Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín

Prezentace na téma: "Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín"— Transkript prezentace:

1 Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín
Matice Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín

2 Definice Tabulka o n sloupcích a m řádcích, přičemž toto značení řádků a sloupců nemusí být vždy stejné. Tato matice má dva řádky a tři sloupce. Prvky matice se značí pomocí indexů, namísto velkého písmene se používá malé písmeno: a11 = 0 nebo a23 = 51. První index udává řádek a druhý index sloupec.

3 Druhy matic Čtvercová matice je matice, která má stejný počet řádků jako sloupců. Nulová matice je matice, která má na všech pozicích nuly. aij = 0.

4 Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a všude jinde nuly. Hlavní diagonála je jakoby „úhlopříčka“ zleva doprava. Schodovitá matice je matice, která má nulové řádky na konci (nebo nemá žádné nulové řádky) a každý nenulový řádek má na začátku více nul než předchozí řádek.

5 Symetrická matice je čtvercová matice A, která se splňuje rovnost A = AT. Prvky symetrické podle diagonály jsou stejné. Můžeme tak napsat, že aij = aji. Antisymetrická matice je skoro totéž jako symetrická matice, akorát prvky na druhé straně mají opačné znaménko: A = −AT. Kvůli tomu musí být prvky na hlavní diagonále nulové, protože a = −a = 0.

6 Diagonální matice je matice, která má nuly všude kromě hlavní diagonály. Přesněji řečeno všude jinde musí být nuly, co je na hlavní diagonále není specifikováno. Matice transponovaná k matici A je matice AT, u které platí aij = aTji, tj. prvek který byl v i-tém řádku a j-tém sloupci bude v transponované matici na j-tém řádku a i-tém sloupci. Zkrátka zaměníte řádky matice za sloupce.

7 Operace s maticemi Sčítání (odčítání) matic: matice stejného typu (stejný počet sloupců a řádků) Výsledná matice bude mít na stejných pozicích součty čísel na odpovídajících pozicích v předchozích maticích. Sčítáme matice A + B = C, pak platí aij + bij = cij. Sčítání matic je komutativní a asociativní. A + B = B + A , A + (B + C) = (A + B) + C

8 Násobení matic nenulovým reálným číslem:
Vezmete číslo a vynásobíte s ním každý prvek matice. k· A = k· aij. Násobení matic: (matice musí splňovat kritérium, že počet sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé matice) Vezmete první řádek první matice a první sloupec druhé matice. Vynásobíte první prvek s prvním prvkem a sečtete s násobkem druhého prvku s druhým prvkem a sečtete atd. Tím získáte v nové matici C prvek c11.

9 Nebo graficky:

10 Příklady: Proveďte A + B, B – C, 2A – C, A * B, B * A, B * C - A

11 Determinant matice Definovaný pouze na čtvercových maticích Číslo
Je zapisován buď jako det A nebo |A| Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu:

12 Laplaceova metoda pro výpočet determinantu
Provádíme rozvoj podle nebo sloupce Rozvoj provedeme buď přes druhý řádek nebo přes třetí sloupec, jelikož se zde nachází nula (případně nejvíce nul). První číslo: 2 + 1, tj. vyškrtneme druhý řádek a první sloupec, tím získáme submatici

13 Příklad: Vypočítej determinant matice Sarrusovým pravidlem a Laplaceovou metodou

14 Využití determinantu matice při řešení soustavy rovnic
|A| je determinant matice bez pravé strany, tj. bez čísel za rovnítkem |Ak| je determinant matice, která vznikne z matice A nahrazením k-tého sloupce čísly za rovnítkem

15 Příklad: Řešte soustavy rovnic
2x +3y = 4, x – y = 0 x - y + 2z = 7, 2x - 3y + 5z = 17, 3x – 2y – z = 12 x + 2y + 2z = 7, 2x + 3y = 7, x + 5y + z = 2

16 Inverzní matice Úpravou matice a připojené jednotkové matice získáme matici jednotkovou a inverzní. Značíme A-1 Platí: A * A-1 = A-1 * A = E (jednotková matice) Gauss - Jordanovou eliminační metodou

17 Výpočet inverzní matice
Gauss - Jordanova eliminační metoda Postup: Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby: záměna řádků vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem) přičtení násobku jednoho řádku k jinému Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

18 Příklad: Ověřte zda jsou matice k sobě inverzní

19 Hodnost matice Hodnost matice je počet lineárně nezávislých řádků matice, zpravidla se označuje h Hodnost matice najdeme úpravami matice tak, že se snažíme vytvořit nulový řádek, který se v matici nezapisuje Nulová matice má hodnost h = 0 Hodnost matice se určuje u libovolné matice

20 Příklad: Určete hodnost matice

21 Využití inverzní matice – šifrování zprávy
Vezmeme čtvercovou matici druhého řádu - šifrovací

22 Zpráva se zapíše po sloupcích do matice.
Matice se vynásobí zleva maticí šifrovací. Zprávu sepíšeme po sloupcích a můžeme poslat. Příjemce si najde inverzní matici k šifrovací

23 Pomocí inverzní matice dešifrujeme zprávu:
Poznámka: Zkuste šifrování pomocí matice třetího řádu.

24 Využití matic - násobení
Hospodyně si vedla záznamy svých nákupů a vytvořila si tuto tabulku: Potraviny se dají koupit v různých cenách Určete cenu nákupu, nakoupíme-li v Tescu Mléko - 1 l Sýr g Máslo g Nákup č. 1 2 3 1 Nákup č. 2 Nákup č. 3 Kč - Tesco Kč - Lidl Mléko - 1 l 13,50 10 Sýr g 11,50 9 Máslo g 22 18

25 Využití matic Čtyři města A, B, C, D jsou spojena autobusovými linkami. Přímé spojení je dáno tabulkou: Nakreslete plán spojení A B C D 1 2