očekávatelnosti výskytu jevu. Systém HO – matematické připomenutí Několik dalších vysvětlujících poznámek

32 březen 2012 Klasická (Laplaceova) definice pravdě- podobnosti Nechť náhodný pokus splňuje předpoklady: - všech možných výsledků je konečný počet - všechny výsledky jsou stejně možné - všechny výsledky se vzájemně vylučují. Laplace uvedenou definici předložil jen jako jednoduchý a názorný zvláštní případ výpočetu hodnoty pravděpodobnosti. Systém HO – matematické připomenutí

33 březen 2012 Rozdělení pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnosti je funkce, která přiřazuje pravděpodobnosti událostem nebo tvrzením. Pro každou sadu událostí existuje mnoho způsobů, jak přiřadit pravděpodobnost, takže výběr rozdělení odpovídá různým předpokladům o události. Systém HO – matematické připomenutí

34 březen 2012 Pravděpodobnost Pravděpodobnost události se obecně označuje reálným číslem od 0 do 1. Událost, která nemůže nastat, má pravděpodobnost 0, a naopak jistá událost má pravděpodobnost 1. Někdy se kvůli názornosti pravděpodobnost uvádí v procentech, tedy setinách klasického vyjádření. Systém HO – matematické připomenutí

35 březen 2012 Existuje několik způsobů, jak vyjádřit rozdělení pravděpodobnosti. hustotu rozdělení pravděpodobnosti Nejobvyklejší je uvést hustotu rozdělení pravděpodobnosti; samotná pravděpo- dobnost jevu se pak získá integrací funkce hustoty. Systém HO – matematické připomenutí

36 březen 2012 Důležitá diskrétní rozdělení jsou například rozdělení jednoduché, Poissonovo, binomické, negativní binomické a Maxwellovo–Boltzmannovo. Mezi důležitá spojitá rozdělení patří normální rozdělení, rozdělení gama, Studentovo rozdělení a exponenciální rozdělení. Systém HO – matematické připomenutí

37 březen 2012 Exponenciální Exponenciální rozdělení vyjadřuje čas mezi náhodně se vyskytujícími událostmi. Spojitá náhodná proměnná X má exponenciálně rozdělení s parametrem λ > 0 právě tehdy, jestliže její hustota pravděpodobnosti má následující tvar: Označujeme: Systém HO – matematické připomenutí Střední hodnota Rozptyl

38 Střední hodnota Rozptyl březen 2012 Poissonovo Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti má náhodná veličina, která vyjadřuje počet výskytů málo pravděpodobných, řídkých jevů v určitém časovém, resp. objemovém intervalu. Lze pro všechny hodnoty x = 0,1,2,... náhodné veličiny vyjádřit pomocí parametru λ > 0 jako Systém HO – matematické připomenutí

39 březen 2012 NormálníGaussovo zákon chyb Normální (nebo Gaussovo nebo je označová- no jako zákon chyb ) rozdělení pravděpodob- nosti je jedno z nejdůležitějších - za určitých podmínek dobře aproximuje řadu jiných pravděpo- dobnostních rozdělení (spojitých i diskrétních). S parametry μ a σ 2, pro a σ 2 > 0, je pro definováno hustotou pravděpodob- nosti ve tvaru Gaussovy funkce Systém HO – matematické připomenutí

40 Střední hodnota Rozptyl březen 2012 Normální rozdělení Normální rozdělení se většinou značí normo- vanéstandardizované Rozdělení bývá označováno jako normo- vané (nebo standardizované ) normální rozdělení. S parametry μ a σ 2, pro a σ 2 > 0, je pro definováno hustotou pravděpodob- nosti ve tvaru Gaussovy funkce Systém HO – matematické připomenutí

41 březen 2012 Normální rozdělení -Gaussova funkce Normální rozdělení - Gaussova funkce Systém HO – matematické připomenutí Gaussův grafy hustoty normálního rozdělení pravděpodobnosti

42 březen 2012 Normální rozdělení -Gaussova funkce Normální rozdělení - Gaussova funkce Systém HO – matematické připomenutí Grafy hustot

43 březen 2012 Normální rozdělení -Gaussova funkce Normální rozdělení - Gaussova funkce Systém HO – matematické připomenutí Grafy distribučních funkcí

44 březen 2010 Střední hodnota E(X) = 1/ λ např. 6 minut = 1/10 hodiny, střední počet požadavků pak λ = 10 je střední počet požadavků, které přijdou do systému za časovou jednotku. intenzitu příchodu požadavků Střední hodnota E(X) charakterizuje intenzitu příchodu požadavků do systému. Systém HO – matematické připomenutí

45 březen 2012 Pravděpodobnost distribuční funkce exponenciálního rozdělení Pravděpodobnost, že interval mezi příchody bude kratší než t, je hodnota distribuční funkce exponenciálního rozdělení v bodě t: P(X ≤ t) = F(t) = 1 − exp(− λ* t) Systém HO – matematické připomenutí

46 březen 2010 Např.: pravděpodobnost, že interval mezi dvěma příchody bude kratší než 3 minuty = 1/20 hodiny P(X ≤ 1/20) = 1 − exp(−10 * 1/20 ) = 1 − exp(−0,5) = 0,3935 Pravděpodobnost má tedy hodnotu 0,3935. Systém HO – matematické připomenutí

47 březen 2010 Doba trvání obsluhy Je také deterministická nebo stochastická. Nejčastěji se používá exponenciální rozdě- lení s parametrem μ. Střední doba trvání Střední doba trvání obsluhy je 1/μ. intenzita obsluhy μ je intenzita obsluhy = průměrný počet obsloužených požadavku za časovou jed- notku, předpokládáme-li, že linka je plně vytížena. Systém HO

48 březen 2013 Doba trvání obsluhy Pravděpodobnost, že v systému není žádný poža- davek, tj., že linka není využita p 0 = 1 − λ / μ Pravděpodobnost, že v systému je alespoň jeden požadavek (a linka je tedy využita), je p = λ / μ což popisuje intenzitu provozu systému. Systém HO

49 březen 2013 Hodnota p popisuje intenzitu provozu systému - současně udává pravděpodobnost, že požadavek, který přijde do systému, bude muset čekat na obsluhu ve frontě. Pravděpodobnost, že v systému je právě n požadavků, jeden je obsluhován a n−1 čeká ve frontě p n = p 0 * ρ n = (1 − ρ) * ρ n Systém HO

50 březen 2013 Průměrný čas, který požadavek tráví v systému T = 1 / μ − λ a ve frontě T f = T − (1 / μ) = λ / (μ * (μ − λ)) Systém HO

51 březen 2013 Průměrný počet požadavků v systému, N = λ * T = λ / ( μ − λ) a ve frontě N f = λ * T f = λ 2 / (μ * (μ − λ)) Podmínka stabilizace systému M/M/1 : intenzita provozu ρ < 1, tj. intenzita příchodů λ je nižší než intenzita obsluhy μ. Systém HO

52 březen 2013 Pokud intenzita příchodů λ nebude nižší než intenzita obsluhy μ - dojde k zahlcení systému a fronta bude narůstat bez omezení. Systém HO

53 březen 2010 Sít obslužných linek Jejich počet a uspořádání podstatně ovlivňuje fungování celého systému. Jedním z cílů při aplikaci modelu HO je opti- malizace počtu obslužných linek, což hraje důležitou roli při hledání kompromisu mezi jejich stupněm vytíženosti a délkou fronty, nebo dobou cekání požadavku. Systém HO

54 březen 2010 Uspořádáni muže být buď paralelní (vedle sebe) nebo sériové (za sebou). Systém HO

55 březen 2010 Paralelní linky poskytují stejnou obsluhu. Buď se před každou linkou vytváří samostat- ná fronta, nebo je pouze jedna fronta, ze které přechází do obsluhy první požadavek po uvolnění libovolné linky. Jde o systémy s jednou frontou nebo systémy s více frontami. Systém HO

56 březen 2010 paralelní (vedle sebe) Systém HO příchod do systému čekající fronta realizace obsluhy obslužné para- lelní kanály systém hromadné obsluhy – dvoukanálový (paralelní kanály) odchod ze systému zdroj požadavků

57 březen 2010 V sériovém uspořádání požadavek postupně prochází všemi linkami. V reálných systémech se běžně vyskytuje kombinace obou typů. Systém HO

58 březen 2010 seriové (za sebou) Systém HO příchod do systému čekající fronta realizace obsluhy 2 obslužné kanály odchod ze systému zdroj požadavků systém hromadné obsluhy – jednokanálový

59 březen 2010 Režim (řád) fronty Určuje způsob přechodu požadavku z fronty do obsluhy. FIFO FIFO (= First In / First Out nebo FCFS = First- Come / First-Served) – nejčastější způsob *** obsluha v tom poradí, v jakém do systému přišly / ze zásobníku se odebírá zdola. Systém HO

60 FIFO - grafické znázornění Systém HO Duben 2010 přicházející prvky prvky ve frontě právě obsluhovaný prvek odcházející prvky postup prvku ve frontě

61 březen 2010 LIFO LIFO (= Last In / First Out nebo LCFS = Last- Come / First-Served) – opačné pořadí obslu- hy *** obsluha v obráceném pořadí, než v jakém požadavky do systému přišly / ze zásobníku se odebírá zdola. SIRO SIRO (Selection In Random Order) – náhod- ný způsob / ze zásobníku se odebírá napřeskáčku. Systém HO

62 Duben 2010 LIFO - grafické znázornění přicházející prvky odcházející prvky čekající prvky postup prvku ve frontě – pokud nepřijde nový prvek do fronty právě obsluhovaný prvek

63 březen 2010 PRI PRI (Priority nebo HVF = Hih Value First) – podle zadaných priorit (důležitosti) / ze zá- sobníku se odebírá k obsloužení požadavek s momentálně nejvyšší prioritou. Systém HO

64 Poissonovské rozdělení počtu vstupujících nebo vystu- pujících (odcházejících) jednotek obvykle dobře vyhovuje pro rozdělení jednotek. Popisuje diskrétní náhodnou proměnnou veličinou vyjadřu- jící počet jednotek za časovou jednotku. Systém HO Duben 2012 varianta SIFO - grafické znázornění přepínač cesty náhodně přicházející prvky odcházející prvky

65 březen 2010 Doba trvání fronty Určuje způsob jakým fronty časově řeší prů- chod požadavků obslužným místem: - konstantní náhodná - náhodná Systém HO

66 březen 2010 konstantní konstantní (doba = čas obsluhy je stále stejný – lépe se plánuje průchod frontou, ale může docházet k plýtvání s časem průchodu a tedy k prodloužení času celkové obsluhy, případně k čekání na vyčerpání probíhajícího časového intervalu) náhodná náhodná (doba = čas kolísá – hůře se plánje, ale je obvykle úspornější – rozdělení bývá obvykle exponenciální) Systém HO

67 březen 2010 Disciplína fronty Určuje chování požadavků: - absolutně netrpělivá - bez netrpělivosti - částečně netrpělivá Systém HO

68 březen 2010 absolutně netrpělivá absolutně netrpělivá = požadavek do sys- tému se všemi obsazenými obslužnými body (kanály) nevstoupí a rezignuje na obsluhu – musí být obsloužen jinde nebo jindy – málo- kdy se může obsloužení vzdát úplně (trvale) Systém HO

69 březen 2010 bez netrpělivosti bez netrpělivosti = požadavky na vstupu do systému čekají bez ohledu na to, jak dlouho čekají (na délku trvání tohoto čekání) – spe- ciální případy, protože v praxi by to zřejmě vedlo k plýtvání s časem Systém HO

70 březen 2010 částečně netrpělivá částečně netrpělivá = požadavky na vstupu do systému čekají, ale jen určitou dobu – pokud do vyčerpání této doby nedojde k zahájení obsluhy, odchází pryč Systém HO

71 březen 2010 K uvedeným charakteristikám je možné do- plnit celou radu dalších. Např.: omezení na kapacitu systému = maximální počet požadavků, který muže být v systému přítomen. Pokud je systém naplněný, potom se nově příchozí požadavek k němu nemůže připojit a odchází. Systém HO

72 Duben 2014 Modelování je dnes „univerzálně“ používaný pro- středek – jeho využití je velice široké a žádoucí – používá se pro přípravu (analýzu, prošetření, návrh postupu a způsobu řešení, …) řešení. V časové dimenzi není v celém řešitelském procesu nikterak omezen = lze jej použít prakticky kdykoliv, ale ne vždy to přinese plný efekt (zisk). Cíle modelování systémů hromadné obsluhy

73 Systém HO Duben 2010 Modelování se používá pro řešení dvou základních typů problémů: - stanovení důležitých pracovních chara- kteristik sytému … většinou jde o náhodné veličiny, k jejichž charakteristice se použí- vají odhady středních hodnot a rozptylů - zjišťuje se: střední využití systému a jeho kanálů, střední délka front, střední čekací doba, střední hodnota netrpělivosti, …

74 Systém HO Duben stanovení optimálních parametrů systé- mu …určení vhodného minimalizovaného (a tedy následně i optimalizovatelného) počtu kanálů, který by nezpůsoboval závažnější (zbytečné, dlouhé, …) délky doby čekání ve frontě, vyčerpávání (až přečerpávání) (ne)tr- pělivosti zákazníků ve frontě – optimalizace doby čekání a obsluhy – regulace vstupních toků – minimalizace celkových nákladů na zřízení a provoz systému HO, atd.

75 březen 2010 Speciálním případem systému s omezenou kapacitou jsou systémy bez čekání. Např. telefonní centrála. Pokud jsou všechny linky obsazené, nelze se dovolat. Systém HO

76 březen 2010 Systémy mohou být s omezeným nebo neo- mezeným čekáním. Požadavky cekají bez ohledu na čas, dokud nejsou obslouženy, nebo pravděpodobnost zařazení do fronty závisí na poctu požadavku v ní apod. Systém HO

77 březen 2010 V modelech HO se dále zkoumají otázky ob- sluhy ve skupinách (výtah, městská doprava). Cílem zkoumání je odpověď, zda lze přerušit obsluhu v případě, že do systému vstoupí požadavek s vyšší prioritou (záchranná služba, meziměstské hovory), apod. Systém HO

78 březen 2014 Podle základních charakteristik jsou modely HO jednotným způsobem klasifikovány po- mocí posloupnosti 6 symbolů (vztahový vzo- rec popisující jednoznačně charakteristiku – úspornou formu vypracoval D. G. Kendall): A / B / C / D / E / F každé z těchto písmen jednoznačně charakterizuje určitou vlastnost - hodnotu: ………….… Systém HO

79 březen 2010 A charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdě- lení pro intervaly mezi příchody požadavku do systému, přičemž M znamená exponenciální rozdělení, D konstantní intervaly, G nespecifi- kované rozdělení B totéž pro dobu trvání obsluhy C počet paralelně uspořádaných obslužných linek D kapacita systému E kapacita zdroje požadavku F režim fronty. Systém HO

80 březen 2010 Například: M / M / 5 / 20 / 1 / FIFO představuje systém HO, ve kterém intervaly mezi příchody i doba obsluhy mají exponen- ciální rozdělení, 5 paralelních linek, celková kapacita 20 míst (5 v obsluze a maximálně 15 ve frontě), zdroj požadavků je neomezený, obsluhuje se podle pořadí při příchodu. Systém HO

81 březen 2010 Charakteristiky popisující fungování daného systému lze rozdělit do několika skupin. 1. Časové charakteristiky. 2. Charakteristiky počtu požadavků. 3. Pravděpodobnostní charakteristiky. 4. Nákladové charakteristiky. Systém HO

82 březen Časové charakteristiky týkající se „pouze“ časové obsluhy požadavku: T f průměrná doba cekání požadavku ve fron- tě předtím, než začnou být obsluhovány T průměrná doba strávená v celém systému. Systém HO

83 březen Charakteristiky týkající se počtu poža- davků: N f průměrná délka fronty N průměrný počet požadavků v systému. Systém HO

84 březen Pravděpodobnostní charakteristiky Pravděpodobnost …, že: - obslužná linka nepracuje - obslužná linka pracuje - příchozí požadavek bude muset čekat ve frontě. - v systému je určitý počet požadavků - požadavek nebude kvůli naplnění systému obsloužen. Systém HO

85 březen Nákladové charakteristiky Náklady fungování celého systému za časo- vou jednotku. Optimální počet linek v provozu vedoucí k dosažení minimálních nákladu. Systém HO

86 březen 2010 Posuzování uvedených charakteristik je důle- žité při budování nových systémů HO nebo rekonstrukci stávajících systémů HO. Jde o určení počtu linek tak, aby nedocházelo k jejich zbytečným prostojům, ale ani k nad- měrným frontám požadavků vedoucích ke ztrátám zákazníku a tím i zisku. Systém HO

87 březen 2010 Mezi některými charakteristikami existují bezprostřední vazby. T = T f + 1/μ Průměrná doba, kterou stráví požadavek v systému, je součet průměrné doby strávené ve frontě a průměrné doby trvání obsluhy. N = λ · T N f = λ · T f Systém HO

88 březen 2010 Průměrný počet požadavků Průměrný počet požadavků v systému (ve fronte) je součinem průměrného casu, který stráví požadavek v systému (ve frontě), a intenzity příchodu požadavku do systému. Řešení, tzn. určení všech nebo alespoň některých charakteristik, lze dosáhnout dvojím způsobem – analyticky nebo pomocí simulací. Systém HO

89 březen 2010 Analytické řešení Analytické řešení – pro jednotlivé charak- teristiky jsou odvozeny konkrétní vztahy, do kterých se dosadí parametry systému. Toto řešení je k dispozici jen u nejjednoduš- ších modelů. Jedinou cestou u složitějších systémů HO je experimentování s modelem, Systém HO

90 březen 2010 Experimentování s modelem - Experimentování s modelem - pomocí vhodného SW se simuluje (napodobuje) chod reálného systému. Simulace lze provádět ve zrychleném nebo zpomaleném čase. Systém HO

91 březen 2010 Na základě sběru dat v průběhu simulačního běhu lze potom aproximativně odvodit cha- rakteristiky simulovaného systému. Takto lze analyzovat i velmi složité systémy a to už ve fázi jejich navrhování. Systém HO

92 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Systém s čekáním a neohraničeným zdrojem po- žadavků Exponenciální modely hromadné obsluhy Na základě předchozích informací je potřeba pro- brat, jaké informace jsou dostupné v počtu pravdě- podobnosti řešícím problematiku hromadné obsluhy – problematiku řešení obsluhy fronty. Pro vysvětlení jsou hned úvodem zvoleny dva pří- pady – dané hodnotami charakterizujícího vzorce.

93 březen 2014 Exponenciální modely hromadné obsluhy Příklad – 1: Službu v bance u bankovní přepážky v sobotu zabez- pečuje jen jeden pracovník (je otevřena jen jedna přepážka) ** od 8 do 20 hodin přicházejí klienti v prů- měru každých 8 minut – předpoklad = exponenciální rozdělení intervalů mezi příchody ** průměrná doba strávená u přepážky 6 minut – předpoklad = náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Klienti přistupují k přepážce v pořadí jak přišli.

94 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Zadání představuje jednoduchý exponenciální model HO typu: M / M / 1 /  /  / FIFO – v systému je pouze jedna obslužná linka – intervaly mezi příchody požadavků mají exponen- ciální rozdělení s parametrem λ – doba trvání obsluhy má exponenciální rozdělení s parametrem μ – neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavků a režim fronty FIFO.

95 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Charakteristiky systému: 1. Pravděpodobnost, že v systému není žádný poža- davek, tj. pravděpodobnost, že linka není využita p 0 = 1 − λ / μ Odtud plyne pravděpodobnost, že v systému je ale- spoň jeden požadavek (a linka je využita), je λ / μ. Tento podíl označujeme ρ - popisuje intenzitu provo- zu systému. Hodnota současně udává pravděpodob- nost, že požadavek, který přijde do systému, bude muset čekat na obsluhu ve frontě.

96 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 2. Pravděpodobnost, že v systému je právě n poža- davků, jeden je obsluhován a n − 1 čeká ve frontě p n = p 0 · p n = (1 − ρ) ρ n 3. Průměrný čas, který požadavek tráví v systému T = 1 / (μ − λ ) a ve frontě T f = T − 1 / μ = / μ * (μ − λ )

97 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 4. Průměrný počet požadavků v systému N = λ * T = λ / (μ − λ) a ve frontě N f = λ * T f = λ 2 / (μ (μ − λ )) Podmínka stabilizace systému M / M / 1 : intenzita provozu < 1 narůstala tj. intenzita příchodu ρ < 1 nižší než intenzita ob- sluhy μ. Jinak by došlo k zahlcení systému a fronta by bez omezení narůstala.

98 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Příklad – 1 * pokračování: Do banky přicházejí klienti v průměru každých 8 mi- nut – intenzita příchodů λ = 60 / 8 = 7,5 klientů za hodinu. Při průměrné době 6 minut u přepážky je intenzita μ = 60 / 6 = 10 klientů za hodinu. Intenzita provozu přepážky (tedy její vytížení) ρ = λ / μ = 7,5 / 10 = 0,75. Pracovník přepážky tedy bude využit na 75%.

99 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Se stejnou hodnotou pravděpodobností bude klient čekat na vyřízení své záležitosti u přepážky. Naopak s pravděpodobností p 0 = 1 − ρ = 0,25 u přepážky nikdo nebude a přepážka bude volná = pracovník bude čekat na klienta. Se stejnou hodnotou pravděpodobností klient, který přijde do banky, nebude muset čekat.

100 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy V tabulce - pokud u přepážky bude n klientů (pro n = 0, 1,..., 10 ) - jsou uvedeny hodnoty pravdě- podobnosti p n a kumulované pravděpodobnosti P (X < n) udávající, že u přepážky bude maximálně n klientů: n pnpn 0,25000,18750,14060,10550,07910,05930,0455 P (X < n)0,25000,43750,57810,68360,76270,82200,8665 n78910 pnpn 0,03340,02500,01870,0141 P (X < n)0,89990,92490,94360,9577

101 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Můžeme také např. určit pravděpodobnost, že u pře- pážky bude víc než 10 klientů: p n = 1 − 0,9577 = 0,0423 … více než ve 4%. Pro časové charakteristiky a charakteristiky počtu požadavků platí: T = 1 / (μ − λ) = 1 / (10 − 7,5) = 0,4 hod = 24 min T f = T − 1 / μ = 0,4 − 0,1 = 0,3 hod = 18 min N = λ * T = 7,5 * 0,4 = 3 klienti N f = λ * T f = 7,5 * 0,3 = 2,25 klienta ……….

102 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy ……. slovní vyjádření: U přepážky budou průměrně 3 klienti. Před přepážkou čeká průměrně 9/4 = 2,25 klienta. Průměrná doba, kterou klient stráví čekáním na vy- řízení svého případu, je 18 minut. Celkově stráví klient u přepážky 24 minut.

103 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Příklad – 2: V pobočce banky jsou 3 přepážky - klienti se řadí do jedné fronty a po uvolnění libovolné z přepážek mo- hou být obsluhováni. Klienti přicházejí s průměrnou intenzitou 68 lidí za hod. Intervaly mezi jejich příchody mají exponen- ciální rozdělení. Doba odbavení klienta má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 2,4 min = tj. za hodinu každá přepážka odbaví průměrně 60 / 2,4 = 25 klientů.

104 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Zadání představuje variantu modelu HO typu: M / M / c /  /  / FIFO – v systému je c identických paralelně uspořádaných obslužných linek – intervaly mezi příchody požadavků mají exponen- ciální rozdělení s parametrem λ – doba trvání obsluhy má exponenciální rozdělení s parametrem μ – neomezená kapacita systému, neomezený zdroj požadavku a režim fronty FIFO.

105 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Protože intenzita obsluhy na každé z linek je μ, bude intenzita obsluhy celého systému rovna c * μ. Podíl λ /c * μ = ρ znamená intenzitu provozu celého systému = představuje i průměrné využití obslužných linek, poměr pracovního času k celkovému provoz- nímu času systému. Aby fronta neomezeně nevzrůstala a systém zvládal obsluhu příchozích požadavků musí být intenzita obsluhy celého systému vyšší než intenzita příchodu požadavků.

106 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Podmínka stabilizace systému: M / M / c v poměru k intenzitě provozu ρ musí být < 1.

107 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Charakteristiky systému: 1. Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek, tj. pravděpodobnost, že žádná z linek nepracuje p 0 = [( Σ (od: k=0 do: k=c−1) r k / k!) + ((c * r c ) / ((c − r) * c! )) ] −1 kde r = λ / μ.

108 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 2. Pravděpodobnost, že v systému je n požadavku a fronta je prázdná p n = [ r n / n! ] * p 0 pro n ≤ c 3. Pravděpodobnost, že v systému je n požadavků, c obsluhováno a zbývajících n − c čeká ve frontě p n = [ r n / (c! * c n−c )] * p 0 pro n > c

109 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 4. Průměrný čas, který požadavek tráví v systému T f = [( r c * μ ) / ((c − 1)! * (c * μ − λ ) 2 )] *p 0 a v systému T = T f + ( 1 / μ )

110 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy 5. Průměrný počet požadavků v systému N = λ * T a ve frontě N f = λ * T f 6. Pravděpodobnost, že příchozí požadavek bude čekat ve frontě, což vlastně znamená pravděpodob- nost, že v systému je c a více požadavků p f = [( c * r c ) / ((c − r) c! )] * p 0.

111 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Příklad – 2 * pokračování: Konkrétní hodnoty sledovaného stavu v bance: c = 3, λ = 68, μ = 25, r = λ / μ = 68/25 = 2,72, ρ = / (c * μ) = 68/3 * 25 = 0,9067 < 1 … a je stabilizace splněna. …………….

112 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy V tabulce - pokud u přepážky bude n klientů (pro n = 0, 1,..., 10 ) - kromě pravděpodobností p n je i pravděpodobnost, že v bance je n a méně klientů, a pravděpodobnosti, že je tam více než n klientů. n pnpn 0,02310,06270,08530,07740,07010,06360,0577 P (X ≤ n)0,02310,08580,17110,24850,31860,38220,4399 P (X > n)0,97690,91420,82890,75150,68140,61780,5601 n pnpn 0,05230,04740,04300,03900,03530,0320 P (X ≤ n)0,49220,53960,58260,62160,65690,6889 P (X > n)0,50780,46040,41740,37840,34310,3111

113 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Hodnota pravděpodobnosti: p 0 = [ (2,72 0 / 0!) + (2,72 1 / 1!) + (2,72 2 / 2!) + ((3 * 2,72 3 ) / ((3 − 2,72) · 3!)) ] −1 = = 1 / (1 + 2,72 + 3, ,935) = 0,0231 Pravděpodobnost, že v bance nebude žádný klient je asi 2,31%.

114 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Pravděpodobnost, že příchozí bude muset čekat, je 0,8289, což je pravděpodobnost, že v bance jsou více než dva klienti. Pravděpodobnost, že je tam více než 12 klientů (3 u přepážky a 9 ve fronte) je poměrně velká 31,11%.

115 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Časové charakteristiky: Průměrná doba čekání ve frontě T f = [ ((2,72 3 * 25) / ((3 − 1)! * (75 − 68) 2 ) ] * p 0 = = 0,1184 hodiny = 7,1 minuty. Průměrná doba strávená v bance T = T f + ( 1 / μ ) = 0, ( 1 / 25 ) = = 0,1584 hodiny = 9,5 minuty.

116 březen 2010 Exponenciální modely hromadné obsluhy Charakteristiky poctu požadavků: Průměrný počet klientů v bance N = λ * T = 68 * 0,1584 = 10,77 klienta. Průměrný počet klientů ve frontě N f = λ * T f = 68 * 0,1184 = 8,05 klienta.

117 březen 2014 Optimalizace v modelech hromadné obsluhy Optimalizace v modelech HO minimalizace Při modelování systému hromadné obsluhy je potře- ba zjistit, kolik paralelně řazených obslužných linek je efektivní provozovat, aby byla dosažena a zacho- vána minimalizace nákladů souvisejících s tímto provozem. optimalizaci Tím je dán prostor pro optimalizaci.

118 březen 2010 Optimalizace v modelech hromadné obsluhy Optimalizace v modelech HO Realizace optimalizačních propočtů předpokládá – je odvislá - od toho, že se dají (musí to být reálně možné) ohodnotit náklady provozu obslužných linek a náklady související s pobytem požadavků v systému.

119 březen 2010 Optimalizace v modelech HO nákladovou funkci Definice nákladovou funkci N F(c) = k 1 * N + k 2 * c kde k 1 jsou náklady pobytu jednoho požadavku v systému za jednotku času k 2 jsou náklady provozu jedné linky za jednotku času N je průměrný počet požadavků v systému c je počet linek

120 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Výsledná hodnota nákladové funkce Výsledná hodnota nákladové funkce se skládá ze dvou částí. První část k 1 * N je celkovým ohodnocením nákladů pobytu požadavku v systému za jednotku času. Druhá část k2 * c představuje celkové náklady na provoz všech linek za jednotku času.

121 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Při zvýšení počtu linek dojde ke zvýšení hodnoty k 2 * c a současně se sníží průměrný počet poža- davků v systému čímž se sníží hodnota k 1 * N. opačná Při snížení počtu linek je nákladová změna u obou položek opačná.

122 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Příklad – 3: Předpoklad - náklady pobytu klienta v bance jsou fixní = 200 Kč za hodinu - náklady na provoz jedné přepážky = 500 Kč za hodinu. Při třech přepážkách vyjde průměrný počet klientů v bance 10,77. (mezi 10 a 11 jedinci). Po dosazení do nákladové funkce vychází N F(3) = 200 * 10, * 3 = 3654 tj. hodinový provoz v bance je ohodnocen Kč.

123 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Tabulka ukazuje, jak by se částka měnila v závislosti na počtu přepážek. ck 1 * Nk 2 *ck 1 * N + k 2 * c 2  1000  ,

124 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Pro 2 přepážky není systém stabilizovaný. Obsluha nestíhá a fronta a tím i náklady na pobyt klientu neomezeně rostou. Z tabulky plyne, že vzhledem k předpokládaným nákladovým položkám je optimální provozovat „jen“ 4 přepážky.

125 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Pro 4 přepážky bude průměrný počet klientů N F(c) = k 1 * N + k 2 * c N = 3,57. Tato hodnota, stejně jako hodnoty N pro ostatní položky, se vypočítají dosazením do uvedeného vztahu.

126 březen 2010 Optimalizace v modelech HO Zajímavá je otázka, nakolik by se musely snížit ná- klady na pobyt klientů v bance, aby byl optimální původně uvažovaný model se 3 přepážkami. NF(3) < NF(4) 10,77 * k * 500 < 3,57 * k * 500, odtud k 1 < 69,44. Optimální systém se třemi přepážkami musí mít pobyt klientů ohodnocen částkou nižší než 69,44 Kč za hodinu.

127 březen 2014 Systém bez čekání se ztrátamiobsluhy Systém bez čekání se ztrátami obsluhy Systém bez čekání v modelech HO Obsluhující soustavaobsluhy Obsluhující soustava sestává z n stanic obsluhy. Přijetí požadavků vstupujících k obsluze je podmí- něno tím, že některá z obsluhujících stanic je volná. odmítnut Jsou-li všechny stanice obsazeny, požadavek neče- ká, ale je odmítnut a odchází neobsloužen.

128 březen 2010 Systém bez čekání v modelech HO Každá stanice může obsloužit zároveň pouze jeden požadavek.

129 březen 2010 Systém s čekáním a ohraničeným zdrojem požadavků Systém s čekáním v modelech HO Jedná se o systém, který se skládá z n stanic obslu- hy, každá může obsluhovat pouze jeden požadavek. Předpoklad - doba obsluhy je náhodná veličina s ex- ponenciálním zákonem rozdělení s parametrem μ.

130 březen 2010 Systém s čekáním v modelech HO Ze zdroje požadavků obsahujícího ohraničený počet m požadavků přicházejí do systému požadavky na obsluhu s proměnou intenzitou závislou na počtu požadavků ve zdroji. Doba do výskytu poruchy jednotlivého požadavku je náhodná veličina, o níž předpokládáme, že má ex- ponenciální rozdělení s parametrem, který je roven převrácené hodnotě střední doby do poruchy.

131 březen 2010 Systém s čekáním v modelech HO Jestliže je některá ze stanic volná, pak vstupující požadavek je obsloužen a po skončení obsluhy se opět vrací do zdroje požadavků. Jsou-li všechny stanice obsazené, vstupující požada- vek je zařazen do fronty a čeká na uvolnění některé stanice.

132 březen 2010 Systém s čekáním v modelech HO Schéma činnosti tohoto systému.

133 březen 2010 Systém s čekáním v modelech HO Příklady takových systémů: – skupina kombajnů při žních, k jejichž opravě je určen pojízdný opravářský vůz – stroje v továrně, k jejichž údržbě je určena četa opravářů.

134 březen 2014 Systém simulační analýzy v systému hromadné obsluhy Systém simulační analýzy v modelech HO V reálných systémech hromadné obsluhy nelze zpra- vidla odvodit základní charakteristiky systému ana- lytickým způsobem. Analytické řešení je k dispozici pouze u nejjedno- dušších modelů, které jsou v reálných podmínkách aplikovatelné bez dodatečných omezení jen zřídka.

135 březen 2010 Systém simulační analýzy v modelech HO Jedinou cestou pro získání hledaných charakteristik je vytvoření simulačního modelu daného systému. Na základě vhodné realizace experimentu s tímto modelem lze potom odvodit odhady požadovaných charakteristik. Simulace se definuje jako experimentování s mode- lem reálného systému na počítači.

136 březen 2010 Systém simulační analýzy v modelech HO Experimentováním se rozumí napodobování chodu sledovaného systému. Aby byly odhady hledaných charakteristik dostatečně přesné, je třeba provázet tyto experimenty dosta- tečně dlouho. Se zvyšováním počtu experimentů lze očekávat zpřesňování odhadu hledaných charakteristik.

137 březen 2011 Systém simulační analýzy v modelech HO Při simulační analýze systému stačí sledovat v dis- krétních časových okamžicích změny a provádět v nich potřebný sběr dat. Po skončení simulace jsou na základě údajů získa- ných v průběhu simulace odvozeny odhady jedno- tlivých charakteristik. K základním problémům, které je třeba řešit v průbě- hu simulace systému hromadné obsluhy, patří gene- rování výskytu událostí, které ovlivňují stav systému.

138 březen 2014 …………… CW13 - p. 13 Teorie front - HO


Stáhnout ppt "CW – 13 LOGISTIKA Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2014 13. PŘEDNÁŠKA Teorie."

Podobné prezentace


Reklamy Google